2024-2025学年浙江省金华市高一数学下学期6月期末考试检测试题（附答案）

这是一份2024-2025学年浙江省金华市高一数学下学期6月期末考试检测试题（附答案），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
选择题部分（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接求交集即可.
【详解】集合，，
则.
故选：A.
2. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，可得成立，即充分性成立；
反正：若，可得或，即必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
3. 数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为（）
A. 3.5B. 4C. 4.5D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数的求解方法可得
【详解】这组数据是按从小到大顺序排列的，且共有10个数据，
又最中间两个数的平均数为，
该组数据的中位数为
故选：C
4. 复数，则（）
A. 5B. C. D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的运算化简得出复数，再结合复数的模长公式计算即可.
【详解】因为,
所以.
故选：B.
5. 已知，点关于点A的对称点为，点关于点的对称点为，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量加、减法的法则可得
【详解】因为点关于点A的对称点为，点关于点的对称点为，
所以，两式相减可得
所以，
故选：D
6. 某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件首先求出圆锥的母线长，再利用公式求侧面积即可.
【详解】如图所示，设球与圆锥底面相切于点，与母线相切于点，
根据已知得，
设母线长，则在直角△中，
因为，所以
即，化简得，
解得，或(舍去)，
所以圆锥的侧面积为：.
故选：C.
7. 若函数（是常数）有且只有一个零点，则的值为（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件可判断为偶函数，函数图象关于轴对称，由函数有且只有一个零点，过坐标原点即可求解.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，函数图象关于轴对称，
因为函数有且只有一个零点，
所以函数过坐标原点，，解得.
故选：.
8. 已知三个内角，，的对边分别是，，，且满足，则面积的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，再利用两次基本不等式得到，从而得解.
【详解】因为，则，，即，
由余弦定理可得，又，
所以①，②，
①②可得，
又，即，
则
，
即，即，
解得，
当且仅当时，即，时，等号成立，
所以面积的最大值为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用余弦定理与三角形的面积公式得到，从而结合基本不等式即可得解.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（）
A. 若与互斥，则B. 若与互斥，则
C. 若，则D. 若与相互独立，则
【答案】BD
【解析】
【分析】由互斥事件的定义，代入计算即可判断AB，由，则，即可判断C，由相互独立事件的定义，即可判断D
【详解】因为，，
若与互斥，则，，故A错误，B正确；
若，则，所以，故C错误；
若与相互独立，则，故D正确；
故选：BD
10. 已知与分别是异面直线与上的不同点，，，，分别是线段，，，上的点.以下命题正确的是（）
A. 直线与直线可以相交，不可以平行B. 直线与直线可以异面，不可以平行
C. 直线与直线可以垂直，可以相交D. 直线与直线可以异面，可以相交
【答案】BCD
【解析】
【分析】A可假设直线与直线相交，推出矛盾；B先根据特殊位置得到两直线异面，再假设两直线平行，推出矛盾；C根据特殊位置可以得到两直线垂直和相交；D由特殊位置得到两直线可能异面，可能相交，也可以平行.
【详解】A选项，若直线与直线相交，则四点共面，则直线与共面，
与题目条件直线与异面矛盾，故直线与直线不可以相交，A错误；
B选项，当分别和重合时，直线与直线异面，
直线与直线不可以平行，假如直线与直线平行，
平面，平面，故平面，
但与平面有交点，显然这是不可能的，假设不成立，B正确；
C选项，当均与重合，此时直线与直线相交，
当调整的位置，可能有⊥，且令分别与重合，
此时满足直线与直线垂直，
故直线与直线可以垂直，可以相交，C正确；
D选项，当均与重合，或均与重合时，直线与直线相交，
当时，与平行，当时，与平行，此时与平行，
其他情况，直线与直线异面，
故直线与直线可以异面，可以相交，D正确.
故选：BCD
11. 小明在研究物理中某种粒子点的运动轨迹，想找到与的函数关系，从而解决物理问题，但百思不得其解，经过继续深入研究，他发现和都与某个变量有关联，且有.小明以此为依据去判断函数的性质，得到了一些结论，有些正确的结论帮助小明顺利的解决了物理问题，同时也让小明深深感受到学好数学对物理学习帮助很大！我们来看看，小明的以下结论正确的是（）
A. 函数的图象关于原点对称B. 函数是以为周期的函数
C. 函数的图象存在多条对称轴D. 函数在上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据y的取值情况判断A选项，根据正弦余弦函数周期性判断B选项，根据圆的特性判断C选项，应用复合函数单调性判断D选项.
【详解】对于A：由题意知，故不可能关于原点对称，A选项错误；
对于B:周期为，则是以为周期的函数，B选项正确；
对于C：当时，,
此时有多条对称轴，C选项正确；
对于D:设单调递增，
单调递增，根据复合函数的单调性可得在单调递增，D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：根据对称中心及对称轴定义判对称性即可.
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则_____________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据定义域代入相应的解析式可得答案.
【详解】因为，
所以，.
故答案为：2.
13. 甲船在岛的正南方向处，千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自岛出发向北偏东的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为_____________千米.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件用余弦定理将甲、乙两船的距离表示出来，再求最小值即可求解.
【详解】如图所示，设甲船航行到点，同时乙船航行到点，
由已知得，，
设，则，
在△中，由余弦定理得，
代入得，
所以当时，取最小值为，即甲、乙两船的最近距离为千米.
故答案为：.
14. 在中，，，，在边上，延长到，使.若，则_____________.
【答案】4
【解析】
【分析】建系标点，设，根据向量的坐标运算解得，进而可得，结合图形即可得结果.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
则，可知，
设，
可得，
因为，
则，解得，
且，可得，，
所以.
故答案为：4.
【点睛】关键点点睛：建系，根据可设，进而结合题意运算.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知是夹角为的两个单位向量，.
（1）若可以作为一组基底，求实数的取值范围；
（2）若垂直，求实数的值；
（3）求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据向量不平行，的系数比值不相等可解；
（2）根据，结合数量积运算性质即可得解；
（3）将向量模转化为数量积，根据二次函数性质可得.
【小问1详解】
因为可以作为一组基底，所以不平行，
又不共线，所以，即，
所以，实数的取值范围为.
【小问2详解】
因为垂直，所以，
即，
又，
所以，解得.
【小问3详解】
因为，
所以，当时，取得最小值3，
所以的最小值为.
16. 已知函数.
（1）求函数的值域和其图象的对称中心；
（2）在中，三个内角，，的对边分别是，，，满足，，，求的面积的值.
【答案】（1）值域为，.
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式化简，根据正弦函数性质可得值域，利用整体代入法求解可得对称中心；
（2）根据求角，利用余弦定理求出c，然后由面积公式可得.
【小问1详解】
，所以值域，
令，得，
所以的对称中心坐标为.
【小问2详解】
由得，
，，
所以或，即或，
，，
由余弦定理得，
即，解得或4.
当时，；
当时，.
故所求的面积为或.
17. 在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格.
（1）求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.
（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.
【答案】（1），20.32小时
（2）21.73小时（3）
【解析】
【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出，利用平均数的定义进行计算；
（2）即求60百分位数，先得到60百分位数位于18~22之间，设出60百分位数为，从而得到方程，求出答案；
（3）按照分层抽样的概念得到优秀，良好，及格的人数，并列举出求解相应的概率.
【小问1详解】
由，解得，
因为小时，
所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时.
【小问2详解】
时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格，
由题意知，即求60百分位数，又，，
所以60百分位数位于18~22之间，
设60百分位数为，则，解得小时.
故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀.
【小问3详解】
易知，5名学生中，
优秀有人，设为，
良好有人，设为，
合格有人，设为.
任选3人，总共有，10种情况，
其中符合的有，共4种，
故概率为.
18. 在四棱台中，，平面平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值；
（3）若是的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据平行直线的传递性可得，然后根据线面平行的判定可得
（2）方法一，取中点，连，，，则，，所以就是直线与所成的角，然后在直角三角形中求出余弦即可，方法二，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，利用公式求出即可
（3）利用二面角的定义找出就是二面角的平面角，求出平面的法向量和平面的法向量，利用求解即可.
小问1详解】
连接，，，
是平行四边形，.
又面，面，故平面
【小问2详解】
法一：取中点，连，，，则，，
所以就是直线与所成的角.
在梯形中，由已知可得，
又平面平面，是交线，
平面，平面，，，
，
所以，直线与直线所成角的余弦值为.
法二：在梯形中，由已知可得，
平面平面，是交线，
面，
如图，以A为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，
，
.
小问3详解】
法一：过作延长线的垂线于，连接，取中点，连接，
过作，连接.
易证面，
则就是二面角的平面角.
，，
所以，
故.
法二：，，
设是平面的法向量，则
令，得，
又是平面的法向量，
所以.
19. 假设是定义在一个区间上的连续函数，且.对，记，，…，.若某一个函数满足，则有（其中，为关于的方程的两个根，，是可以由，来确定的常数）.
（1）若，且满足.
（ⅰ）求，的值；
（ⅱ）求的表达式；
（2）若函数的定义域为，值域为，且，且函数满足，求的解析式.
【答案】（1）（ⅰ），；（ⅱ）
（2）
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）由题意知，利用递推关系即可求解；
（ⅱ）由题意知，又，为的两个根可得，从而可得，求解即可；
（2）由题意得，又由值域为可得，从而可得，再由即可求解.
【小问1详解】
（ⅰ）由题意知，又，，
所以，.
（ⅱ）由题意知，，
又，为的两个根1，，
.
又，所以，
.
【小问2详解】
由题意知，，为关于的方程的两个根，
所以，则，
因为值域为，易知；
，则，
，
.