2023-2024学年安徽省滁州市高一下学期教学质量监测数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年安徽省滁州市高一下学期教学质量监测数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B=
A. {2}B. {2,3}C. {2,3,4}D. {1,2,3,4}
2.复数z满足(i−2)z=2+3i(i为虚数单位)，则z的虚部为( )
A. 85B. −85C. 85iD. −85i
3.若x>0，则f(x)=2−x−4x
A. 最大值为−2B. 最小值为−2C. 最大值为6D. 最小值为6
4.下列说法正确的是
A. 如果一条直线与一个平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
B. 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
C. 如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
D. 如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与此平面垂直
5.若函数f(x)=4lg2(x−1),x>1,2f(x+2),x≤1,则f(−1)=( )
A. 2B. 4C. 8D. 16
6.若a=0.20.3，b=0.30.2，c=lg0.50.3，则a，b，c的大小关系为
A. c7.将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，A表示事件“没有出现1点”，B表示事件“出现一次1点”，C表示事件“两次抛出的点数之和是8”，D表示事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是
A. 事件A与事件B是对立事件B. 事件A与事件D是相互独立事件
C. 事件C与事件D是互斥事件D. 事件C包含于事件A
8.设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，i，j分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量OP=xi+yj，则把有序数对(x,y)叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标．在该坐标系下向量a=(1,2)，b=(x,−1)，若有(2a−b)⊥(a+2b)，则x的值是
A. 12或−92B. −92或2C. 92或−12D. −12或2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.截至2021年，中国铁路营运总里程突破15万公里，其中中国高铁运营里程突破4万公里，位于世界榜首，为中国经济的高速发展提供有力的交通保障．下图为2012年至2021年中国高铁每年新增里程折线图，根据图示下列说法正确的有
A. 2012年至2021年中国高铁里程平均每年新增约34.5百公里
B. 2012年至2021年中国高铁每年新增里程的中位数为33百公里
C. 2012年至2021年中国高铁每年新增里程的上四分位数为24百公里
D. 2012年至2016年中国高铁每年新增里程的方差大于2017年至2021年中国高铁每年新增里程的方差
10.若函数f(x)=tan(2x+φ)|φ|<π2的图象过点P(0,1)，则
A. 点π8,0为函数f(x)图象的对称中心
B. 函数f(x)的最小正周期为π
C. 函数f(x)在区间0,π8上的函数值范围为[1,+∞)
D. 函数|f(x)|的单调增区间为kπ2−π8,kπ2+π8(k∈Z)
11.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，M是AA1中点，则( )
A. 异面直线A1C1与AB1所成的角为60°
B. 二面角M−DB−A的平面角正切值为 2
C. 点A到平面MDB的距离为 33
D. 若平面α满足M∈α且CM⊥α，则平面α截正四棱柱所得截面多边形的周长为3 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若csα+π2=13，则sin α=__________．
13.已知向量a，b满足|a+b|=|a−b|= 2|a|，则a与b−a的夹角为__________．
14.如图，正四面体S−ABC，M为该正四面体高SO的中点，过直线AM的平面α与棱BC平行，且平面α截正四面体S−ABC上半部分得到的棱锥内切球半径为r，正四面体S−ABC的内切球半径为R，则rR=__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ABC内角A，B，C所对边分别为a，b，c，D是边AC上一点，∠BDC=π4，a=3，a2+ab−c2+b2=0．
(1)求角C；
(2)求BD的长度．
16.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，M是AB上靠近A的三等分点，N是BC的中点，Q是DN与MC的交点．
(1)用向量AB，AD表示DN，MC；
(2)求∠CQN的余弦值．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，AB= 2BC，PD⊥平面ABCD，M是PC中点，N是AB中点．
(1)证明：BM //平面PDN；
(2)证明：AC⊥PN．
18.(本小题12分)
生物医药的开发和应用对解决全球性疾病具有重要意义．生物医药的开发可以帮助解决全球范围内存在的疑难杂症，如癌症、艾滋病、糖尿病等，同时也可以为未来的新病毒和新疾病提供有效的治疗手段．而试验是生物制药中不可缺少的重要环节．某生物制药公司对甲、乙两种新药物的某项指标值(T)进行实验．对注射甲种药物的20只小白鼠，测量得出该项指标值T的数据并绘制表格如图1；对注射乙种药物的30只小白鼠，测量得出该项指标值T的数据并绘制频率分布直方图如图2.临床观察表明当T值越大，药物对病毒的抑制效果越好．当T值大于40时，认为药物有效；当T值大于80时，认为药效显著．(假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替)．
(1)求图2中a的值以及注射乙种药物指标值T的中位数；
(2)若按分层抽样从注射甲、乙两种药物且药效显著的样本中抽取5件，再从这5件中抽取2件样本作进一步临床实验．记事件A表示“2件样本均来自于注射同一种药物的实验组”，事件B表示“2件样本中至少有1件样本来自于注射乙药物的实验组”，求P(AB)；
(3)从注射甲药物有效组中随机抽取10个样本x1，x2，…，x10.其指标值T平均数为x=73.5，方差s12=120.75；从注射乙药物的有效组中随机抽取20个样本y1，y2，…，y20.其指标值T平均数为y=82.5，方差s22=110.25.计算上述30个样本数据均值ω，方差s2．
19.(本小题12分)
1715年英国数学家泰勒发现了如下公式：ex=1+x+x22!+x33!+…+xnn!+…(其中n!=1×2×3×…×n，e为自然对数的底数，e=2.71828……).已知f(x)=ex+e−x2．
(1)证明：f(2x)=[f(x)]2+[ex−f(x)]2；
(2)设x∈(0,+∞)，证明：(x+1)f(x)>ex；
(3)若∀α∈π4,π2，f(t+cs α)≤f(sin α+sin 2α)恒成立，求t的取值范围．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.B
5.D
6.C
7.D
8.C
9.BD
10.ACD
11.BCD
12.−13
13.3π4
14.12−2 615
15.解：(1)∵a2+ab−c2+b2=0，∴a2+b2−c2=−ab，
即csC=a2+b2−c22ab=−12，
又C为△ABC内角，∴C=2π3；
(2)在△BCD中，C=2π3，a=3，∠BDC=π4，
由正弦定理得：BCsin∠BDC=BDsinC，
即3sinπ4=BDsin2π3，
解得BD=3 62．
16.解：(1)DN=DC+CN=AB−12AD，
MC=MB+BC=23AB+AD；
(2)∵∠CQN为MC，DN的夹角，
且MC⋅DN=(AB−12AD)⋅(23AB+AD)=23AB2−12AD2=4，
|MC|= (23AB+AD)2=2 2，
|DN|= (AB−12AD)2= 10，
∴cs∠CQN=MC⋅DN|MC||DN|=42 2× 10= 55．
17.证明：(1)取PD的中点Q，连接MQ，NQ，
因为M，Q分别为PC，PD的中点，所以MQ/​/CD且MQ=12CD．
由N为AB的中点，则在矩形ABCD中，得BN//CD且BN=12CD．
所以MQ//BN且MQ=BN，
则四边形BMQN为平行四边形．
所以BM//QN．
又QN⊂平面PDN，BM⊄平面PDN，
所以BM//平面PDN．
(2)记DN交AC于点O．
设BC=a，则AD=a，AN= 22a，AB= 2a.
因为ADAN=ABBC= 2，
所以Rt△DAN∽Rt△ABC．
所以∠ADN=∠BAC．
又因为∠ADN+∠DNA=π2，
所以∠BAC+∠DNA=π2，所以∠AON=π2．
所以AC⊥DN．
由PD⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，得AC⊥PD．
又PD∩DN=D，PD、DN⊂平面PDN，
所以AC⊥平面PDN．
因为PN⊂平面PDN，所以AC⊥PN．

18.解：(1)根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，
得：(1200+1120+a+160+1150+1300)×20=1，解得a=1100=0.01；
记注射乙种药物指标值T的中位数为yB，
因为(1200+1120+1100)×20=715<12，
(1200+1120+1100+160)×20=45>12，
∴yB∈(60,80)．
则(yB−60)×160=12−715，解得：yB=62．
故a的值为0.01，注射乙种药物指标值T的中位数为62．
(2)由分层抽样定义，注射甲种药物且药效显著共4件样本，
注射乙种药物且药效显著共6件样本，
从中抽取5件，则注射甲种药物且药效显著被抽取5×44+6=2件，记为a1，a2;
注射乙种药物且药效显著共6支样本被抽取5×64+6=3件，记为b1，b2，b3，
则从这5件中抽取2件的样本空间总体Ω={(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a2,b1)，(a2,b2)，
(a2,b3)，(b1,b2)，(b1,b3)，(b2,b3)}，其中包含10个样本点．
AB={(b1,b2)，(b1,b3)，(b2,b3)}，其中包含3个样本点．
则P(AB)=310．
(3)ω=73.5×10+82.5×2030=79.5．
s2=1010+20[120.75+(73.5−79.5)2]+2010+20[110.25+(82.5−79.5)2]
=13(120.75+36)+23(110.25+9)=52.25+79.5=131.75．
则随机抽取的30个样本数据的均值ω=79.5，方差s2=131.75．
19.证明：(1)[f(x)]2+[ex−f(x)]2=(ex+e−x2)2+(ex−e−x2)2=e2x+e−2x+24+e2x+e−2x−24
=e2x+e−2x2=f(2x)．
(2)要证(x+1)f(x)>ex，即证(x+1)⋅ex+e−x2>ex，即证(x+1)(ex+e−x)>2ex，
也就是(x−1)ex>−(x+1)e−x，即证(1−x)e2x当x≥1时，显然成立;
当0(1−x)e2x<(1−x)(1+2x)=−2x2+x+1解：(3)当x∈R时，有f(−x)=f(x)，所以y=f(x)是偶函数．
故原不等式等价于f(|t+csα|)≤f(|sinα+sin2α|)⋯∗
下证当x≥0时，y=f(x)单调递增．
当0≤x1≤x2时，f(x1)−f(x2)=ex1+e−x12−ex2+e−x22=12[(ex1−ex2)+(e−x1−e−x2)]
=12[(ex1−ex2)−ex1−ex2ex1+x2]=12(ex1−ex2)(1−1ex1+x2).
所以，当0≤x≤x2，ex10.即f(x1)所以y=f(x)在[0,+∞)上单调递增．
所以，∗式等价于|t+csα|≤|sinα+sin2α|，
又α∈[π4,π2]，所以sinα+sin2α>0．
可得|t+csα|≤sinα+sin2α．
化简得：−sinα−sin2α≤t+csα≤sinα+sin2α．
即−sin2α−sinα−csα≤t≤sin2α+sinα−csα．
令m=sinα−csα= 2sin(α−π4).
∵π4≤α≤π2，∴0≤α−π4≤π4．∴sin(α−π4)∈[0, 22]，∴0≤m≤1.
∵m2=(sinα−csα)2=1−sin2α，∴sin2α=1−m2．
∴sin2α+sinα−csα=1−m2+m=−(m−12)2+54∈[1,54]，∴t≤1.
同理可得−sin2α−sinα−csα∈[−1− 2,−1]，∴t≥−1．
即−1≤t≤1.