2024届辽宁省协作校高三下学期三模数学试题（含答案）

这是一份2024届辽宁省协作校高三下学期三模数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了已知表示这个数中最大的数等内容，欢迎下载使用。
数学
时间：120分钟；试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若全集，，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数在复平面上对应的点为，若，则实数的值为（ ）
A．0B．C．1D．1或
3．已知正实数a，b，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
4．已知平面非零向量，，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．0
5．在调查对某大型活动满意度比例为0.9的人员中抽取10人，设当中持有满意态度的人数为，随机变量，则的方差的值为（ ）
A．21B．6.6C．3.6D．4.8
6．已知对数函数，函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（ ）
A．B．C．D．
7．设点分别为椭圆的左、左焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好有4个，则实数的值可以是（ ）
A．0B．2C．4D．6
8．已知数列中各项均为正数，且，给出下列四个结论：
①对任意的，都有
②数列可能为常数列
③若，则当时，
④若，则数列为递减数列．
其中正确结论有（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．第三项系数为270B．的系数为90
C．二项式系数和为D．系数和为
10．已知表示这个数中最大的数．能说明命题“，，”是假命题的对应的一组整数a，b，c，d值的选项有（ ）
A．1，2，3，4B．，，7，5
C．8，，，D．5，3，0，
11．已知双曲线及直线，若与交于A，B两点，是坐标原点，且的面积为，则实数的值可能为（ ）
A．0B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某同学将全班某次数学考试的成绩整理成频率分布直方图后，将每个小矩形上方线段的中点连接起来，并将小矩形擦去，得到频率分布折线图（如图所示）．已知该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10，据此估计此次考试成绩的平均数是__________．
13．若函数的图象关于成轴对称，则的值可以为___________．（写出一个正确的值即可）
14．已知正四面体棱长为2，点分别是，，内切圆上的动点，现有下列四个命题：
①对于任意点，都存在点，使；
②存在，使直线平面；
③当最小时，三棱锥的体积为
④当最大时，顶点到平面的距离的最大值为．
其中正确的有___________．（填选正确的序号即可）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（本小题13分）如图所示，在梯形中，，，，平面，，，，为中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
16．（本小题15分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求角；
（2）若，设P，Q分别是边AB、BC上的动点（含端点），且．当取得最小值时，求点到直线的距离．
17．（本小题15分）已知函数，其在处的切线科淬为．
（1）求的值；
（2）若点在函数的图象上，求的取值范围．
18．（本小题17分）为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题的能力，某省举办高中生数学建模竞赛现某市从M，N两个学校选拔学生组队参赛，M，N两个学校学生总数分别为1989人、3012人．两校分别初选出4人、6人用于组队参赛，其中两校选拔的人中各有两人有比赛经验，按照分层抽样从M，N两个学校初选人中共选择5名学生组队参赛，设该队5人中有参赛经验的人数为X．
（1）求随机变量X的分布列及数学期望；
（2）各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流．假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B进行交流，结束后把成果交由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流……每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验．在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，比赛由甲同学因起稿建立模型．
①求该组第三次交流中甲被选择的概率；
②求第n次交流中甲被选择的概率（，）．
19．（本小题17分）设抛物线的方程为，为直线上任意一点；过点作抛物线的两条切线MA，MB，切点分别为A，B（A点在第一象限）．
（1）当M的坐标为时，求过M，A，B三点的圆的方程；
（2）求证：直线AB恒过定点；
（3）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明理由；若不存在，也请说明理由．
2023-2024学年度下学期高三第三次模拟考试试题
数学参考答案
一、1．D2．A3．B4．A5．C6．D7．B8．C
二、9．ACD10．BC11．AD
三、12．112.513．14．①②④
四、15．（1）证明：连接CM，
，，是AB中点，且，
四边形是平行四边形，．
又，，，平面平面．
又平面，平面．
（2）证明：，平面，平面，
平面，，是AB中点．
且．
又，平行四边形为正方形，．
又，平面，
平面，．
（3）平面，四边形是正方形．
两两垂直．
建立直角坐标系，以为原点，AB为轴，AD为轴，AP为轴.
设平面的法向量，，，
，，当时，法向量，
设平面的法向量，，，
，，当时，法向量，
所以平面与平面夹角的余弦值为：
．
16．解：（1）因为，所以，
由正弦定理得，．
因为，所以，同时
则，
即．
又因为，所以，所以，故，
（2）由（1）可知，，，所以是直角三角形，
又，所以，，
设，，又，
所以，所以．
在中，由余弦定理和均值不等式可知，
．
当且仅当时，等号成立，取得最小值1．
此时，是边长为1的等边三角形，易求得点到直线的距离为．
17．解：（1），
由题意，，整理得，
令，所以，
所以当时，，单调递减，且，
当时，，单调递增，
又，，，
所以关于的方程只有一个根，即．
（2）由（1）问可知，所以，
令
进而可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，时，，，
所以时，，函数在上单调递增，
时，，函数在上单调递减，
当时，取得最大值，
所以的值域为．
又由题意，所以，．
令，，
所以，当时，，
当时，，在区间单调递减，
当时，，区间单调递增，
所以当时，取得最小值，
当时，，当时，，且，
所以的值域为，
所以的取值范围是．
18．解：（1）由题随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4．
的分布列为
数学期望．
（2）①甲、乙两同学被同伴选择的概率均为．其他三名同学被选择的概率相等．比赛由甲同学起稿建立模型，第三次交流中甲被选择，所以第二次交流中甲未参与．设“第三次交流中甲被选择”，则．
②第次交流中甲被选择，则第次交流中甲未被选择．设第次交流中甲被选择的概率为．
则，
，
．
．
19．解：（1）当M的坐标为时，设过点的切线方程为，与联立，得，整理得，
令，解得或，
分别代入方程得和，故得，，
同时可求得直线MA的方程为，直线MB的方程为，
进而可知，即直线MA与直线MB互相垂直，
则过M，A，B三点的圆的直径为线段AB，
设该圆上任一点的坐标为，则，，
所以，
从而过M，A，B三点的圆的一般方程为．
（圆的标准方程：）．
（2）设切点分别为，，
过抛物线上点的切线方程为，
与联立，整理得，
，所以，
又因为，从而过抛物线上点的切线方程为，
即，同理可得过点的切线为，
又切线MA，MB都过点，所以得，，
即点均满足方程，
故直线AB的方程为．
设，其为直线上任意一点，
故对任意成立，从而直线AB恒过定点．
（3）由（2）知是方程的两实根，
故有，又，，，
所以．
①当时，，直线上任意一点均有，为直角三角形；
②当时，，，不可能为直角三角形；
③当时，，，
因为，，
所以，
若，则，整理得，
又因为，所以．
因为方程有解的充要条件是，所以当时，有，（的情况同理），
所以为直角三角形．
综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，
当时，直线上存在两点，使为直角三角形；
当或时，不是直角三角形．
X
0
1
2
3
4
P