2025广州市天河区中考一模数学试题

这是一份2025广州市天河区中考一模数学试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．2025B．C．D．
2．以下几何体的左视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
3．某校团委举办合唱赛，其中5位评委价九年级1班的打分分别为9.5，9，9，9.2，9.3．对这组数据描述正确的是（ ）
A．众数为9.2B．平均数为9.2C．中位数为9D．方差为0.006
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．或
8．记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有只羊，乙有只羊，可列出方程组是（ ）
A．B．
C．D．
9．函数与函数在同一平面直角坐标系下的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，和是的两条弦，且．已知的半径为3，，以为圆心，为半径作弧．若把扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆半径为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．广州首条地铁环线十一号线于2024年12月开通，首日客流量达人次，将数据用科学记数法表示为 ．
12．已知点在抛物线上，且，则 ．（填“”或“”或“”）
13．某校开展学生课后服务满意度调查，绘制成扇形统计图，如图，已知“不满意”人数为15人，则参与调查的总人数为 ．
14．如图，在中，，，若是的角平分线，则的度数为 ．
15．已知菱形的边长为2，，点为的中点，点为对角线上一个动点，连接，，则的最小值为 ．
16．如图，在矩形中，，，点，分别在，边上，且，，与相交于点，若为的中线，则的长为 ．
三、解答题
17．解方程：．
18．如图，点，，，在一条直线上，且，若，．求证：．
19．已知，，有三个代数式：，，．
(1)因式分解；
(2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简．
20．某学校化学兴趣小组在实验室探究金属与稀盐酸的反应．已知实验室有四种金属，分别为铝（）、锌（）、铜（）、银（），铝和锌与稀盐酸均会发生反应并产生气体，其余两种金属均不反应．
(1)填空：若从中随机选取一种金属进行实验，恰好选到不反应的金属概率是_____；
(2)若随机选取两种不同的金属同时进行实验，通过列表或画树状图求恰好都选到不反应的金属概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径画半圆，分别以点、点为圆心，，为半径画圆弧，两圆弧与半圆分别交于点和点．
(1)填空：点的坐标是_____，点的坐标是_____；
(2)在图中画出阴影部分图形关于原点的中心对称图形：
(3)求图中阴影部分图形的周长．（结果保留）
22．2025年央视春晚的人形机器人凭借其出色的表现迅速走红，成为观众热议的焦点．机器人上舞台前需要进行测试，已知两地相距米，甲、乙两机器人从地同时出发，沿同一直线同向而行至地．甲机器人前4秒钟以米/秒的速度行进，之后速度提升为米/秒；乙机器人始终以2米/秒的速度行进．经过6秒，两机器人同时到达点．
(1)求，两地之间的距离及的值；
(2)分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程（米）与时间（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象；
(3)求两机器人出发多长时间时相距1米？
23．数学活动课上，老师让同学们借助太阳光线，分组测量塔高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：选择其中一个小组方案，求出塔高；若认为两个方案均不可行，则说明理由．
小天组：采用在同一时刻棍影和塔影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻木棍与塔影一端重合在点，测得棍影为1米；第二次测量另一时刻棍影与塔影一端重合在点，测得米，木棍移动距离米．
小河组：采用固定木棍分次测量方式．如图2所示，第一次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为1.5米．第二次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为2米，两次塔影顶端的距离为12.4米．
（注：图中箭头表示太阳光线，同一时刻太阳光可视为平行光）
24．已知一条抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)当时，求这条抛物线的解析式：
(2)当时，在这条抛物线上取一点（不与点重合），当时，求点的横坐标：
(3)若过点的直线与的边交于点（不包括端点），设四边形的面积为，的面积为，若，求点的横坐标的取值范围．
25．中，．点为线段上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到，与相交于点，连接．
(1)如图1，当为的角平分线时，若．
①求的值；
②连接，求证：．
(2)如图2，当为的中线时，设，，求与的函数关系式，并求的最大值．
《广东省广州市天河区2025年九年级毕业班综合测试（一模）数学试题》参考答案
1．C
【分析】本题考查了倒数的定义，根据乘积互为1的两个数互为倒数，进行作答即可．
【详解】解：∵
∴的倒数是，
故选：C
2．B
【分析】本题考查了几何体的三种视图，解题的关键是掌握左视图的是从左边看到的图形，左视图是从物体左面看到的图形，进而分析即可．
【详解】A．左视图为长方形，不符合题意；
B．左视图为三角形，符合题意；
C．左视图为长方形，不符合题；
D．左视图为正方形，不符合题．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了中位数，众数，平均数和方差，熟练掌握这些定义及计算方法是解决此类问题的关键．先把5个数据按从小到大的顺序排列，而后用中位数，众数，平均数和方差的定义及计算方法逐一判断．
【详解】解：5个数按从小到大的顺序排列，，，，，
A、出现次数最多，众数是，故错误，不符合题意；
B、平均数是，故正确，符合题意；
C、中位数是，故错误，不符合题意；
D、方差是，故错误，不符合题意．
故选：B．
4．C
【分析】此题考查了完全平方公式、同底数幂的乘法、分式的除法、合并同类项，根据相关运算法则计算即可．
【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项正确，符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：C
5．B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键．先求出不等式组的解集，再根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，数用实点覆盖，无等号，数用空心圆圈覆盖，解答即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
则不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故选：B．
6．A
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等的实数根时，．根据一元二次方程，有两个不相等的实数根，则，解出，即可判断．
【详解】解：∵有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴．
∴k的取值范围为，
则的值可以是0．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图象在直线图象上方部分对应x的范围即为时的取值范围，利用交点坐标即可解答．
【详解】解：根据图象：当时的取值范围为，
故选：C．
8．A
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
设甲有只羊，乙有只羊，根据乙给甲一只羊，则甲的羊数为乙的两倍可得：甲的羊数乙的羊数；如果甲给乙一只羊，则两人的羊数相同可得等量关系：甲的羊数乙的羊数，进而可得方程组．
【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊，根据题意得，
故选：A．
9．B
【分析】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与各项系数的关系是解决此题的关键．
分和两种情况讨论，然后根据一次函数和反比例函数所经过的象限逐一判断即可．
【详解】解：当时，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，无符合的图象；
当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限，符合此种条件的图象只有B选项，
故选：B．
10．B
【分析】连接，作于点D，证明是等边三角形，求出，设圆锥的底面圆半径为，根据扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长列方程即可求出答案．
【详解】解：连接，作于点D，
∴
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴
∴，
设圆锥的底面圆半径为，
则，
解得
故选：B
【点睛】此题考查了弧长公式、垂径定理、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握弧长公式、垂径定理是解题的关键．
11．
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】解：∵，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，依据题意，求出抛物线的对称轴，根据抛物线开口向上，故当时，y随x的增大而减小，进而判断得解．
【详解】解：由题意得抛物线的对称轴，
又∵，
∴抛物线开口向上．
∴当时y随x的增大而减小．
∴对于A、B当时，．
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了扇形统计图，用“不满意”人数除以其占总人数百分比，即可得到答案．
【详解】解：（人），
∴参与调查的总人数为人，
故答案为：300．
14．/度
【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．根据等边对等角和三角形内角和定理求出，由角平分线得到，由三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，连接，由菱形的性质可得，当三点共线时，则有最小值，证明是等边三角形，由点为的中点，可得，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，点为对角线上一个动点，
∴垂直平分，
，
，
当三点共线时，则有最小值，
，，
是等边三角形，
又是的中点，菱形的边长为，
，，，
∴，
中，，
的最小值为，
故答案为：．
16．/
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决的关键是证明．根据矩形的性质证明，得，证明，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得，利用勾股定理求出，进而可以解决问题．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的中线，
∴，
∵，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
17．，
【分析】此题考查了解一元二次方程．变形后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
∴
则
∴或，
解得，
18．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是根据题目所给条件，得出相应的边和角度相等，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．根据可得，根据可得，即可根据进行求证．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
19．(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了分解因式，化简分式：
（1）提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）分选择A、B，选择A、C，选择B、C三种情况，把选择的两个式子分别作为分子和分母组成分式，再化简分式即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：选择A、B，则所得分式为或；
选择A、C，则所得分式为或；
选择B、C，则所得分式为或．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）由简单概率公式直接计算即可得到答案；
（2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：共四种金属，铝和锌与稀盐酸均会发生反应并产生气体，其余两种金属均不反应，
∴从中随机选取一种金属进行实验，恰好选到不反应的金属概率是，
故答案为：．
（2）根据题意，列表如下，
由表可知，共有12种等可能的结果，恰好都选到不反应的金属有种，
∴求恰好都选到不反应的金属概率为．
21．(1)，；
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查了点的坐标、中心对称图形的作图等知识，正确作图是关键．
（1）根据点在坐标系中的位置写出坐标即可；
（2）根据题意画出图形即可；
（3）根据圆的周长进行进行解答即可．
【详解】（1）解：点的坐标是，点的坐标是；
（2）如图即为所求，
（3）阴影部分的周长
22．(1)s的值为12，a的值为1.5
(2)，图象见解析
(3)两机器人出发2秒或5秒时相距1米
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
（1）根据路程速度时间求出乙在6秒内的行程，即A，B两地之间的距离s的值，根据“甲机器人前4秒钟的行程后2秒的行程A，B两地之间的距离”列关于a的方程并求解即可求得a的值；
（2）根据路程速度时间分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象即可；
（3）根据路程速度时间写出乙机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，再根据图象、按照x不同的取值范围列关于x的方程并求解即可．
【详解】（1）解：A，B两地之间的距离（米），
根据题意，得，
解得，
∴A，B两地之间的距离s的值为12，a的值为1.5．
（2）解：前4秒时，，
当时，，
则后2秒时，，
∴前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式为，
其图象如图所示：
（3）解：乙机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式为，
当时，得，
解得，
当时，得，
解得，
∴两机器人出发2秒或5秒时相距1米．
23．两种方案都能得到合理结果，塔高度约为25米
【分析】本题考查利用相似三角形测高，小天组：证，可得，再证，可得，根据即可求解；小河组：小河组：由题意得，证明，，推出，求出，即可解答．
【详解】解：小天组：由题意得，
∴，
∴，，
∴，，
∵米，米，米，
∴米，
∴，，
∴，
∴，即，
∴米；
小河组：由题意得，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米，
∵米，
∴，
∴米，与米非常接近，可视作测量或记录误差所致，
综上，两种方案都能得到合理结果，塔高度约为25米．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图，作的外接圆，设交抛物线x轴上方（除点C）于点P，连接，过点P作轴垂线，交轴于点H，过点C作轴垂线，交点过点P垂线轴的垂线于点G，此时，点P，在上，即，证明，推出，设，求出，建立方程求解即可；
（3）先求出直线的解析式为，设，求出，建立不等式组求解即可．
【详解】（1）解：根据题意点，
∵，，
∴设这条抛物线的解析式为，
将点代入抛物线得：，
解得：，
∴这条抛物线的解析式为；
（2）解：当时，由（1）知这条抛物线的解析式为，
如图，作的外接圆，设交抛物线x轴上方（除点C）于点P，连接，过点P作轴垂线，交轴于点H，过点C作轴垂线，交点过点P垂线轴的垂线于点G，
此时，点P，在上，即，
则，
∵，
∴是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
整理得：，
解得：，
∵，
∴；
（3）解：设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得：，
∴点的横坐标的取值范围为．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质、圆周角定理、一元二次方程的解法是解题的关键．
25．(1)①；②见解析
(2)，的最大值为
【分析】（1）①由旋转的性质得，根据为的角平分线，得到，推出，利用，即可求解；②延长，使得，连接，易证四边形是平行四边形，推出是等腰直角三角形，再证明，得到，进而求出，即可得出结论；
（2）过点B作于点M，则，设，则，求出，证明，推出，求出，，根据，得到，即可求出，再利用二次函数即分式的性质即可求出的最大值．
【详解】（1）解：①由旋转的性质得，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
②延长，使得，连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点B作于点M，则，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵为的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
当时，即时，有最小值，即有最大值，
∴的最大值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，函数关系式及二次函数的性质，综合运用以上知识点是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
C
B
A
C
A
B
B
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