2024-2025学年浙江省杭州市高三数学上学期期末检测试题（附答案）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州市高三数学上学期期末检测试题（附答案），共20页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 已知复数满足， 若，则的最小值是， 已知定义在上的函数满足，则， 已知数列，满足，，，则等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.
【详解】由可得：，解得：，
由可得，即，即，
解得：或，
故，，所以.
故选：D.
2. 已知复数满足（为虚数单位），且，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，结合共轭复数的定义和复数的模公式求出即可.
【详解】设，，则，
因为，则，又，
则，解得或，
所以或，
所以或，
故选：B.
3. 已知随机变量，分别满足二项分布，，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由二项分布的方差公式求出，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以，
所以，则，
若，则.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
4. 若，则的最小值是（）
A. B. 6C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】由，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，可得，且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：A.
5. 冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：）（）
A. 3小时B. 4小时C. 5小时D. 6小时
【答案】C
【解析】
【分析】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要分钟，则，两边同时取对数得，结合对数的运算性质求解即可.
【详解】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要分钟，
则，两边同时取对数得，，
所以，所以大约需要小时.
故选：C.
6. 已知定义在上的函数满足，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，，求导得到其单调性，从而得到，化简后得到答案.
【详解】令，，
故恒成立，
故在上单调递增，
故，即.
故选：B
7. 已知数列，满足，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据递推关系，归纳出数列的奇数项与偶数项分别为公比为的等比数列，进而可得数列的通项公式.
【详解】因为，，则，
又，则，
所以数列的奇数项与偶数项分别为公比为的等比数列，
由可得，
则数列的各项为，
其中奇数项的通项公式为，
偶数项的通项公式为，
所以数列的通项公式为.
故选：D
8. 已知四面体，是边长为6的正三角形，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出图形，找出外接球球心的位置，利用以及图形几何关系表示出相应的线段长度，结合勾股定理列方程求出外接球半径即可得解.
【详解】如图，
取中点，连接，因为是边长为6的正三角形，，
则由三线合一可知，
所以二面角的平面角为，
取三角形的外心，设外接球的球心为，则平面，
且，其中为四面体外接球的半径，
过点作垂直平面，垂足为点，由对称性可知点必定落在的延长线上面，
由几何关系，设，
而由正弦定理边角互换得，
进而，
由勾股定理得，
从而，，
所以，，
所以由得，，解得，
所以四面体的外接球的表面积为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：关键是合理转换二面角的大小为，并求出外接球半径，由此即可顺利得解.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知平面向量，，则下列命题正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.由共线向量定理求解判断；B.利用向量的数量积运算求解判断；C.利用向量的模公式求解判断；D.由向量的夹角公式求解判断.
【详解】A.若，则，解得，故正确；
B若，则，解得，故正确；
C.若，或，故错误；
D.若，则，解得，故正确，
故选：ABD
10. 已知四棱柱的底面为菱形，且，，，为的中点，为线段上的动点，则下列命题正确的是（）
A. 可作为一组空间向量的基底
B. 可作为一组空间向量的基底
C. 直线平面
D. 向量在平面上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A，找到，容易判断共面，从而做出判断即可；选项B，先找到含有两个向量的平面，判断与平面的关系即可；选项C，证明平面平面即可；选项D，证明垂直平面即可.
【详解】如图所示，四棱柱，
对于选项A，，三个向量都在平面，
即三个向量共面，则也共面，
不可作为一组空间向量的基底，选项A错误；
对于选项B，两个向量都在平面，
显然直线与平面是相交关系，不与平面平行，
故三个向量不共面，可作为一组空间向量的基底，选项B正确；
对于选项C，由于，，
易得平面，平面，
从而有平面平面，且平面，
所以直线平面，选项C正确；
对于选项D，取作为一组空间向量的基底，
，
，
，
其中，
因为底面为菱形，且，，，
得，，
所以，即，，
其中，
显然，
，
所以，即，，
因为，，且平面，平面，，
所以平面，
所以向量在平面上的投影向量为，选项D正确；
故选：BCD.
11. 已知函数，，则（）
A. 将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
B. 将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
C. 函数与的图象关于直线对称
D. 函数与的图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】由三角函数的平移变换可判断A，B；由可判断C；由可判断D.
【详解】因为，
将函数的图象右移个单位可得到，
将函数的图象右移个单位可得到，
故A正确，B错误；
由A选项可知，，所以函数与的图象关于直线对称，故C正确；
若函数与的图象关于点对称，
则在上取点关于的对称点必在上，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
12. （多选）已知数据，若去掉后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大，记，，，的平均数与方差为，，记，，，的平均数与方差为，，则（）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平均数的大小列出不等式变形即可判断AB，根据方差公式作差后变形，利用，即可判断CD.
【详解】因为，
所以，所以，所以，故A正确，B错误；
，故C正确，D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 直线的倾斜角是___________.
【答案】0
【解析】
【分析】根据斜率得到倾斜角.
【详解】的斜率为0，设倾斜角为，则，解得，
故倾斜角0
故答案为：0
14. 已知二项式的展开式中含的项的系数为84，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】应用二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】二项式中含的项为：，
该项的系数为，
由于该项的系数为84，得方程，即，
解得或（舍去），
故答案为：.
15. 位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高为___________米.（结果保留整数，参考数据：）
【答案】310
【解析】
【分析】设米，进而可得，在中由正弦定理求出，求解即可得出答案.
【详解】设米，因为在点C测得塔顶A的仰角为80°，
所以，在中，，所以，
在中，因为，，
所以，
由正弦定理得，所以，
则，
所以米.
故答案为：310.
16. 已知点P是双曲线C：与圆在第一象限的公共点，若点P关于双曲线C其中一条渐近线的对称点恰好在y轴负半轴上，则双曲线C的离心率___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，联立双曲线与圆的方程，求得点的坐标，再求得其对称点的坐标，再由，化简即可得到的关系，再由离心率公式，即可得到结果.
【详解】
联立，取，解得，即，
设点P关于双曲线C的渐近线的对称点为，则恰好在轴负半轴上，
且，所以，
由点与点关于渐近线对称，所以直线的斜率为，
所以，即，化简可得，
所以.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，角C为锐角，已知的面积为.
（1）求c；
（2）若为上的中线，求的余弦值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可；
（2）因为为上的中线，所以，对其两边同时平方可求出，再由余弦定理求解即可.
【小问1详解】
由的面积为可得：，
因为，，解得：得，
由角为锐角得，
故，解得.
【小问2详解】
因为为上的中线，所以，
所以，
，
解得：.
故.
18. 已知为公差为2的等差数列的前项和，若数列为等差数列.
（1）求；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由等差中项的性质可得，再由等差数列的通项公式和前项和公式代入化简可求得，即可求出答案；
（2）由（1）得，则，再由等比数列的前项和公式和分组求和法求解即可.
【小问1详解】
因为数列为等差数列，所以，
因为为公差为2的等差数列的前项和，
则，解得.
故.
【小问2详解】
由（1）得，故，
故数列的前项和为.
19. 已知直三棱柱，，，D，E分别为线段，上的点，.
（1）证明：平面平面；
（2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）建系，分别求出平面和平面法向量，利用两法向量垂直，两面垂直即可证明；
（2）设出点坐标，由已知点面距离利用向量法解出点坐标，再代入线面角的向量公式求出即可.
【小问1详解】
证明：在直三棱柱中，，平面，
所以以为原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则点，，，，，
则，，，
设，则，
设平面和平面的法向量分别为，
则，取，则；
，取，则，
因为，
所以平面平面.
【小问2详解】
设点，
由，得平面的法向量，
由得点到平面的距离，
解得，
由，得，直线与平面所成的角的正弦值为.
20. 已知点，为椭圆C：的左，右焦点，椭圆C上的点P，Q满足，且P，Q在x轴上方，直线，交于点G.已知直线的斜率为.
（1）当时，求值；
（2）记，的面积分别为，，求的最大值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由椭圆的性质可得，再利用弦长公式求解即可；
（2）利用已知条件将表示出来，在利用基本不等式即可求解.
【小问1详解】
设直线与椭圆的另一个交点为，由椭圆的对称性得，关于原点对称.
设点，.
因为C：中，所以，
所以当时，直线的方程为：，
联立直线与椭圆的方程得，
所以，
所以，
所以.
【小问2详解】
由题可设直线的方程为：，
联立直线与椭圆得：，
所以，
，
，
所以当即时等号成立，取到最大值.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的面积问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于y的一元二次方程的形式,得到韦达定理；
②表示出的面积，将韦达定理代入，再借助基本不等式即可求出面积的最大值.
21. 我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水.某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下：
（1）依据的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？
（2）从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求.
参考公式与数据：.
【答案】（1）无关（2）
【解析】
【分析】（1）计算的值，与临界值比较得出结论；
（2）利用条件概率公式求解.
【小问1详解】
零假设为：元宵节的降水与中秋节的降水无关.
，
因为，所以没有充分证据推断不成立，故元宵节的降水与中秋节的降水无关.
【小问2详解】
中秋节的降水状况为一降水一无降水概率为，
中秋节、元宵节的降水状况均为一降水一无降水概率为，
故.
22. 定义满足的实数为函数的然点.已知.
（1）证明：对于，函数必有然点；
（2）设为函数的然点，判断函数的零点个数并证明.
【答案】（1）证明见解析
（2）2个零点，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数零点存在原理，结合导数的性质、题中定义进行运算证明即可；
（2）根据（1）的结论，结合函数零点存在原理、结合放缩法进行求解即可.
小问1详解】
，由得.
令，
因为在上单调递增，故至多一个零点，
又因为，，
所以使，故对于，函数有唯一然点.
【小问2详解】
由（I）得，
令，因为在上单调递减，且，
，故使，
在上单调递增，在上单调递减.
因为，故，
将代入，得
，
所以有2个零点.
【点睛】关键点睛：根据题中定义，运用零点存在原理是解题的关键.
中秋天气
元宵天气
合计
降水
无降水
降水
19
41
60
无降水
50
90
140
合计
69
131
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828