贵州省贵阳市六校联盟2024-2025学年高二上学期联合考试（一）数学试题（含答案）

这是一份贵州省贵阳市六校联盟2024-2025学年高二上学期联合考试（一）数学试题（含答案），共15页。试卷主要包含了已知全集，集合，则，下列关于复数，已知直线和直线，则“”是“”的，已知，则，函数的图象可能是，已知角的终边经过点，则，下列命题为真命题的是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，时长120分钟，满分150分.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列关于复数（为虚数单位）的说法错误的有（ ）
A.的共轭复数为 B.
C.的虚部为 D.
3.已知直线和直线，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知，则（ ）
A. B. C.3 D.4
5.函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在平行六面体中，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.下列说法正确的是（ ）
A.已知，则在上的投影向量为
B.若是四面体的底面的重心，则
C.若，则四点共面
D.若向量（都是不共线的非零向量），则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
11.定义在上的偶函数满足，当时，.设函数，则下列结论正确的是（ ）
A.的图象关于直线对称
B.在区间上单调递增
C.
D.的图象与的图象所有交点的横坐标之和为12
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知且，则__________.
13.已知点和为直线上的动点，则的最小值为__________.
14.已知菱形的边长为2，且，将沿直线翻折为，记的中点为，当的面积最大时，三棱锥的外接球表面积为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知的三个顶点是.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程.
16.（本小题满分15分）
如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，四边形为矩形.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
17.（本小题满分15分）
梵净山位于贵州省铜仁市的江口､印江､松桃三县交界处，是具有2000多年历史的文化名山.梵净山山势雄伟､层峦叠嶂，溪流纵横､飞瀑悬泻.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，求的值；
（2）估计这100名游客对景区满意度评分的分位数；
（3）若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率.
18.（本小题满分17分）
已知的内角所对的边分别为，且.
（1）求内角；
（2）若为锐角三角形，以下这两个问题中任选一个，
__________，并解答.
①，求周长的取值范围；
②求的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为上一点，.
（1）求的长；
（2）若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值；
（3）若为上一点，且满足，求.
贵阳市六校联盟2026届高二年级联合考试（一）
数学参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.B 【解析】因为，
所以，又，
所以，
故选B.
2.A 【解析】，故A错；
，故B正确；
的虚部为，故C正确；
，故D正确.
故选A.
3.A 【解析】由题设，可得，解得或.
当时，，此时，
当时，，此时，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
4.B 【解析】因为，
所以.
所以.
故选B.
5.D 【解析】根据函数的解析式，
由，
得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和B；
当时，函数的值为0，故排除C.
故选D.
6.C
7.D 【解析】直线的方程可得所以直线过定点，
设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，
所以，即，因为，所以或，
故直线的倾斜角的取值范围是.
故选D.
8.D 【解析】因为，
可得，
又因为，
可得，
，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
故选D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.BC 【解析】A项，若，取，可得，故A不正确；
B项，若，可得：，故，故B正确；
C项，若，可得，由可得：，故C正确；
C项，举反例，虽然，但是，故D不正确；
故选BC.
10.BCD 【解析】对于A：由于，
则在的投影向量为，故A错误；
对于B：由于点为的底面的重心，设点为的中点，故，
整理得，故，
故，故B正确；
对于C：由于对于，
故四点共面，故C正确；
对于D：在单位正交基底下的坐标为，即，
所以在基底下满足
，
整理得，解得，
则在基底下的坐标为，故D正确.
故选BCD.
11.AC 【解析】对于A，因为为偶函数，故，
故，所以，故的图象关于直线对称，故A正确.
对于B，由A中分析可得是周期函数且周期为2，
故当时，，故，故B错误.
对于C，由是周期为2的函数可得：，故C正确.对于D，因为，故的图象关于对称，
而且时，此时在上为增函数，
故图象如图所示：
由图可得的图象与的图象共有10个交点，所有交点的横坐标之和为10，故D错误.
故选AC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 【解析】，且，
，解得.
故.
故答案为.
13. 【解析】由题意可得点与在直线的同侧，故设点关于的对称点，
当点为和直线交点时，即三点共线时，最小，最小值为.
故答案为.
14. 【解析】根据题意可知，如图所示：
当的面积最大时，即取得最大值，
可得，
由对称性可知，可得；
又因为为的中点，所以，
又，由勾股定理可知棱两两垂直，
所以三棱锥的外接球半径为，
可得该外接球的表面积，
故答案为.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（1）；（2）或.
【解析】（1）因为，所以边上的高所在直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的方程，即.
（2）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点，
①当直线与平行，
因为，且过点，
所以方程为，即.
②当直线通过的中点，
所以，
所以的方程为，即.
综上：直线的方程为或.
16.（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）令，连接，
由四边形为矩形，得为中点，又为中点，则，
又平面平面，所以平面.
（2）由垂直于梯形所在平面，，得直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量，则，令，得，，则，而平面的法向量，
所以点到平面的距离.
17.（1）；（2）92.5；（3）.
【解析】（1）由图知：，可得.
（2）由，
所以分位数在区间内，令其为，
则，解得
所以满意度评分的分位数为92.5
（3）因为评分在的频率分别为，
则在中抽取人，设为；
在中抽取人，设为；
从这6人中随机抽取2人，则有：
，
，共有15个基本事件，
设选取的2人评分分别在和内各1人为事件，
则有，共有8个基本事件，
所以.
18.（1）；（2）①；②
【解析】（1）在中由正弦定理及已知条件得：，
即，由余弦定理得：，
又，所以.
（2）①由于为锐角三角形，所以，即，
由正弦定理得，
则，
因为，所以，
所以周长.
②由于为锐角三角形，所以即，
所以，
即的取值范围为.
19.（1）2；（2）（3）10.
【解析】（1）因为底面为矩形，
所以，
因为底面底面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，
所以为直线与所成的角，即，
设，则，
在中，
又，所以，解得或（舍去），
所以；
（2）法一：在平面内过点作交的延长线于点，连接，
因为底面底面，所以，
又平面，
所以平面，又平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为为的中点，
所以，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为；
法二：，
设平面的一个法向量为，
令，得，
，
设平面的一个法向量为，
，
平面与平面所成角的余弦值为.
（3）依题意，又，
所以，又，所以，
又平面，所以平面，
在平面内过点作，垂足为，
由平面平面，所以，
又平面，所以平面，
在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又，即，
所以.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
A
B
D
C
D
D
题号
9
10
11
答案
BC
BCD
AC