内蒙古自治区通辽市科尔沁区通辽市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考（4月）数学试题 含解析

这是一份内蒙古自治区通辽市科尔沁区通辽市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考（4月）数学试题 含解析，共11页。试卷主要包含了答卷前，考生务必将自己的姓名等内容，欢迎下载使用。
命题：杨明青 审校：曹永杰
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在答题卡上．本试卷满分 150 分，考试时间
120 分钟．
2、做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3、回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 数列 的通项公式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由具体数列判断通项公式问题，最简单的方法即是赋值代入检验判断即可.
详解】对于选项 A，当 时， ，故 A 项错误；
对于 B 选项，当 时， ，故 B 项错误；
对于 C 选项，当 时， ，故 C 项错误；
对于 D 项，因数列 可以写成 ，故其通项公式可以写成
，故 D 项正确
故选：D.
2. 某水文站为了研究所在河段 降雨量 （单位： ）与水位增长量 （单位： ）之间的关系，记
录了 9 次相关数据，绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中 9 个点中去掉 点后再重
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新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A. 决定系数 变小 B. 相关系数 的值变小
C. 残差平方和变小 D. 解释变量 与预报变量 相关性变弱
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意，由决定系数、相关系数、残差平方和及相关性的概念和性质作出判断.
【详解】从图中可以看出 点较其他点，偏离直线远，故去掉 点后，回归效果更好，
对于 A：决定系数 越接近 1，拟合的回归方程越优，
故去掉 点后 变大，越趋于 1，故 A 错误；
对于 B：相关系数 越趋于 1，拟合的回归方程越优，
由图可得 与 正相关，故 会越接近 1，即相关系数 的值变大，故 B 错误；
对于 C：残差平方和变小，拟合效果越好，故 C 正确；
对于 D：解释变量 与预报变量 相关性增强，故 D 错误.
故选：C
3. 已知等比数列 则 （ ）
A. 8 B. ±8 C. 10 D. ±10
【答案】A
【解析】
【分析】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决.
【详解】根据等比中项知道 ，求得 ，则 .
又 ，则 .
故选：A.
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4. 在数列 中， ，且 ，则 （ ）
A. 3 B. -2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由递推关系求前几项的值，判断出数列 是以 4 为周期的数列，利用周期性求出 .
【详解】数列 中， ，且 ，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ，即数列 是以 4 为周期 数列，
所以 ，
故选：A．
5. 已知数列 是等差数列，其前 n 项和为 ，若 ， ，则数列 中最小的项是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 得到 ，由 得到 ，即可求解；
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以公差 ，
故当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最小值，即 中最小的项是 ，
故选：C.
6. 四川省将从 2022 年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”
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为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出
如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）
A. 样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B. 样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C. 样本中选择物理学科的人数较多
D. 样本中男生人数少于女生人数
【答案】C
【解析】
【分析】根据等高条形图的概念结合条件逐项分析即得.
【详解】根据等高条形图图 1 可知样本中选择物理学科的人数较多，故 C 正确；
根据等高条形图图 2 可知样本中男生人数多于女生人数，故 D 错误；
样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女
生比例低，
所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故 A 错误；
样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故 B 错误.
故选：C.
7. 某大楼有 20 层，有 19 人在第一层上了电梯，他们分别要去第 2 层到 20 层，每层一人，而电梯只允许停
一次，只能使一人满意，其余 18 人都要上楼或下楼．假设乘客每向下走一层不满意度为 1，每向上走一层
不满意度为 2，所有人不满意度之和为 s．为使 s 最小，电梯应停在第（ ）层
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】设电梯停在 层 ，则向下走的有 人，向上走的有 人，根据题意
列出函数关系式，结合等差数列的求和公式化简，再根据二次函数最小值的求法即可求解．
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【详解】设电梯停在 层 ，则向下走的有 人，向上走的有 人，
由题意得，
，
因为对称轴为 ，
所以当 时， ，
故选：B．
8. 已知数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，则下列结论错误的
是（ ）
A. 的值为 2
B. 数列 的通项公式为
C. 数列 为递减数列
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用 与 的关系可求数列的通项公式，利用 可判断单调性，利用错位相减法求 .
【详解】当 时， ，∴ ，故 A 正确；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，∵上式对 也成立，∴ （ ），故 B 错误；
∵ ，
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∴数列 为递减数列，故 C 正确；
∵ ，
∴ ，
两式相减得， ，
∴ ，故 D 正确．
故选：B．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．）
9. （多选）在等比数列 中， 、 、 成等差数列，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】设等比数列 的公比为 ，由已知条件可得出关于 的方程，解出 的值，即可得出
的值.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由 、 、 成等差数列可得 ，即 ，
因为 ，则 ，解得 或 ．
所以， 或 ．
故选：CD.
10. 对具有线性相关关系的两个变量 x，y 进行统计时，得到数据如表所示，若通过表格数据得到的经验回
归方程为 ，则下列说法正确的是（ ）
x 3 5 7 9
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y m
A.
B. 变量 y 与 x 是正相关关系
C. 该回归直线必过点
D. x 每增加 1 个单位， 减少 2 个单位
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先分析题意，利用线性相关关系及线性回归方程的知识逐个分析即可.
【详解】选项 A：依题意， ， ，
则 ，解得 ，A 正确.
选项 B：回归方程 中， ，，则变量 y 与 x 是负相关关系，B 错误.
选项 C；由于样本点的中心为 ，因此该回归直线必过点 ，C 正确.
选项 D：由回归方程知，x 每增加 1 个单位， 减少 2 个单位，D 正确.
故选：ACD
11. 类比于数学史上著名的“冰雹猜想”，任取一个正整数，若是奇数，就将该数加上 1；若是偶数，就将
该数除以 2.反复进行上述两种运算，经过有限次步禁后，必得到数字 1.如取 ，则 的值依次为
，共需 5 个步骤变成 1，则称该运算为 5 步运算，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时， 的值依次为
B. 当 时，该运算为 7 步运算
C. 当运算为 7 步运算时， 的值可能有 13 个
D. 当运算为 7 步运算时， 的最大值与最小值之和为 137
【答案】ACD
【解析】
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【分析】由题意得到 进而逐个判断即可；
【详解】由题知， 对于 A， ，则 的值依次为
，故 A 正确；
对于 B， ，所以该运算为 6 步运算，故 B 错误；
对于 C，当运算为 7 步运算时， ，逆推可得如下结果，
据此可得 的值可能有 13 个，故 C 正确；
对于 D，由选项 C 知， 的最大值为 128，最小值为 9，所以 的最大值与最小值之和为 137，故 D 正确，
故选：ACD.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）．
12. 根据下面的图形及相应的点数，写出下列点数构成数列的第 5 项的点数___________．
【答案】35
【解析】
【分析】根据所给数据，找出规律即可得解.
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【详解】依题意， ，
则 ，根据规律， ，
所以 .
故答案为：35
13. 红铃虫（Pectinphra gssypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫
的产卵数 y（个）和温度 的 8 组观测数据，制成图 1 所示的散点图．现用两种模型①， ，②
分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图 2 所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
24 2.9 646 168 422688 50.4 70308
表中 ， ， ， ；
（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型______比较合适？
（2）根据（1）中所选择的模型，求出 y 关于 x 的回归方程是______．附：对于一组数据 ，
， …， ， 其 回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为
， ．
【答案】 ①. ① ②.
【解析】
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【分析】（1）根据残差点的分布情况分析即可；
（2）先取对数，将非线性回归转化为线性回归，然后根据所给数据代入公式即可得回归方程．
【详解】（1）模型①更合适，理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的
宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①
比较合适；
（2）令 ，则 ，
由所给的参考数据可得， ，
所以 ，
所以 关于 的线性回归方程为 ，即 ，
所以产卵数 关于温度 的回归方程为 ，
故答案为：①； ．
14. 如图，在边长为 a 等边三角形 ABC 中，圆 D1 与△ABC 相切，圆 D2 与圆 D1 相切且与 AB，AC 相切，…
，圆 Dn+1 与圆 Dn 相切且与 AB，AC 相切，依次得到圆 D3，D4，…，Dn.设圆 D1，D2，…，Dn 的面积之和
为 ，（ ），则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】设圆 的半径为 ，则可证 为等比数列，求出其通项后可以求出面积也是等比数列，从而求
出面积的和.
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【详解】
如图，设圆 与 相切于点 ，过 作 的垂线，垂足为 ，
则 ，故 ，
设圆 的半径为 ，则 即 ，
而 内切圆的半径即 ，
故 ，所以 即 为等比数列，所以 ，
是以 为首项， 为公比的
等比数列，则
故答案为： .
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