江苏省淮阴中学、丹阳中学等G4联盟2025届高三下学期4月阶段检测 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省淮阴中学、丹阳中学等G4联盟2025届高三下学期4月阶段检测 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ）
A．{−2，3}B．{−2，2，3}C．{−2，−1，0，3}D．{−2，−1，0，2，3}
2．在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知为第四象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
4．双曲线与双曲线：的渐近线相同，且过点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知：数列满足：对任意的，，，都有，：数列是等差数列.则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知，为平面，，为直线，下列说法正确的是（ ）
A．若直线，与平面所成角相等，则
B．若，且，，则
C．若，，，，若，均不垂直于，则，不垂直
D．若，，，，则
7．如图，平面内有A，B，C，D4个区域，随机在这4个区域之间画3道连线，且任意两个区域之间最多画一道连线，则从A，B，C，D任何一个区域，都可以通过连线及区域到达其它区域的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．若函数，存在两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ）
A．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
B．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
C．若用分层抽样的方法在该地农户家庭年收入在，，三组中共抽取48个家庭进行初步访谈，则年收入在的家庭应抽24个
D．从抽样的12组中的每组中抽出一个数据，得到共12个家庭的具体收入数据，若数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小，则数据a必为这12个家庭收入数据的平均数
10．若满足，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知直线：，则下列说法正确的是（ ）
A．当直线在轴与轴上的截距相等时，
B．当直线为抛物线的准线时，的取值可能是1
C．若直线被圆截得的弦长为，则直线斜率的绝对值等于
D．存在点，对任意的，点P均不在直线上，若，则实数的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．在的展开式中，常数项为 .
13．已知正三棱柱所有棱长都相等，它的六个顶点都在半径为的球面上，则此正三棱柱的体积为 .
14．已知函数为上的奇函数，在上单调递增，都有且，则的值域为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．斜三棱柱中，所有棱长都为2，，平面平面.

(1)若为中点，E点在线段上，且，求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
16．已知在中，，.
(1)求角的大小及的值；
(2)设，求三角形的面积.
17．已知.
(1)设函数在原点处的切线方程为，当时，，求实数的取值范围；
(2)若函数的图象上存在两点关于原点对称，求实数的取值范围.
18．椭圆：过点，离心率为.过原点的直线交椭圆于A，B两点，点C，D在椭圆E上，且满足，设直线与交于点F.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求F点的轨迹方程；
(3)设直线与F点的轨迹交于M，N两点，求证：的面积为定值.
19．已知一个袋子中有x个红球，y个黑球，，这些球除颜色外完全相同.
(1)当，时，甲乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束.
①求第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率；
②若规定甲乙摸球次数的总和达到时也停止比赛，设随机变量X为比赛结束时的摸球次数，写出随机变量X的分布列，并求.
(2)将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子，随机变量X表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，是X的数学期望，求证：当时，.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由题意可得：，则.
故选A.
2．【答案】B
【详解】对应的点为位于第二象限,
故选B.
3．【答案】B
【详解】因为，，所以，
因为为第四象限角，所以，
所以
.
故选B.
4．【答案】B
【详解】设双曲线的方程为，，
代入点，则，
则方程为，即.
故选B.
5．【答案】C
【详解】当成立时，对任意的正整数，对任意的，，都有，则，
所以当时，，对任意的，都成立，所以是等差数列，故.
当成立时，即数列是等差数列，设等差数列的公差为，
则，，，
∴，
即恒成立，
∴.
综上得，是的充要条件.
故选C.
6．【答案】C
【详解】
如图所示，在正方体中，
直线和直线与平面所成角均为，但，故选项A错误；
直线平面，直线平面，且平面，平面，但平面平面，故选项B错误；
平面平面，平面，平面，且，但与平面相交，故选项D错误；
假设，直线，，如图所示.
∵不垂直于，，，，∴直线与直线必相交，设.
，，，，.
又，.
，，，，，.
又，，这与，均不垂直于矛盾，故，不垂直，故选项C正确.
故选C.
7．【答案】D
【详解】从四个区域中任选2个连线，可连条线段，
从中任选3条的方法有：.
从四个区域中任选3个，用3条线段将这3个区域连接，有种方法.这些连接方式不能连通四个区域.
所以可以通过3条线连通四个区域的概率为：.
故选D.
8．【答案】A
【详解】函数，存在两个不同的零点，
令，
即与有两个不同的交点，
又，
令，即，
此时与相切于点，
又，所以既是与交点又是切点，
当时，
当时，从递减到，
函数从递减到，
由于递减较快，在处与相交一次，
当时，当 ，
但的增长速度比 快，因此两者会在 处相交一次，
所以在 和 各有一个交点，加上固定零点，总共有两个不同的零点，
当时，
当时，的递减速度比慢，
因此始终位于上方，所以无交点，
当时，，
但的增长速度比 慢，因此两者会在 处相交一次，
所以在处有一个交点，加上固定零点，总共有两个不同的零点.
当时，
令，即仅在相交，
当时，
当时，的递减速度比慢，
因此始终位于上方，所以无交点，
当时，的增长速度进一步降低，无法与交，
所以仅有一个零点，不满足题目要求，
数的取值范围为，
故选A.
9．【答案】BD
【详解】根据频率分布直方图可得其组距为1，
对于A，由平均数计算可得，
超过了6.5万元，即A错误；
对于B，由图可知家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的占比为，显然，即B正确；
对于C，家庭年收入在，，三组中的比例为，
因此抽取的48个家庭中年收入在的家庭应抽个，即C错误；
对于D，因为数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小，
根据最小二乘原理可知数据a必为这12个数据的平均数，即D正确.
故选BD.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，由可得，
因此，可得，
当且仅当时，等号成立，即A正确；
对于B，将表达式化简可得，
将方程参数化可知，；
所以，其中；
又，所以，可得B正确；
对于C，由可得，
即，
因此，解得，
当且仅当时，等号成立，即C错误，D正确.
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】对A：因为直线不过原点，且在轴与轴上的截距相等，所以，所以，故A正确；
对B：若直线为抛物线的准线，则，则或，所以直线：或.
若为抛物线准线，则抛物线方程为，所以；
若为抛物线准线，则抛物线方程为，所以.故B错误；
对C：直线被圆截得的弦长为，则，结合，可得，.
所以直线斜率的绝对值等于：，故C正确；
对D：因为点不在直线：上，所以方程无解，所以.
所以（当时取“”）
所以，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】4
【详解】设第项为常数项，由.
由.
所以常数项为：.
13．【答案】18
【详解】如图，正三棱柱中，设为外接球的球心，为底面的中心，
设正三棱柱的棱长为，则，，，
，又平面，
在中，，即，解得，故，
所以正三棱柱的体积.
14．【答案】
【详解】设，因为，可得，
由函数为上的奇函数，在上单调递增，
因为题目为客观题，不妨设函数且，
则，
又因为，可得，
整理得，解得或（舍去），
所以，且，则，
因为，则，则，且，
所以的值域为.
15．【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）如图：

连接，交于点，再连接.
因为，所以，所以，又，
所以，平面，平面，
所以平面.
（2）取中点，连接、.
因为四边形是边长为2的菱形，且，所以为等边三角形.
所以.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
在中：，所以.
在中：，，所以.
又.
设二面角为.
则.
所以.
即二面角的正弦为.
16．【答案】(1)，.
(2)15
【详解】（1）因为，
由正弦定理：
所以.
因为为三角形内角，所以，所以，
.
因为，所以，，所以.
由
所以，结合，可得.
所以为锐角，且.
（2）因为为锐角，，所以.
所以.
由正弦定理：.
所以的面积为：
17．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题意，在中，，
∴图象过，，
，
∴函数在原点处的切线方程为：，即，
∴，
∵当时，，
∴，即，
设
在中，
当时，均存在，不符题意舍去，
当时，二次函数开口向下，顶点处横坐标为，
，
∴，解得：，
综上，.
（2）由题意及（1）得，
在中，
函数的图象上存在两点关于原点对称，
∴，
时，，，
问题等价于在上有解，
设，则，
当时，，单调递减，，不符题意，舍去；
当时，当时，解得：或0
当即时，单调递减，
当即时，单调递增，
∴，，函数在上有一个零点；
当时，，函数单调递增，
又，函数在上有一个零点；
综上，.
18．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得，解得，
所以椭圆E的方程为.
（2）由题意设，则
∵，直线与交于点F.
∴C，D分别是的中点,设
则
∵，在椭圆E：上，
∴，
由，得，
整理得
将①代入，得，即
所以F点的轨迹方程为.
（3）若直线的斜率不存在，则，则,
若直线的斜率存在，设
设，，，则
由在椭圆上，在上
两式相减，整理得，
由（2）知、在椭圆上，
则，
两式相减，得
化简得
整理，得，∴
由得，所以
到直线的距离
∴.
∵，∴
所以的面积为定值.
19．【答案】(1)①；②；
(2)证明见解析.
【详解】（1）①设事件为第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球，
则.
答：第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率为.
②由题意知的可能取值为，，
则，，，
，.
其概率分布如下：
所以，
设，
，
所以，
所以，
所以
（2）由题意知的可能取值为，，
则，，，
则其概率分布如下：
，
因为，
所以
，
又因为所以.
2
4
6