2024-2025学年小升初数学奥数训练（通用版）--还原问题（倒推法）（含答案+解析）

这是一份2024-2025学年小升初数学奥数训练（通用版）--还原问题（倒推法）（含答案+解析），共21页。

甲、乙、丙三个仑库各自存放若干吨粮食，第一次从甲仑库取出25的粮食平分给乙仓库和丙仓库；第二次从这时的乙仓库取出12的粮食平分给甲仓库和丙仓库；第三次从这时的丙仓库取出14的粮食平分给甲仓库和乙仓库，现在三个仓库存粮都是432吨，问原来三个仓库各存粮多少吨？
2．在甲、乙、丙三个容器内分别装有浓度为10%的糖水50克、100克、150克，现将某种浓度的糖水50克倒入甲中，完全混合后，再从甲中取出50克倒入乙中，完全混合后，再从乙中取出 50克倒入丙中，完全混合后，发现丙的糖水浓度变为了10.5%，求最早倒入甲容器中的糖水的浓度？
3． 小王和小丰合伙投资，年终奖根据每人的投资进行分配，小王分得了全部奖金的 13 另加 9 万元，小李分得剩余的 13 和 14 万元， 两人刚好分完全部奖金， 问小王比小李多得多少万元？
4．三个容器都盛有水，如果把甲容器内13的水倒入乙容器，再把乙容器内14的水倒入丙容器，最后把丙容器内110的水倒入甲容器，刚刚好各容器内的水都是9升，问每个容器里原有水多少升？
5．甲、乙、丙三人打牌.第一局、甲输给了乙和丙，使得乙、丙手中的点数都翻了一番，第二局，甲和乙赢了，从而甲、乙手中的点数翻了一番.最后一局，甲、丙获胜，两人手中的点数翻了一番．这样甲、乙、再三人每人都是二赢一输，并且每人手中的点数完全相等，可是甲发现自己输了100点.请问：开始时，甲手上有多少点？（每局三人的点数总和保持不变）
6．三个学生甲、乙、丙各有若干本故事书互相赠送.第一次由甲送给乙、丙故事书，所送的本数等于乙、丙已有的故事书本数；第二次由乙送给甲、丙故事书，所送的本数也正好等于甲、丙各人已有的故事书本数；最后由丙送给甲、乙故事书，所送的本数也正好等于甲、乙各人已有的故事书本数.这时每人的故事书都是32本，原来甲、乙、丙三人各有多少本故事书？
7．A、B、C三个试管各盛有10克，20克，30克水，把某种浓度的盐水10克倒入A管中， 混合后， 从A试管中取出 10 克， 倒入B管中， 混合后再丛B管中取出10克倒入C管中， 现在C管盐水的浓度是 0.5%，那么最早倒入A管中盐水的浓度是多少?
8．一小、二小两校春游的人数是10 的整数倍。如果两校都租用有14个座位的旅游车，则两校共需租用这种车72辆，如果两校都租用19个座位的旅游车，则二小要比一小多租用这种车7辆。现在已知两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满。问：两校参加这次春游的人数各自是多少?
9．仓库里有一批面粉，第一天运走总数的15还多8袋，第二天运走剩下的29，这时还剩56袋。仓库原有面粉多少袋？
10．兄弟 3 人分别 24 个苹果， 每人所得个数等于其三年前的年龄数， 如果老三把所得苹果数的一半平分给老大和老二， 然后老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三， 最后老大再把现有苹果数的一半平分给老二和老三， 这时每人苹果数恰好相等， 求现在兄弟三人的年龄各是多少岁？
11．一共有24个苹果，大娃，二娃，三娃各自取他们3年前的年龄相同的个数，正好分完。三娃将其取得的苹果数的一半平均分给大娃和二娃，二娃将现有的苹果数的一半平均分给大娃和三娃，大娃将现有苹果数的一半平均分给二娃和三娃，这时他们的苹果数相同。问今年他们分别多少岁。
12．一天，甲、乙、丙三人去钓鱼，他们三人将钓的鱼放在一个桶里，然后躺下休息，结果都睡着了。甲先醒，将鱼分成三份多一条，甲将多的一条鱼放入河中，取其中一份走了；乙醒了，将剩下的鱼分成三份多一条，乙将多的一条鱼放入河中， 取其中一份走了；丙醒后，将剩下的鱼分成三份，这时也多一条。问；甲、乙、丙至少钓了多少条鱼？
13．在某大坝截流时，用载重卡车将一堆石料运到围堰龙口，第一次运了这堆石料的13少2万方，第二次运了剩下的12多3万方，此时还剩下12万方未运，则这堆石料共有多少万方？
14．有一堆桃子，第一只猴子只把它平均分成4堆，还多一个。他先吃掉-一个，拿4堆中的一堆离去。第二只猴子又把剩下的桃子平均分成4堆，还多一个，他也吃掉这一个， 拿4堆中的一堆离去。第三、第四只猴子来也都如此行事。问：原来至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？
15． 一车间计划用5天完成加工一批零件的任务，第一天加工了这批零件的15多120个，第二天加工了剩下的14少150个，第三天加工了剩下的13多80个，第四天加工了剩下的12少20个，第五天加工了最后的1800个，这批零件总数有多少个？
16．甲、乙、丙三个仓库各自存放若干吨粮食，第一次从甲仓库取出25的粮食平分给乙仓库和丙仓库；第二次从这时的乙仓库取出12的粮食平分给甲仓库和丙仓库；第三次从这时的丙仓库取出14的粮食平分给甲仓库和乙仓库，现在三个仓库存粮都是432吨，问原来三个仓库各存粮多少吨?
17．小区有个水果店，第一天卖掉这些苹果的一半多3.02千克，第二天又卖掉剩下的一半多 3.02 千克，还剩12千克，这些苹果一共有多少千克？
18．一天，甲、乙、丙三人去钓鱼．他们将钓的鱼放在一个鱼篓中，然后躺下休息，结果都睡着了．甲先醒，将鱼分成三份多一条，甲将多的一条鱼放回河中，取其中一份走了．乙醒了，将剩下的鱼分成三份多一条，乙将多的一条鱼放回河中，取其中一份走了．丙醒后，将剩下的鱼分成三份，这时也多一条．问甲、乙、丙至少钓了多少条鱼？
19．某工厂有A，B，C，D，E五个车间，人数各不相等，由于工作需要，把B车间工人的 12调入A车间，C车间工人的 13调入B车间，D车间工人的 14调入C车间，E车间工人的. 16调入D车间.现在五个车间都是30，原来每个车间各有多少人？
20．甲、乙、丙三人共有45个玻璃球，甲先把自己的玻璃球给了乙、丙一部分，办法是：给对方的球数比对方现有的球数还多1个；接着，乙也按这个办法，把自己的玻璃球给了甲、丙一部分；最后，丙也按这个办法，把自己的玻璃球给了甲、乙一部分。结果三人的玻璃球恰好同样多。原来他们各有多少个玻璃球？
21．有红、黄、蓝三个小分队，现在对这三个小分队进行了一次调整，第一次，蓝队不动，红、黄两队中的一队调出7人给另一组；第二次，黄队不动，红、蓝两队中的一队调出7人给另一组：第三次，红队不动，黄、蓝两队中的一队调出7人给另一组．最后红、黄、蓝三个小分队分别有5人、13 人、6人，那么，原来三个小分队分别有多少人？
答案解析部分
1．解：第三次取出之前，丙仓库内的粮食是432÷(1−14)=576（吨），
那么此时甲乙仓库的粮食数相等是：432−576×14×12=360（吨），
第二次从这时的乙仓库取出12的粮食平分给甲仓库和丙仓库；
乙仓库之前有是360÷12=720（吨），
则甲仓库此时是360−720×12×12=180（吨），
丙仓库就是576−720×12×12=396（吨）
第一次从甲仓库取出25的粮食平分给乙仓库和丙仓库；
所以之前甲仓库是180÷(1−25)=300（吨），
则乙仓库是720−300×25×12=660（吨），
丙仓库量396−300×25×12=336（吨）
答： 原来甲仓库存粮300吨， 乙仓库存粮660吨 ，丙仓库存粮336吨。
根据题中的取法，倒推取第二次后甲、乙、丙三个仑库各自存放若干吨粮食。再倒推取第一次后甲、乙、丙三个仑库各自存放若干吨粮食。再倒推取第一次前（原来）甲、乙、丙三个仑库各自存放若干吨粮食。
2．解：从乙中取出50克倒入丙中的浓度：[(150+50)×10.5%-150×10%]÷50
=[200×10.5%-15]÷50
=6÷50
=12%
从甲中取出50克倒入乙中的浓度：[(100+50)×12%-100×10%]÷50
=[150×12%-10]÷50
=8÷50
=16%
最早倒入甲容器中的糖水的浓度：[(50+50)×16%-50×10%]÷50
=[100×16%-5]÷50
=11÷50
=22%
答：最早倒入甲容器中的糖水的浓度是22%。
首先，需要根据丙容器中糖水浓度和总量计算出糖的总量。然后，减去丙容器原本的糖量，可以计算出从乙容器倒入丙容器的糖量。由此，我们可以推算出倒入乙容器时的糖水浓度。接着，重复上述步骤，计算出从甲容器倒入乙容器的糖量和糖水浓度，以及最早倒入甲容器的糖水浓度。
3．解：小李取剩余的13和剩下的14万元，刚好分完全部奖金 ：从这句话中，我们知道，剩余23就是14万元，
那么剩余的就是14÷23=21万元。所以小李拿到了21 万元。
小王取了全部的13另加9万元，剩余的就是上面的21万元，
那么取了全部的13后就还有9+21=30（万元）：也就是说全部的23就是30万元，
那么全部就是：30÷23=45万元 。所以小王得：45-21=24（万元）。
小王比小李多得：24-21=3（万元）。
答：小王比小李多得3万元。
这题用倒推法： 两人刚好分完全部奖金，根据剩余钱数及所占比例，用除法可求得小李分得奖金；再根据小王分得比例及剩余钱数，用除法即可得到全部奖金；小王分得奖金=全部奖金-小李分得奖金，再用小王分得奖金-小李分得奖金即可。
4．解：乙容器中水的14倒入丙容器后，丙容器内有水9÷910=10(升)
甲容器原来有：
(9-10×110)÷(1-13)
=(9-910)÷23
=12(升)
乙容器原来有：
9÷(1-14)-12×13
=12-4
=8(升)
丙容器原来有：10-(8+12×13)×14
=10-3
=7(升)
答：甲、乙、丙容器原来的水量各为12升、8升、7升。
最后再把丙容器中水的110倒入甲容器，则此时丙容器中还剩下乙容器中水的14倒入丙容器后水量的1-110=910，又此时各容器内的水都是9升，根据分数除法的意义，乙容器中水的14倒入丙容器后，丙容器内有水9÷910=10升；同理可知，把甲容器中水的13倒入乙容器后，乙容器内有9÷(1-14)=12升；由于甲容器增加了丙容器的110水量后是9升，则甲倒出13后还剩下9-10×110升，所以甲原有(9-10×110)÷(1-13)，接着求出乙容器、丙容器原来各有水多少升即可解答。
5．解：设最后各有 x 点， 每局三人的和是3x，那么第二局结束的时候， 甲、乙、丙三人的点数分别为 x2、2x、x2； 第一局结束时， 三人的点数分别为 x4、x、7x4； 则刚开始时， 三人点数分别为 13x8、x2 、78x； 由此可得， 甲比开始时少了 ，可得方程：
138x−x=100
58x=100
解得 x=160
160+100=260（点）
答： 甲开始时有 260 点。
由于最后三人点数一样，每局三人的点数总和保持不变 ，因此可从最后一句为切入点倒推即可。设最后各有x点，每局三人的和是3x，由于第三局甲、丙获胜，乙输，那么第二局结束的时候，甲、乙、丙三人的点数分别为x2、2x、x2；由于第二局甲和乙赢了，甲、乙手中的点数翻了一番，则第一局结束时，三人的点数分别为x4、x、7x4，由于第一局甲输给了乙和丙，使得乙、丙手中的点数都翻了一番，则开始时，三人点数分别为13x8、x2 、78x；由此我们可人发现，甲发现甲比开始的时候少了138x−x=58x点，而实际上甲是少了100点，那么求出x是160点，开始的时候甲有260点。
6．解：计算总的故事书本数：32×3=96（本）
计算丙没送给甲、乙之前的故事书本数：甲有32÷2=16（本），乙有32÷2=16（本），丙有32+16+16=64（本）
计算乙没送给甲、丙之前的故事书本数：甲有16÷2=8（本），丙有64÷2=32（本），乙有96-8-32=56（本）
计算甲没送给乙、丙之前的故事书本数：乙有56÷2=28（本），丙有32÷2=16（本），甲有96-28-16=52（本）
答：原来甲、乙、丙三人各有52、28、16本故事书。
本题考查了逆向思维，解决此类问题的关键是理清甲、乙、丙之间的故事书本数关系。计算总的故事书本数：根据题意，最后每人的故事书都是32本，可知三人共有故事书32×3=96（本）计算丙没送给甲、乙之前的故事书本数：在丙没送给甲、乙之前，甲有32÷2=16（本），乙有32÷2=16（本），丙有32+16+16=64（本）计算乙没送给甲、丙之前的故事书本数：在乙没送给甲、丙之前，甲有16÷2=8（本），丙有64÷2=32（本），则乙有96-8-32=56（本）计算甲没送给乙、丙之前的故事书本数：在甲没送给乙、丙之前，乙有56÷2=28（本），丙有32÷2=16（本），则甲有96−28−16=52（本）
7．解：B中盐水的浓度是：
(30+10)×0.5%÷10×100%
=40×0.005÷10×100%
=2%，
现在A中盐水的浓度是：
(20+10)×2%÷10×100%
=30×0.002÷10×100%
=6%，
最早倒入A中的盐水浓度为：
(10+10)×6%÷10
=20×6%÷10
=12%；
答：最早倒入A中的盐水浓度为12%。
混合后，三个试管中的盐水分别是20克、30克、40克，又知C管中的浓度为0.5%，可算出C管中的盐是：40×0.5%=0.2(克)：由于原来C管中只有水，说明这0.2克的盐来自从B管中倒入的10克盐水里：B管倒入C管的盐水和留下的盐水浓度是一样的，10克盐水中有0.2克盐，那么原来B管30克盐水就应该含盐：0.2×3=0.6(克)：而且这0.6克盐来自从A管倒入的10克盐水中，A管倒入B管的盐水和留下的盐水的浓度是一样的，10克盐水中有0.6克盐，说明原A管中20克盐水含盐：0.6×2=1.2(克)，而且这1.2克的盐全部来自某种浓度的盐水：即说明倒入A管中的10克盐水含盐1.2克：所以，某种浓度的盐水的浓度是1.2÷10×100%=12%。
8．解：72×14 = 1008 (人)，估计两校共有1000人或990人；
假设两校有1000人，1000 ÷ 19≈53(辆)，
假设两校有990人， 990÷19≈53(辆)，
都需53辆19个座位的旅游车，又因二小要比一小多租用这种车7辆，车数必然是奇数；
一小租用这种车：(53- 7)÷ 2= 23(辆)，23× 19 = 437(人)，
二小租用这种车：23+7 = 30(辆)，30× 19 = 570 (人) ，
综合已知条件，再用14个座位的旅游车，需租用72辆，来检验，进一步确定一小有430人，二小有570人。
答：一小参加这次春游的有430人，二小参加这次春游的有570人。
根据两校都租用有14个座位的旅游车，需租用这种车72辆，先估计出两校的总人数为1000人或990人，再根据都租用19个座位的旅游车，则二小要比一小多租用这种车7辆，并且两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满，得出各租19个座位的旅游车的辆数，进一步算出并确定各校人数。
9．解：56÷（1-29）
=56÷79
=72（袋）
（8+72）÷（1-15）
=80÷45
=100（袋）
答： 仓库原有面粉100袋。
由题意可知，56占第一天运完后的（1-29），求出第一天运完后的数量，8+72占原来的（1-15），据此求出原来的数量。
10．解：①因为最后老大再把现有苹果数的一半平分给老二和老三，这时每人苹果数恰好相等，所以最后一次分配后三个人各有的苹果数是：24÷3=8（个），那么在老大把苹果分给老二老三前，老大应有：8×2=16（个），分给老二老三每人苹果的个数是：8÷2=4（个），那么最后一次分配前老二老三各有是苹果个数是：8-4=4（个）；
②由题意老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三，老二平分给老大老三前，应有苹果的个数是：4×2=8（个），分给老大老三每人苹果的个数是：4÷2=2（个），于是在“老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三”前，老大的苹果个数是：16-2=14（个），老三的苹果的个数是：4-2=2（个）；
③那么一开始老三的苹果个数是：2×2=4（个），分给老大老三每人苹果的个数是：2÷2=1（个），则一开始老大的苹果个数是：14-1=13（个），老二的苹果个数是：8-1=7（个）．
因兄弟三人分24个苹果，每人所得个数等于其三年前的年龄数，于是三人年龄老大是：13+3=16（岁），老二是：7+3=10（岁）老三是：4+3=7（岁）．
答：现在兄弟三人的年龄各是16岁、10岁、7岁．
由题意可知，兄弟三人三年前的年龄和是24岁．我们可以根据题意，根据他们所得的苹果个数，利用逆推的方法分别求出三年前兄弟三人每人得到的苹果数，就可以求得他们现在各自的年龄．
11．解：①因为最后老大再把现有苹果数的一半平分给老二和老三，这时每人苹果数恰好相等，所以最后一次分配后三个人各有的苹果数是：24÷3=8(个)，那么在老大把苹果分给老二老三前，老大应有：8×2=16(个)，分给老二老三每人苹果的个数是：8÷2=4(个)，那么最后一次分配前老二老三各有是苹果个数是：8-4=4(个)；
②由题意老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三，老二平分给老大老三前，应有苹果的个数是：4×2=8(个)，分给老大老三每人苹果的个数是：4÷2=2(个)，于是在“老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三”前，老大的苹果个数是：16-2=14(个)，老三的苹果的个数是：4-2=2(个)；
③那么老三的苹果个数是：2×2=4(个)，分给老大老三每人苹果的个数是：2÷2=1(个)，则一开始老大的苹果个数是：14-1=13(个)，老二的苹果个数是：8-1=7(个)，因兄弟三人分24个苹果，每人所得个数等于其三年前的年龄数，于是三人年龄老大是：13+3=16(岁)，老二是：7+3=10(岁)，老三是：4+3=7(岁)。
答：现在兄弟三人的年龄各是16岁、10岁、7岁。
由题意可知，兄弟三人三年前的年龄和是24岁，我们可以根据题意，根据他们所得的苹果个数，利用逆推的方法分别求出三年前兄弟三人每人得到的苹果数，就可以求得他们现在各自的年龄。
12．解：设最后每份为a条。
丙醒时：3a+1；
乙醒时：(3a+1)×32+1=9a+52；
甲醒时：9a+52×32+1=27a+194；
因为数量都是正整数，所以27a+19为4的倍数，a为奇数；
当a=1时，27a+19=46，46÷4=11……2，不是4的倍数，不符合题意；
当a=3时，27a+19=100，100÷4=25，满足条件；
答： 甲、乙、丙至少钓了25条鱼。
可以设最后每份为a条，根据题意列表：
；因为数量都是正整数，所以27a+19为4的倍数，a为奇数；再将奇数从小到大代入到27a+194中，找到满足27a+194为整数的a的值，并计算27a+194的值即为三人至少钓的条数。
13．解：（12+3）÷12
=15÷12
=30（万方）
（30-2）÷（1-13）
=28÷23
=42（万方）
答： 这堆石料共有42万方 。
逆推还原：由于题目中的运输过程是逐步减少的，我们可以逆推还原。在逆推过程中，如果石料多了就加，少了就减，然后再除以1减去分率的差。
14．解：因为这堆桃子的个数 (设为a)除以 4 余 1 ， 假设这堆桃子增加 3 个， 则 a+3 个刚好平均分成 4 份。设每份为 a1 个， 则 a1 比原来第一只猴子分的每份多 1 个， 第一只猴子拿 a1 个离去就相当于原来吃一个拿走一堆； 剩下的 3 堆比原来的 3 堆多 3 个， 所以第二只猴子来分时就刚好平均分成 4 份， 设每一份为 a2， 则 a2 比原来第二只猴子分的每堆多 1 个……这个过程如下所示：
再从最后结果开始逆推： 3a3 可以平均分成 4 份， 所以 a3 为 4 的倍数。又因为 4a3=3a2， 所以 a2 为 16 的倍数； 4a2=3a1a1， 所以 a1 为 64 的倍数； 4a1=a+3， 所以 a+3 为 256 的倍数， a 至少为 256−3=253 (个).
求剩下的个数时， 先 “借” 3 个与 253 个放在一起分。因为第一只猴子拿走 256 个的
14( 相当于原来的吃一个拿走 1 份) ， 还剩下 256×34 个；第二只猴子拿走后还剩下 256×34×34 个……这堆桃子原来的个数最少是 44−3=253 (个)。
剩下的个数为 44×34×34×34×34−3=78 (个)
答. 这堆杯子原来至少有 253 个， 最后剩下 78 个。
分析我们把假设法与逆推法结合起来分析。从最小情况考虑，第四只猴子有5个桃子可分，是第三只猴子吃了一个月后的14，依次向前推。
15．解：后两天加工：(1800-20)÷(1-12)
=1780÷12
=3560(个)；
后3天加工：(3560+80)÷(1-13)
=3640÷23
=5460(个)；
后4天加工：(5460-150)÷(1-14)
=5310÷34
=7080(个)；
零件总数：(7080+120)÷(1-15)
=7200÷45
=9000(个)
答：这批零件总数有9000个。
本题可以用倒推法进行解答，由题意可知，第五天加工的个数为第三天剩下个数的12多20个，所以，用第五天加工的个数减去20，再除以(1-12)可以计算出第三天剩下的个数，也就是后两天加工的个数；后两天剩下的个数比第二天剩下个数的(1-13)少80个，所以，用后两天加工的个数加80，再除以(1-13)可以计算出第二天剩下的个数，也就是后三天加工的个数；以此类推，进行解答。
16．解：432 + 432 ×14 × 2 = 576吨。
360 + 360 ×12 × 2 = 720吨。
180 + 180 ×25 × 2 = 300吨。
答：甲仓库300吨，乙仓库660吨，丙仓库336吨。
本题是一个逆向思维的题目，需要从最后的结果出发，逆向推导出原来的粮食数量。解题的关键在于理解每次操作对粮食数量的影响，并能够反向计算。具体步骤包括：
1. 根据题目描述，计算出每次操作之前各个仓库的粮食数量。
2. 逆向计算，从最后的状态开始，逐步还原到最初的状态。
3. 根据计算结果，得出最初各个仓库的粮食数量。
17．解：(12+3.02)×2
=15.02×2
=30.04(千克)
(30.04+3.02)×2
=33.06×2
=66.12(千克)
答：这些苹果一共有66.12千克。
本题考查了小数的加法和乘法计算及应用。根据题意，用剩下的12千克加上3.02千克，再乘2，即可求出第一天卖完后剩下的苹果的质量，再加上3.02千克，求出苹果总质量的一半，再乘2，即可求出这些苹果一共有多少千克。
18．解：设原来有x条鱼，丙拿走y条鱼，
第一次分鱼后剩：x−1×23
第二次分鱼后剩：x−1×23−1×23
丙拿走：{x−1×23−1×23−1}×13
化简得：4x−1927=y
x=27y+194
当取最小值y=3，时，x=25最小；
答： 甲、乙、丙至少钓了25条鱼。
设原来有x条鱼，用x表示每次分鱼的条数，再设丙拿走y条鱼，列出等式，当y最小时，x则为最小，由于x为整数，只需要推出y为最小时，x为最小整数即可。
19．解：E车间：30÷（1−16）=36（人）
D车间：（30−36×16）÷（1−14）32（人）
C车间：（30−32×14）÷（1−13）=33（人）
B车间：（30−33×13）÷（1−12）=38（人）
A车间：30−33×12=19（人）
答：A、B、C、D、E车间原来的人数各是：11人、38人、33人、32人、36人。
先考虑E车间调走16是30人，原来30÷（1−16）=36（人）调6人到D车间。
D车间，调走14增加6人是30人，原来（30−6）÷（1−14）=32人，调8人到C车间。
C车间，调走13增加8人是30人，原来（30−8）÷（1−13）=33人，调走11人B车间。
B车间，调走12增加11人是30人，原来（30−11）÷12=38人，调走19人到A车间
A车间原有30-19=11人。
20．解：假设最后三人各有的玻璃球数量为x个。
逆推丙分给甲、乙后的情况：
丙分给甲、乙后，甲、乙的玻璃球数比丙多1个。这意味着，在丙分球之前，甲、乙各自有x/2个球，丙有x+2个球。
逆推乙分给甲、丙后的情况：
乙分给甲、丙后，甲、丙的玻璃球数比乙多1个。这意味着，在乙分球之前，甲有x/2-1个球，丙有x/2-1个球，乙有x+2个球。
逆推甲分给乙、丙后的情况：
甲分给乙、丙后，乙、丙的玻璃球数比甲多1个。这意味着，在甲分球之前，乙有x/2-1个球，丙有x/2-1个球，甲有x+2个球。
由于甲、乙、丙三人共有45个玻璃球，所以可以建立方程求解x：
(x/2-1) + (x/2-1) + (x+2) = 45
解得：x = 15
因此，最后三人各有的玻璃球数量为15个。
进一步求解原有的玻璃球数量：
甲原有：15+2=17个
乙原有：15+2=17个
丙原有：15个
答：甲原来有17个，乙原来有17个，丙原来有15个。
这道题目要求通过逆向思维，从三人最后各有的玻璃球数量，推断出他们原有的玻璃球数量。解题的关键在于理解题目中甲、乙、丙三人分球的规则，并根据这个规则逐步逆推。
21．解：
答：红队原来有5人，黄队原来有13人，蓝队原来有6人。
根据已知可知解答此题需要采用倒推的策略，可以借助表格根据最后的情况往前推，这样比较清晰有条理。
甲
乙
丙
总条数
丙醒时
a
a
a
3a+1
乙醒时
12×(3a+1)
12×(3a+1)
12×(3a+1)
(3a+1)×32+1=9a+52
甲醒时
12×9a+52
12×9a+52
12×9a+52
9a+52×32+1=27a+194

红
黄
蓝
第三次后各队人数
5
13
6
第二次后各队人数
5
13－7=6
6+7=13
第一次后各队人数
5+7=12
6
13－7=6
原来各队人数
12－7=5
6+7=13
6