安徽省滁州市2024−2025学年高三下学期第二次教学质量监测 数学试题（含解析）

这是一份安徽省滁州市2024−2025学年高三下学期第二次教学质量监测 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则的实部与虚部之积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知为的重心，为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数所有零点之和为（ ）
A．B．C．0D．1
5．已知首项为负数的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某同学春节期间计划观看《蛟龙行动》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》三部电影，观看顺序随机．记“最先观看《哪吒之魔童闹海》”为事件，“最后观看《蛟龙行动》”为事件，则（ ）
A．B．
C．与相互独立D．
10．已知函数，，，则（ ）
A．和的图象有且只有一条公切线
B．若恒成立，则整数的最大值为
C．若、均大于，则
D．关于的方程在区间内有解
11．已知两点在曲线上，为坐标原点，则（ ）
A．关于原点对称
B．若圆与有公共点，则
C．存在轴上方的两点，使得
D．若点在第一象限，则存在唯一直线，使得点到轴和到直线的距离之积为定值
三、填空题（本大题共3小题）
12．某市高三年级男生的体重（单位：kg）近似服从正态分布．若，则 ．
13．已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为 ．
14．已知函数及其导函数的定义域均为．若，，且的图象关于直线对称，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，适当分组后结果整理如下表：
由于表格受损，只能看到部分数据．
(1)求的值并计算月用电量不低于的居民用户的频率；
(2)为深入研究月用电量不低于的居民用户月用电情况，按分层随机抽样从中抽取了9户进行调查，求在这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户月用电量在区间内的概率．
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，，点为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
17．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意和任意，都有，求实数的取值范围．
18．在数列中，，，其前项和为．数列是公差为的等差数列．
(1)求；
(2)若，
（ⅰ）求数列的通项公式及前项和；
（ⅱ）若，数列满足，，求证：对任意正整数，都有．
19．已知双曲线的右焦点为，点在右支上，且的最小值为1，的渐近线为．
(1)求的方程；
(2)若点在轴上方，且轴，过点的直线与双曲线交于两点．
（ⅰ）求证：直线和的斜率之和为定值；
（ⅱ）过点作轴的垂线，与直线交于点，设线段的中点为，过点作平行于轴的直线，交于两点，的面积为，求点的坐标．
参考答案
1．【答案】B
【详解】解不等式的解集为，
所以，
又，则，
则.
故选B.
2．【答案】A
【详解】由，
则，
其实部为，虚部为，
故实部与虚部之积为，
故选A.
3．【答案】B
【详解】由题意得.
故选B.
4．【答案】C
【详解】由或可得或或或，
故函数的零点之和为，
故选C.
5．【答案】C
【详解】设数列的公比为，
则，
又，则，即，
又，
即，解得，
又，则，
所以，，
故选C.
6．【答案】A
【详解】设的中点为，因为，，所以，，
，
因为，所以.

故选A.
7．【答案】D
【详解】令，该函数的定义域为，，
由可得或，由可得，
且当时，，当时，.
所以，函数的单调递减区间为、，增区间为，
作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的增区间为、，减区间为，
因为，则，
因为，即，
接下来比较与的大小，
作差得，
所以，，因此，.
故选D.
8．【答案】C
【详解】
如图所示，
取中点，中点，连接，，，，
由是等边三角形，是等腰直角三角形，，
则，，，
又，，
，，平面，
所以平面，
所以平面平面，平面平面，平面平面，
又平面，且平面，平面平面，
所以，
又平面平面，且平面平面，平面平面，
所以，
则作出平面如图所示，
设，
则，
所以，
又，，
则，
由，
所以，，，
设过点作与，分别交于点，，
则即为两平面间距离，
，
故选C.
9．【答案】ABD
【详解】随机事件A，B满足，，，
又，
所以，故D正确；
又，
所以不相互独立，故C不正确；
，故A正确；
因为，所以，
所以，故B正确.
故选ABD.
10．【答案】BC
【详解】对于A选项，设直线为函数和的图象的公切线，
设直线切函数于点，切函数于点，
因为，则，所以，，
切线方程为，即，
因为，则，所以，，
切线方程为，即，
所以，，消去可得，解得或，
所以，和的图象有且只有两条公切线，A错；
对于B选项，若，则，
因为函数，其中，则，
因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，
因为，，
所以，存在，使得，即，可得，
且当时，，当时，，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，
所以，，
由题意可得，故整数的最大值为，B对；
对于C选项，
，
因为、，则，，所以，，
所以，，
所以，，C对；
对于D选项，当时，，则，
所以，函数在上单调递增，则，
，则对任意的恒成立，
所以，在单调递减，则，
当时，对任意的，，
所以，关于的方程在区间内无解，D错.
故选BC.
11．【答案】ACD
【详解】对于A项，设曲线上任意一点为，则关于原点的对称也在曲线上，所以关于原点对称，故A项正确.
对于B项，不妨设，则曲线，要使圆与有公共点，则，得，因为有解，且，当且仅当时等号成立，所以，其他象限同理可证，故B项不正确.
对于C项，不妨设曲线上任意一点为，则关于轴的对称也在曲线上，所以曲线关于轴对称，此时的张角可取到最大或最小，对于，，设过两点，与曲线相切的直线斜率为，同理可得，此时，
所以，因为，所以存在轴上方的两点，使得，故C正确.
对于D项，设曲线上任意一点为，则点到轴的距离，设直线为，点到直线的距离，又因为，代入得，当时，为定值，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】0.3
【详解】因为体重近似服从正态分布，
所以正态密度曲线关于对称，
所以，
则，
所以.
13．【答案】
【详解】由题意设，
由椭圆定义，
所以，
设，
对应用余弦定理可得，可得，
对应用余弦定理可得，可得，
又，代入并化简可得，
所以，，
所以离心率.
14．【答案】
【详解】因为的图象关于直线对称，故，
故（为常数），
令，则，故，
故，
而，故，
所以，所以，
所以，故 ，
在中令，则，
故
.
15．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1），
月用电量在区间内的居民用户有户，
所以月用电量不低于的居民用户有户，
其频率为．
（2）月用电量在区间，，的居民用户各有户，
按分层随机抽样从中随机抽取9户，则月用电量在区间，，的居民用户各有3，4，2户，
从这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户居民用户月用电量在区间内的概率．
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接交于点，连接．
在菱形中，，
因为，为的中点，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以．
在菱形中，因为，故，
又，，所以，所以．
又因为点和点分别为和的中点，所以，
所以，又因为平面，所以平面．
（2）由（1）可得，在平面中，过作，垂足为，
则，而，故，
以所在直线分别为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，设平面的法向量为，
由，可得令，
可得平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
故平面与平面夹角的余弦值．
17．【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）的定义域为，，
若，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
若，当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
若，当或时，，当时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增．
综上可知，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增．
（2）令，易知，由题意知，，
由（1）知，
又，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
故实数的取值范围为．
18．【答案】(1)或
(2)（ⅰ）．；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）方法1：，，，
由或，
于是或，所以或．
方法2：显然，则，
于是，所以，
相减得，即，
所以，，又，，解得或.
（2）（ⅰ）当时，，即，
所以，相减整理得，，
所以，，…，，累乘得，，
也满足上式，所以．
所以．
（ⅱ），，显然．
，
所以，，…，，
累加得，得证．
19．【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）由题意知，，解得，，
所以双曲线的方程为．
（2）（ⅰ）由题意知．显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，．
由得．
由，，得且，，．
所以
．
故直线和的斜率之和为定值4．
（ⅱ）方法1：设点的横坐标为，
由（ⅰ）设直线的方程为，则直线的方程为，
于是，，
所以，
所以点的坐标为．
在方程中，令，得，
所以，
所以，
可得，
所以或，又因为，
所以，所以点的坐标为．
方法2：设点的坐标为，
在方程中，令，得，所以，
所以，解得．
又，且为线段的中点，所以，
又由（ⅰ）知或（舍去）．
所以点的坐标为．
月用电量（kW·h）
用户数量
频率
20
0.3
40
0.2