广东省大湾区2025届普通高中毕业年级联合模拟考试（二） 数学试题【含答案】

这是一份广东省大湾区2025届普通高中毕业年级联合模拟考试（二） 数学试题【含答案】，共15页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，设函数满足，设函数，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.若集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数，则（ ）
A.
B.的虚部为
C.
D.在复平面内对应的点在第四象限
3.一组数据由小到大排列为，已知该组数据的分位数是9.5，则的值是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
4.若，且，则的最小值为（ ）
A.2 B. C.3 D.
5.已知向量，若向量与的夹角等于向量与的夹角，且向量与不共线，则向量（ ）
A. B. C. D.
6.设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（ ）
A.55 B.45 C. D.
7.从双曲线上一点向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，已知，则（ ）
A. B. C. D.
8.若是三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设函数，则（ ）
A.函数为奇函数
B.
C.函数的值域为
D.函数在其定义域上为增函数
10.已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（ ）
A.
B.直线是曲线的对称轴
C.在区间内有两个极值点
D.曲线与直线所围成封闭图形的面积为
11.已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下：
随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.
是函数在处的导数，则（ ）
A.
B.若服从两点分布，，则
C.若，则
D.若实数为常数，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设抛物线的焦点为，点在抛物线上且，则__________.
13.若角的终边经过点，则__________.
14.已知是圆上两个动点，点坐标为，若点满足四边形是矩形，则的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中，角的对边分别为的面积为，满足.
（1）求的值；
（2）若，求的周长.
16.（15分）
如图1，已知平面四边形纸片.将该纸片沿对角线翻折，连接得到三棱锥，如图2.
（1）若，证明：平面；
（2）若，求平面与平面所成角的余弦值.
17.（15分）
已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上.点为直线上的动点，直线与直线的斜率之比为.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的长轴上是否存在定点，使得直线与椭圆交于两点，当点在直线上运动时，恒构成等差数列？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
18.（17分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有三个零点，
①求的取值范围；
②判断与的大小关系，并给出证明.
19.（17分）
依次投掷一枚骰子若干次，观察向上一面的点数，表示在第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率，规定.记为第次投掷后出现的点数种类数（例如：投掷三次，向上一面点数分别为，则只有“3”“5”两种点数，于是）.
（1）求；
（2）求的递推关系式，并求；
（3）求的数学期望（用含有的式子表示）.
2025届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（二）答案
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步䂆.
15.（13分）
解：（1），
.
又由余弦定理，得，
.
，
.
（2）设的外接圆半径为，
，
由正弦定理，得.
，
.
，
由正弦定理，得，
所以，的周长为.
16.（15分）
解：方法一：（1）不妨设，
由题意可知，.
，
根据余弦定理，得.
，
.
又且，
平面.
方法二：（1）不妨设，
由题意可知，.
令，
以构成空间的一个基底，
则.
设是平面内任一向量，
根据平面向量基本定理，得.
由于，
且，
所以，
从而，平面.
（2）方法一：取中点为中点为，连接，
所以，
因为，所以，
因为中点为，所以，
又，所以平面，
因为平面，所以，
又，所以为等腰直角三角形，
又为中点，所以，
又，所以平面，
又平面，所以面面，
过作垂直于，交于点，则面，过作垂直于，交于点，连接，则即为平面与平面所成角，
不妨设，则
在中，
.
在中，
在中，
所以
所以平面与平面所成角的余弦值为.
方法二：以中点为坐标原点，以所在直线为轴，平面内过点垂直于的直线为轴，过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系如图，设，则，则
设，
因为，
则
所以，不妨取，
易得平面的一个一个法向量为
设平面的一个法向量为
则，即，
不妨设，可得
设平面与平面所成角为
则
故平面与平面所成角的余弦值为.
17.（15分）
解：（1）设，且点，
得，.
由直线与直线的斜率之比为，得：
又因为点在上，
所以，，
将代入，解得，
所以，的方程为.
（2）当直线斜率为0时，分别为轴上两个端点，
此时，若满足，则
当直线斜率不为0时，设
由得
也成立
综上，椭圆的长轴上存在定点，使得直线与椭圆交于两点时，恰好成等差数列.
18.（17分）
解：（1）当时，
则
故所求切线方程为.
（2）①当时，，且，
若有三个零点等价于在上有且只有一个零点，
令，则，函数的零点与有相同的零点，又在上零点情况等价于在上零点情况，
当时，，
在上单调递减，所以，在上无零点，不符合题意，
当时，令，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以在有唯一零点，即在有唯一零点
综上所述，有三个零点时，，
②由①知，时有三个零点，（其中），
考虑，
令，
则，所以在上单调递减，
所以，即，
所以，
又函数在上为增函数，
所以.
19.（17分）
解：（1）
（2）记第次投搃后，前次的结果中出现种点数的概率为，则第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为；
记第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为，则第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为；
故
设
则，于是，得
所以
所以
又也满足上式
所以
（3）为第次投朕后出现的点数种类数
则
当时，
令，则
所以是以为首项，为公比的等比数列
，即
.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
B
A
C
A
C
题号
9
10
11
答案
ABC
ABD
AD
题号
12
13
14
答案
2