2024-2025学年云南省曲靖市高一数学下学期期末考试（附答案）

这是一份2024-2025学年云南省曲靖市高一数学下学期期末考试（附答案），共18页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟.
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3．本卷命题范围：人教A版必修第二册、必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知，且为纯虚数，则z在复平面内对应的点位于（）
A第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 设“事件与事件互斥”是“事件的对立事件是”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（）
A. B. C. 3D.
5. 管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（）
A. 2800B. 1800C. 1400D. 1200
6. 已知一组数据丢失了其中一个大于3数据，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是（）
A. 5B. 12C. 18D. 20
7. 已知函数，则当时，函数零点个数为（）
A. 8B. 6C. 4D. 2
8. 如图所示，在四棱锥中，底面，且底面为菱形，是上的一个动点，若要使得平面平面，则应补充的一个条件可以是
A. B. C. D. 是棱的中点
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法不正确的是（）
A. 某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖
B. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C. 某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水
10. 已知函数（，，，）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）
A. 的图像关于点对称
B. 的图像关于直线对称
C. 在上为增函数
D. 把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像
11. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，a，b､c为三角形的三边）.现有△ABC满足，且△ABC的面积，则下列结论正确的是（）
A. △ABC的最短边长为4B. △ABC的三个内角满足
C. △ABC的外接圆半径为D. △ABC的中线CD的长为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则的最小值为______．
13. 某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具.这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为______.
14. 已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为_______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且.
（1）求角A；
（2）若，，求的面积.
16. 已知定义在上函数).
（1）若函数是偶函数，求实数的值；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
17. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）估计总体400名学生中分数小于70的人数；
（2）已知样本中分数小于40学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（3）根据该大学规定，把百分之15的学生划定为不及格，利用（2）中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考.
18. 小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为1个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同．
（1）若小王发2次红包，求甲恰有1次抢得红包的概率；
（2）若小王发3次红包，其中第1，2次，每次发5元的红包，第3次发10元的红包，求乙抢得所有红包的钱数之和不小于10元的概率．
19. 如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，．
（1）求证：平面；
（2）求点C到平面的距离；
（3）在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由．数学答案
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟.
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3．本卷命题范围：人教A版必修第二册、必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.
【详解】由，
因此，
故选：B
2. 已知，且为纯虚数，则z在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用为纯虚数，可求，可得在复平面内对应的点所在的象限.
【详解】因为，所以为纯虚数，
所以，解得，所以复数，
其在复平面内对应的点为，
所以在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C.
3. 设“事件与事件互斥”是“事件的对立事件是”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由对立事件及互斥事件的关系即可得出结论.
【详解】由对立事件一定互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，
故“事件与事件互斥”是“事件的对立事件是”的必要而不充分条件．
故选：B．
4. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可.
【详解】因为，，所以，
又且与垂直，
所以，解得.
故选：A
5. 管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（）
A. 2800B. 1800C. 1400D. 1200
【答案】C
【解析】
【分析】由从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，按照比例即得解.
【详解】设估计该池塘内鱼的总条数为，
由题意，得从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，
所有池塘中有标记的鱼的概率为：，
又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，
所以，解得，
即估计该池塘内共有条鱼.
故选：C.
6. 已知一组数据丢失了其中一个大于3的数据，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是（）
A. 5B. 12C. 18D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】设丢失的数据为，即可求出平均数与众数，再对分和两种情况讨论，得到中位数，即可得到方程，解得即可；
【详解】设丢失的数据为，则这七个数据的平均数为，众数是3，
若，则中位数为，此时，解得；
若，则中位数为5，此时，解得.
综上所述，丢失的数据可能是4，18.
故选：C.
7. 已知函数，则当时，函数的零点个数为（）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】解出方程的根，即可得出函数的零点个数.
【详解】当时，由，可得，解得，合乎题意；
当时，由于，由，可得，解得，合乎题意.
因此，函数的零点个数为.
故选：D.
8. 如图所示，在四棱锥中，底面，且底面为菱形，是上的一个动点，若要使得平面平面，则应补充的一个条件可以是
A. B. C. D. 是棱的中点
【答案】B
【解析】
【详解】
因为四边形是菱形，，又平面，，又平面，即有，故要使平面平面，只需或.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法不正确的是（）
A. 某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖
B. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C. 某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项.
【详解】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为，
不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误；
对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确；
对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为，
不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误．
对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为，故D错．
故选：ACD．
10. 已知函数（，，，）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）
A. 的图像关于点对称
B. 的图像关于直线对称
C. 在上为增函数
D. 把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数图像求出函数解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】由已知，，，，
，，
又，，，
对于A，，故A正确；
对于B，令，，得，，时，，故B正确；
对于C，时，令，在上递增，故C正确；
对于D，把的图像向右平移个单位长度，得函数表达式为，它是偶函数，故D错误.
故选：ABC.
11. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，a，b､c为三角形的三边）.现有△ABC满足，且△ABC的面积，则下列结论正确的是（）
A. △ABC的最短边长为4B. △ABC的三个内角满足
C. △ABC的外接圆半径为D. △ABC的中线CD的长为
【答案】AB
【解析】
【分析】结合题意利用正余弦定理处理运算，常用向量处理△ABC的中线：．
【详解】因为，所以由正弦定理可得，设，，，因为，所以，解得，则，，，A正确；
因为，所以，，故B正确；
因为，所以，由正弦定理得，，C错误；
，所以，故，D错误.
故选：AB.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则的最小值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】利用配凑法，结合基本不等式计算可得.
【详解】因为，所以，
，
当且仅当，即时取等号，
故答案为：5
13. 某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具.这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】先罗列出所有情况，再罗列出符合要求的情况，最后算概率即可.
【详解】设装变形金刚玩具的盒子分别为，
装积木玩具的盒子为.则从这5个盒子中选出2个盒子的不同选法有
，
共10种不同方法；
恰好选到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的不同选法有
，共4种不同方法，故所求概率，
故答案为：
14. 已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】连接交于点，连接，则平面ABCD,易知球心O在线段上，然后在中，由求得球的半径即可.
【详解】如图所示：
连接交于点，连接，则平面ABCD，
因为正四棱锥底面边长为6，侧棱长为，
所以，
设外接球的半径为R，易知球心O在线段上，
在中，，即，
解得，
所以外接球的表面积为，
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且.
（1）求角A；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理可得答案；
（2）利用正弦定理、余弦定理及面积公式计算可得答案..
【小问1详解】
由余弦定理可得，
因为，所以；
【小问2详解】
因，由正弦定理得，，
由余弦定理得，
解得舍去，，，
所以的面积；
16. 已知定义在上的函数).
（1）若函数是偶函数，求实数的值；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用列方程，化简求得的值.
（2）利用分离常数法求得的取值范围.
【详解】（1）由于是偶函数，所以，
即，
两边乘以得，故.
（2）由得，
两边乘以得对恒成立，
由于，所以，
故当、时有最小值为，
所以.
17. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）估计总体400名学生中分数小于70的人数；
（2）已知样本中分数小于40学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（3）根据该大学规定，把百分之15的学生划定为不及格，利用（2）中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考.
【答案】（1）160 （2）20
（3）55分
【解析】
【分析】（1）根据直方图先求分数不小于70的频率，然后得到分数小于70的频率，然后可得；
（2）先计算分数不小于50的频率，结合已知再求分数在区间[40，50）内的人数，然后可得频率，再由频率估算可得；
（3）根据百分位数的概念可得.
【小问1详解】
根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为（0.02＋0.04）×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.
所以总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160.
【小问2详解】
根据题意，样本中分数不小于50的频率为（0.01＋0.02＋0.04＋0.02）×10＝0.9，
分数在区间[40，50）内的人数为100－100×0.9－5＝5.
所以总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为400×＝20.
【小问3详解】
设分数的第15百分位数为x，由（2）可知，分数小于50的频率为＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以x∈[50，60），则0.1＋（x－50）×0.01＝0.15，
解得x＝55，所以本次考试的及格分数线为55分.
18. 小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为1个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同．
（1）若小王发2次红包，求甲恰有1次抢得红包的概率；
（2）若小王发3次红包，其中第1，2次，每次发5元的红包，第3次发10元的红包，求乙抢得所有红包的钱数之和不小于10元的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据事件的互斥性和独立性即可求得事件的概率；
（2）根据事件的互斥性和独立性即可求得事件的概率；
【小问1详解】
记“甲第i次抢得红包”为事件（，2），“甲第i次没有抢得红包”为事件．
则，．
记“甲恰有1次抢得红包”为事件A，则，
由事件的独立性和互斥性，得
．
【小问2详解】
记“乙第i次抢得红包”为事件（，2，3），“乙第i次没有抢得红包”为事件．
则，．
由事件的独立性和互斥性，得
；
；
．
∴．
即乙抢得所有红包的钱数之和不小于10元的概率为．
19. 如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，．
（1）求证：平面；
（2）求点C到平面的距离；
（3）在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）连交于点F，连EF，由中位线定理以及线面平行的判定证明即可；
（2）连交EF于点N，由题可得，进而点C到平面的距离是点到平面的距离的3倍，然后根据等积法即得；
（3）由线面垂直的性质证明，作，垂足为M，由线面垂直的判定证明平面，最后得出AM的长.
【小问1详解】
连交于点F，连EF，
∵是菱形，
∴F是中点，又∵E是中点，
∴，又∵平面，平面，
∴平面；
【小问2详解】
连交EF于点N，棱柱中是平行四边形，且E，F分别为，中点，
∴，又平面，
∴点C到平面的距离是点到平面的距离的3倍，
∵菱形中，，又，
∴，，，
又平面ABCD，平面ABCD，
∴，又，
∴，∴，
因为，，，
∴面积为，的面积为，
由得，其中h是到平面的距离，
∴，
∴点C到平面的距离为；
【小问3详解】
∵平面ABCD，平面平面ABCD，
∴平面，∵平面，
∴，
∵菱形，，，平面，
∴平面，又平面，
∴，
在中，过F作，垂足为M，
又，平面，
所以平面，
∴存在M满足条件，
在中，，，F是中点，
∴，
∴．