炎德英才名校联考联合体2023-2024学年高二下学期第二次（期中）联考数学试卷及参考答案

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一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.设集合，．若，则 ( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】【详解】∵ 集合，，
∴是方程的解，即 ∴
∴，故选C
2.已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】，所以的虚部是.故选：A
3.如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）
A.B.C.8D.12
【答案】B
【详解】由可得抛物线的焦点，准线方程为，
如图：过点作准线的垂线，垂足为，
根据抛物线的定义可知，设，则，解得，
将代入可得，所以的面积为.故选：B.
4.已知，则下列选项中正确是（ ）
A.B.关于中心对称
C.关于直线对称D.的值域为
【答案】C
【详解】对于A，因为，
所以，故A不正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，可得，
，所以，
所以可得是函数的对称轴，故C正确；
对于D，因为,，所以,，故D不正确．故选：C．
5.已知事件发生的概率为0.4，事件发生的概率为0.5，若在事件发生的条件下，事件发生的概率为0.6，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（ ）
B.0.8D.0.7
【答案】C
【详解】因为,,所以,
所以.故选：C.
6.已知均为锐角，且.则（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】为锐角，，，．
，
又是锐角，．故选：D．
7.在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（ ）
A.48B.49C.50D.51
【答案】B
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，，因为，
所以，，.
因为，所以，，
所以.
当且仅当，即，时取等号.
故选: B.
8.已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【详解】要使函数有两个零点，即有两个实根，
即有两个实根，
即，整理为，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以，
所以只需使有两个根，设，
，
易知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
故函数在处取得极大值，也是最大值，则，
当时，；当时，，
要想有两个根，只需，解得，
即的取值范围是．故选：C．
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则（ ）
A.函数在上单调递增
B.函数是奇函数
C.函数与的图象关于原点对称
D.
【答案】ABD
【详解】对于A，均为上的增函数，故在上单调递增，故A正确.
对于B，令，其中，
而，故为上的奇函数，故B正确.
对于C，，故的图象过原点，
若函数与的图象关于原点对称，则的图象也过原点，
但，矛盾，故函数与的图象不关于原点对称，故C错误.
对于D，，故D正确，
故选：ABD.
10.已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（ ）
A.存在点，使
B
C.的最小值为
D.周长的最大值为8
【答案】BCD
【详解】对于A,设椭圆的上顶点为，则直角三角形中，，则，故A错误；
对于B，设，则，，且，即，又,
则，
又，故，则B正确；
对于C，，，，则当时，取最小值为，故C正确；
对于D，设椭圆的右焦点为,
的周长为：,
当且仅当三点共线时，等号成立，故D正确，故选：BCD
11.已知数列满足，，设的前n项和为，下列结论正确的（ ）
A.数列是等比数列B.
C.D.当时，数列是单调递减数列
【答案】ABD
【详解】对A：，
且，故数列是等比数列，故A正确；
对B：，，，
由，得，故B正确；
对C：因为，
所以
，，故C错误．
对D：当时，是单调递减数列，也是单调递减数列，
所以是单调递减数列，故D正确．故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外.某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则__________.
【答案】1
详解】由题意得，该正态分布曲线关于对称，故，
则，
由题意得，故.故答案为：1
13.四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，设分别是的中点，则平面截球所得截面的面积为_________.
【答案】
【详解】如下图所示，

易知四棱锥外接球与以为棱长的长方体的外接球相同；
由题意可知球心为中点，
故球O的直径，解得
由分别是的中点可得，可得平面；
所以球心到平面的距离等于点到平面的距离，
设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，
在三棱锥中，易知平面，且，
所以，
而，由等体积法得，
所以，故截面面积为．故答案：
14.如图所示过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两直线，两直线与双曲线分别交于两点，若，双曲线的离心率为表示不超过的最大整数，则的值为______.

【答案】3
【详解】设，则，因此.
又，从而，不妨设，
则，令，则.
令，则.
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
又，
所以，于是.所以的值为3.故答案为：3
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.已知数列是等差数列，且，设数列前项和为，数列满足.
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1） （2）
【小问1详解】，
，
.
【小问2详解】，
.
16.已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为的等腰三角形，点为的重心.
（1）求证：；
（2）经过点及直线作截四棱锥的截面，设截面平面，请画出直线，判断直线与平面的位置关系，并进行证明；
（3）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）见解析 （3）
【小问1详解】连接，交于点，连接，
四边形为正方形，
，且为中点，
又，，
平面，平面，且，平面，
平面，而平面，
；
【小问2详解】在平面内，过点作的平行线，即为所求的直线，且平面．
证明如下：，，，
平面，平面，
平面；
【小问3详解】由（1）知平面，平面，
，过点作，为垂足，连接，
，，平面
平面，平面，，
为二面角 的平面角，
由题意可知四棱锥为正四棱锥，平面，故平面，平面，故,
，，
，，，
，
，
二面角的余弦值为．
17.现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．
（1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率；
（2）当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；
（3）记n号盒子中红球的个数为，求的期望．
【答案】（1） （2）分布列见解析 （3）
【小问1详解】由题可知2号盒子里有2个红球的概率为；
【小问2详解】由题可知可取，
，
，
所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为
【小问3详解】记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，
且，
化解得，
得，
而则数列为等比数列,首项为，公比为，
所以，
又由求得：
因此．
18.已知椭圆，左､右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.

（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积；
（3）如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点Px,y的轨迹方程.
【答案】（1）椭圆 的方程为 , 离心率 .
（2） （3）
【小问1详解】是面积为的等边三角形，，
椭圆的方程为，离心率.
【小问2详解】由题意得双曲线中的，则，所以双曲线方程为，
联立椭圆方程解得:，即，
.

【小问3详解】由题易知，则联立，得，
，即，
设为，，
直线，令，解得，则，
令，则，则，
.
则点Px,y的轨迹方程为.
19.已知函数.
（1）若（e为自然对数的底数），求函数的极值；
（2）若，函数有两个零点，且不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）极小值为，无极大值； （2）
【小问1详解】，定义域为，
，
令，则在上单调递增，
由时，单调递减；
时，单调递增；
，无极大值.
【小问2详解】，
令，可得，
原题意等价于有两个正根，
令，则，等价于有两个正根，
当时，恒成立，故在上单调递增，
对于，由，可得，
可得，可得，
令，由，可得，
由整理可得，
，
原题意等价于当时，恒成立，
等价于当时，恒成立，
令，则，
，则，解得，
当时，令，则当时，恒成立，
故在上单调递增，则，
即当时，恒成立，故在上单调递增，
则，.可知符合题意，
综上所述:实数的取值范围为.
1
2
3
P