2024-2025学年浙江省高三数学下学期开学适应性检测试题（附答案）

这是一份2024-2025学年浙江省高三数学下学期开学适应性检测试题（附答案），共20页。试卷主要包含了 随机变量服从正态分布， 已知， 已知数列满足，且对任意均有， 已知集合，则， 设，向量，向量，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式，即可求解.
【详解】设圆弧所对的圆心角为，因为半径为2的圆上圆弧长度为4，可得，所以.
故选：B.
2. 直线过抛物线的焦点，且在轴与轴上的截距相同，则的方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得抛物线的焦点为，设直线方程为，代入直线方程求得的值，即可求解.
【详解】由抛物线的焦点为，
又由直线在轴与轴的截距相同，可得直线方程为，
将点代入，可得，所以直线的长为.
故选：A.
3. 如图，某种车桩可在左右两侧各停靠一辆单车，每辆单车只能停靠于一个车桩.某站点设有4个均停满共享单车的这样的车桩.若有两人在该站点各自挑选一辆共享单车骑行，且所挑单车不停靠于同一车桩，则不同的选法种数是（）
A. 24B. 36C. 48D. 96
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，利用分步计数原理和组合知识即可求出结果.
【详解】由题有，
故选：C.
4. 随机变量服从正态分布.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用对称性得到，，再利用条件概率公式即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又，所以，
故选：B.
5. 已知.设甲：，乙：，则（）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用构造函数法，结合导数以及充分和必要条件等知识确定正确答案.
【详解】依题意，，
对于甲：，即，
设，
所以在上单调递增，故.
对于乙：，两边取以为底的对数得，
由于，所以，则，
设，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
所以由，即，若或，则，
若不在的同一单调区间，则，
所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.
故选：A
6. 已知复数，其中且，则的最小值是（）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复数模的几何意义，问题转化为点到直线的距离.
【详解】复数，其中且，
复数在复平面内对应的点，在直线上，
的几何意义是点到点的距离，
其最小值为点到直线的距离，最小值为.
故选：D
7. 高为3，长宽为的长方体中，以为球心的球两两相切，过点作球的切线交球于点在长方体外部，则点的轨迹长度是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出球的半径分别为，得到方程，求出，从而得到点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，位于长方体外部的圆弧部分，求出答案.
【详解】设球的半径分别为，
则，，，
解得，
过点作球的切线交球于点，则点的轨迹为球的小圆，其中圆心为，
则在线段上，
如图所示，⊥，，由勾股定理得，
为等腰直角三角形，故，
由于在长方体外部，
故点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，位于长方体外部的圆弧部分，
其中位于长方体外部的部分占到整个圆的，
故轨迹长度为.
故选：C
8. 已知数列满足，且对任意均有.记的前项和为，则（）
A. 28B. 140C. 256D. 784
【答案】B
【解析】
【分析】令，得到，令，求得，得出为等差数列，求得，利用累加法求得，再令，得到，求得，得出，即可求解.
【详解】由数列满足，且，
令，可得，即，
再令，可得，即数列是公差为的等差数列，
又由，可得，即，
又由
即，所以及，
令，可得，代入可得，
解得，所以，
即数列的通项公式为，
所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是证明数列是公差为的等差数列，再结合累加法并求出，从而得到，最后计算即可.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件得到，从而得到选项A正确，再由元素与集合，集合与集合间的关系，对B，C和D逐一分析判断，即可得出结果.
【详解】易知方程无解，所以，所以选项A正确，
因为，所以选项B错误，
因为集合是以为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C正确，
又空集是任何集合的子集，所以选项D正确，
故选：ACD.
10. 设，向量，向量，则（）
A. 必不互为平行向量
B. 必不互为垂直向量
C. 存在，使
D. 对任意
【答案】AD
【解析】
【分析】根据平行向量、垂直向量、相等向量的坐标表示以及向量的数量积运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：若互相平行，则，
即，又，，
则，即，显然不成立，
故必不互为平行向量，A正确；
对B：若，则，，
此时，与垂直，故B错误；
对C：若，则，且，
即，且，又，，
则，且，显然无法同时成立，
即不可能相等，故C错误；
对D：，
则，故对任意，D正确.
故选：AD.
11. 已知函数，曲线.过不在上的点恰能作两条的切线，切点分别为，则（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】求导函数，结合题意利用导数的几何意义转化为有两点问题，求导，分类讨论研究函数单调性，根据函数性质求出，从而判断AB，分类作出函数图象，结合函数图象分析数形结合判断CD.
【详解】因为，所以，
所以经过的切线方程为，
由切线过点知，
令，则恰有两个零点，且，
当时，，则在单调递增，不可能有两个零点；
当时，则若，当或时，当时，
则在和上单调递增，在上单调递减，
若，当或时，当时，
则在和上单调递增，在上单调递减，
故或时，函数才可能有两个零点，
又，故，此时显然有两条切线，
所以，即，当时，，故选项A错误，B正确；
由上述分析，，当时，，在和上单调递增，
在上单调递减，示意图如图：
显然，且，所以，
当时，，在和上单调递增，在上单调递减，
示意图如图：
显然，，由得，
所以，即，
综上，，，故选项C和D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考查了导数的几何意义与数形结合研究函数的零点问题，解题关键是采用数形结合的思想分析研究零点的范围.本题中根据曲线有两个切线结合拐点性质得到，然后数形结合分析即可求解，若利用单纯的代数运算求解判断比较困难．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是奇函数，则__________.
【答案】##05
【解析】
【分析】根据为奇函数，故，变形后得到，求出答案.
【详解】因为的定义域为R，且为奇函数，
故，即对恒成立，
化简得，
故，解得.
故答案为：
13. 已知数列满足，且其前项和为公比为2的等比数列.则的前项积是__________.（用含的式子表示）.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件得到数列的前项和为，进而得出，即可求出结果.
【详解】设数列的前项和为，又，由题知①，
当时，②，
由①②得到，所以，
设数列的前项积为，
当时，，
当时，，
显然时适合上式，所以，
故答案为：.
14. 已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，.则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是__________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】根据条件，设，代入双曲线方程得，再根据条件即可得，从而求出结果；利用，得到，设，则有，，，代入化简即可得出结果.
【详解】当时，设，
则有，解得，又，所以，
又，所以，两边同除，得到，
解得或（舍），
因为，有，
设，则，，，，
所以，
又，所以，
故答案为：；.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第二空，利用，得到，设，，求出，化简并结合双曲线定义，即可求解.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设函数.
（1）时，求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：至多只有一个零点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）当时，，得到，进而可求出，，再根据导数的几何意义，即可求出结果；
（2）将的零点个数转化成与交点个数，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递减，即可证明结果.
【小问1详解】
当时，，则，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
由，得到，整理得到，
令，则，
当时，，当时，，
所以在区间上恒成立，当且仅当时取等号，
故在区间上单调递减，则与最多有一个交点，
即至多只有一个零点
16. 如图，多面体中，四边形与四边形均为直角梯形.已知点四点共面，且.
（1）证明：
（i）平面平面；
（ii）多面体是三棱台；
（2）若，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】16. （i）证明见解析；（ii）证明见解析
17
【解析】
【分析】（1）（i）由线线平行得到线面平行，进而得到面面平行；（ii）由面面平行得到线线平行，即，作出辅助线，证明出直线相交于点，故多面体是三棱台；
（2）由勾股定理逆定理得到线线垂直，从而建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，求出两平面的夹角余弦值.
【小问1详解】
（i）四边形与四边形均为直角梯形，，故，，
因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，
因为平面，，所以平面平面；
（ii）由（i）知，平面平面，又四点共面，
平面平面，平面平面，故，
由于四边形与四边形均为直角梯形，且，
故与不垂直且夹角为锐角，与不垂直且夹角为锐角，
所以为相交直线，延长两直线相交于点，所以直线，直线，
又平面，平面，故平面，平面，
又平面平面，故，
故直线相交于点，故多面体是三棱台；
【小问2详解】
因为，故，则⊥，故⊥，
又，故，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，故，
设平面的法向量为，则，
令，则，，故，平面的法向量为，
设平面与平面所成角大小为，则.
17. 记的内角的对边分别为.已知.
（1）当角最大时，求其最大值并判断的形状；
（2）若的中线，求面积的最大值.
【答案】（1），等边三角形
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，由正弦定理得到，再利用余弦定理及重要不等式可得，即可求出结果；
（2）根据条件，利用向量的中线公式得到，再结合余弦定理得到，进而可得到，，即可求出结果.
【小问1详解】
由得到，
又由余弦定理得，当且仅当取等号，
又，且在区间上单调递减，所以，
即角最大值为，又，所以为等边三角形.
【小问2详解】
因为，得到，
又，所以①，
又由余弦定理得②，由①②得到，
又，所以，得到，当且仅当时取等号，
此时，，由（1）知，
所以，即面积的最大值为.
18. 已知曲线由和组成，点，点，点在上.
（1）求的取值范围（当与重合时，）；
（2）若，求面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）注意到是椭圆的左右焦点，且是圆与轴的交点，分点是否在轴的右侧两种情况讨论即可得解；
（2）当两点在半椭圆上时（不含轴），设，求出，同理求出，进而可求出面积的表达式，再讨论两点都在半圆上，一点在半圆上一点在半椭圆上（不含轴）和一点在轴上一点在半椭圆上三种情况讨论，进而可得出答案.
【小问1详解】
注意到是椭圆的左右焦点，且是圆与轴的交点，
当点在轴的右侧时，由椭圆的定义可得；
当点不在轴的右侧时，设，
则，
因为，所以，
所以，
综上所述，；
小问2详解】
记的面积为，
当两点在半椭圆上时（不含轴），设，
联立，则有，
故，
同理可得，
故，
令，则，
则，
由，得，所以，
所以；
当两点都在半圆上时，，
则；
当一点在半圆上一点在半椭圆上时（不含轴），
由对称性，可设点在半椭圆上，则，
故，
由，可得，
所以，所以；
当一点在轴上一点在半椭圆上时，
由对称性，可设点是曲线与轴的交点，则点为椭圆的右顶点，
则，
，
综上所述，面积的取值范围为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
19. 一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值､管理能力分值､计算机能力分值､沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：
对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标.
（1）将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
（2）小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录.
（i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；
（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值.
【答案】（1）
（2）（i）小刚最适合业务员岗位；（ii）小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别
【解析】
【分析】（1）将合计分值从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求出结果；
（2）（i）根据条件，先求出各个岗位的样本点，再根据题设定义即可求出结果；（ii）先根据条件得到的相关方程组，利用，，得到，再根据题设列出方程，利用，得出，再对三种情况分析讨论，即可求出结果.
【小问1详解】
将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据，
又，所以这组数据的第三四分位数为.
小问2详解】
（i）由图表知，会计岗位的样本点为，则，
业务员岗位的样本点为，则，
后勤岗位的样本点为，则，
管理员岗位的样本点为，则，
所以，故小刚最适合业务员岗位.
（ii）四种职业的推荐率分别为，且，
所以，得到，
又均小于20，所以，且，
故可得到，
设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为，且，，
依题有①，
②，
③，
④，
由①③得，
，
整理得：，
故有三组正整数解，
对于第一组解，代入④式有，不成立；
对于第二组解，代入①式有，
解得或，代入②④式均不成立；
对于第三组解，代入②式有，
解得，代入①②③④均成立，故；
故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为.
【点睛】关键点点晴：本题第（2）问的（ii）问的解决关键在于，根据题设定义列出的相关方程组，分析得，进而选择合适的式子得到，从而分析得解.
岗位
业务能力分值
管理能力分值
计算机能力分值
沟通能力分值
合计分值
会计（1）
2
1
5
4
12
业务员（2）
5
2
3
5
15
后勤（3）
2
3
5
3
13
管理员（4）
4
5
4
4
17