2024-2025学年浙江省杭州市高一数学上学期期末检测试题（附答案）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州市高一数学上学期期末检测试题（附答案），共18页。
1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟．
2、答题前，在答题卷上填写班级、姓名、考场号、座位号，并填涂卡号．
3、所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效．
4、考试结束，只上交答题卷．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若集合，，，则集合（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集、并集的定义计算可得.
【详解】因为，，，
所以，则.
故选：C
2. “”是“”的（）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，可得，
所以由推不出，即充分性不成立，
由推得出，即必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A
3. 若，，，则（）
A. B.
CD.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】因为在定义域上单调递减，所以，
即，
在定义域上单调递减，所以，即，
所以.
故选：B
4. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式计算可得.
【详解】因为，
所以.
故选：A
5. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得，解得即可.
【详解】因为函数是上减函数，
所以，解得，即实数的取值范围为.
故选：D
6. 函数的图象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再由特殊值判断即可.
【详解】函数的定义域为，
且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B、D；
因为，又，故排除A.
故选：C
7. 已知函数有一条对称轴为，当取最小值时，关于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件函数的一条对称轴为，求得的值，解得，利用换元法令，画出函数，的函数图像，数形结合即可求解.
【详解】由正弦函数的对称轴可知：
，，又因为，
所以的最小值为，即.
，则，令，
则有，，函数图像如图所示：
由于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根，
根据的图像有实数a的取值范围是.
故选：D
8. 若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可.
【详解】因为正实数、满足，
即，所以，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
因为正实数、满足，且恒成立，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：B．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 若，给出下列命题中，错误的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，利用特殊值判断C.
【详解】对于A：因为，，所以，故A正确；
对于B：因为，，则，所以，故B错误；
对于C：若，，，，满足，，但是，故C错误；
对于D：因为，，所以，故D正确，
故选：BC
10. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，结合三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B不正确；
对于C中，由，所以C不正确；
对于D中，由，所以D正确.
故选：AD.
11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）
A. 该图象对应的函数解析式为B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称D. 函数在区间上单调递减
【答案】AB
【解析】
【分析】先依据图像求得函数的解析式，再去代入验证对称轴、对称中心、单调区间，即可判断.
详解】由图象可知，，即，所以，
又，可得，又因为，所以，
所以，故A正确；
当时，，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
当时，，
故函数的图象不关于点对称，故C错误；
当时，则，因为在上不单调，
所以函数在上不单调递减，故D错误．
故选：AB
12. 养正高中某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（）
A. 函数定义域为，且是奇函数
B. 对于任意的，都有
C. 对于任意的，都有
D. 对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据真数大于0求定义域，利用奇偶性定义判断奇偶性可判断A，根据对数运算化简即可判断BC，取特殊值判断D.
【详解】由，解得，故函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以是奇函数，故A正确；
任意的，，故B正确；
因为，，
所以，故C正确；
取，则，，故D错误.
故选：ABC
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形的面积为_________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由扇形的面积公式有：
考点：扇形的面积公式
【名师点睛】
1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
2．本题把求扇形面积最大值的问题，转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，这是解决此类问题的常用方法．
3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要注意合理地利用圆心角所在的三角形．
14. 函数的零点，则的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】由函数单调性以及零点存在定理定理得，由此即可得解.
【详解】因为和均单调递增，所以也单调递增，
又注意到，
所以由零点存在定理可知函数的零点，
所以，.
故答案为：.
15. 已知是第二象限角，且，则____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化简即可得解.
【详解】因为是第二象限角，且，
所以，，
所以.
故答案为：
16. 已知，若方程有四个根，且，则的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】作出函数和函数的图象，将方程根的问题，转化为图象交点问题，进而得出与，与的关系，从而得出结果.
【详解】因为方程有四个根，
故函数的图象与函数的图象有四个交点，
它们的横坐标分别为，如图所示，
当时，，且，故，
当时，，且，所以，解得，
因为函数的图象与函数的图象有四个交点，
由图可得，，故，
所以，
令，，在单调递增，
所以，，
故的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】17.
18. 0
【解析】
【分析】（1）根据对数及指数幂的运算法则求解；
（2）利用诱导公式化简求解.
小问1详解】
原式
.
【小问2详解】
原式
.
18. 已知集合，.
（1）当时，求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两个集合的交集的定义求出.
（2）根据，分时和时两种情况，分别求得的范围，再取并集，即得所求.
【小问1详解】
当时，集合，，
故.
【小问2详解】
，则，
当时，，即，满足，故；
当时，，即时，则，解得，
于是得，
综上所述：，所以实数的取值范围是.
19. 某工厂要设计一个零部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，该零部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），该零部件的面积是．
（1）求关于的函数解析式，并求出定义域；
（2）设用到的圆形铁片的面积为（单位：），求的最小值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）用表示阴影部分面积，由此可得y关于x的函数解析式，结合已知求定义域；
（2）用表示圆的半径的平方，再利用基本不等式求其最小值，由此可得圆的面积最小值.
【小问1详解】
依题意可得零件的面积，
故，由，即，解得．
故，.
【小问2详解】
如图所示：作交于，交于，连接．
故，又，设圆的半径为，
故
，
当，即时等号成立．
故当时，面积最小值，
即的最小值为．
20. 已知函数．
（1）若过定点，求的单调递减区间；
（2）若值域为，求a的取值范围．
【答案】20.
21.
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得，得到，令，求得函数的定义域为，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定法，即可求解；
（2）根据题意，转化为，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数过定点，
可得，可得，解得，所以，
令，解得或，即函数的定义域为，
设，则函数在上为单调递减函数，
又由函数在定义域上为单调递增函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减，
所以函数的递减区间为.
【小问2详解】
解：由函数的值域为，
即为函数值域的子集，即，
当时，可得，此时函数的值域为，符合题意；
当时，则满足，解得，所以；
当时，此时的开口向下，显然不满足题意，
综上可得，实数的取值范围为.
21. 已知函数．
（1）求函数在R上的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简函数得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，得到为函数的最值，结合三角函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
解：将函数的图形向左平移个单位长度，
得到，
再将得到的函数图象向上平移1个单位长度，可得，
由实数满足，则为函数的最值，
不妨设，
则，
解得，
则，
当或时，此时.
22. 设，函数．
（1）若函数为奇函数，求a的值；
（2）若，函数在区间上的值域是（），求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数为奇函数利用求解即可；
（2）分讨论，分别求出函数的定义域，单调性，时利用单调递增建立方程，根据方程根的分布列出不等式即可求出的范围，当时，可分析所在区间，据此得出关于的等式，化简可得解.
【小问1详解】
由函数，且函数为奇函数
所以，
即，
化简可得，解得，
当时，，定义域为，关于原点对称，满足题意；
当时，，定义域为，关于原点对称，满足题意.
所以函数为奇函数时，或.
【小问2详解】
，
，，故，而，，
当时，在上为增函数，
当时，，
即是方程的两个不同的实根，
令，则在上有两个不等的实根，
故，即，解得；
当时，，函数定义域为，
时，，
若，则，而，所以，矛盾，
故，
因为在上单调递减，
故，即，
两式相减可得，因为，所以，即，
所以，即.
综上，当时，，当时，，
即的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于对分类讨论，确定函数的定义域及单调性；关键点之二在于当函数为单调递增函数时，建立最大值与最小值的表达式，据此抽象出为方程的两不等实根，从而换元后根据根为正数，列出不等式组.