2025 年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学试卷及参考答案

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2025年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）
数 学
命题：沈阳市第四中学吴 哲
沈阳市第三十一中学闫 通
沈阳市第五中学裴延峰
主审：沈阳市教育研究院周善富
本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1. 答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2. 答题时请按要求用笔。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A. B.
C. D.
2．已知为虚数单位，若，则
A. B. C. D.
3．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
4．已知向量满足，，则等于
A. B. C. D.
5．等比数列中，，则 “”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6．近日，数字化构建社区服务新模式成为一种趋势．某社区为了优化数字化社区服务，通过问卷调查的方式调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分分）进行统计，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，图中，则满意度计分的第一四分位数约为
A. B. C. D.
7．如图，一个四分之一球形的玩具储物盒，若放入一个小球，合上盒盖，可放入小球的最大半径为；若放入一个小正方体，合上盒盖，可放入小正方体的最大棱长为，则
A. B. C. D.
8．已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时，的图象的一条对称轴方程为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵），按图所示，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑，则
A. 阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形
B. 鳖臑的四个面均为直角三角形
C. 阳马的体积是鳖臑的体积的两倍
D. 堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等
10．已知中，角的对边分别为 ，，点为内一动点，且，则
A. B.
C. 的最大值为D. 的最小值为
11．已知点分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，且，点是椭圆上异于的一动点，直线分别与直线交于点 则下列说法正确的有
A. B.
C. 的最小值为D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数，则的值等于________．
13．函数的最小值为____________．
14．已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
已知数列中，，，且数列为等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）记为数列的前项和，证明：．
16．（15分）
甲、乙两个箱子中，各装有个球，其中甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，则从甲箱中随机摸出个球；如果点数为，则从乙箱中随机摸出个球．已知掷次骰子后，摸出的球都是红球的概率是．
（1）求的值；
（2）记“摸到红球的个数”为随机变量，求的分布列和数学期望．
17．（15分）
已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于两点，线段的中点为．
（1）求抛物线的方程；
（2）当轴时，求直线的斜率；
（3）求证：为定值，并求出该定值．
18．（17分）
已知函数．
（1）已知在处的切线斜率为，求实数的值；
（2）若，且关于的方程有个不相等的实数解，求的取值范围；
（3）若函数在上单调递增，求的取值范围．
19．（17分）
如图所示，在直角梯形中，，分别是上的点，且，，，，将四边形沿向上折起，连接 在折起的过程中，记二面角的大小为（），记几何体的体积为．
（1）求证：平面；
（2）当时，请将表达为关于的函数，并求该函数的最大值；
（3）若平面和平面垂直，当取得最大值时，求的值．