山西省吕梁市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份山西省吕梁市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由.
故选：B.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为.
故选：A.
3. 一个扇形的圆心的为，弧长为，则其面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设扇形的半径为，则由弧长公式得，解得，
所以扇形的面积是.
故选：D.
4. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以关于的一元二次方程的两个根分别为，2，
由根与系数的关系可得，解得，所以.
故选：B.
5. 已知，则大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，，
即，，
故.
故选：C.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】原式，
因为，则，
所以上式.
故选：A.
7. 已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误；
因为且，所以为增函数，
当时，为增函数，此时的零点，故A错误；
当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误.
故选：C.
8. 已知函数在区间上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，是增函数，
又因为，由函数零点存在定理知，
存在，使得.
当时，由得，解得且.
综上，要使函数在区间上有且仅有4个零点，则零点为，
所以，得.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列运算正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：AC.
10. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】因为，所以，
即，得（当且仅当时，等号成立），故A正确；
当时，满足，此时，故B错误；
（当且仅当时，等号成立），故C错误；
由得，
所以
（当且仅当时，等号成立），故D正确.
故选：AD.
11. 已知，则（ ）
A. 的定义域为
B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称
D. 在区间上单调递减
【答案】BCD
【解析】要使有意义，则且有意义，所以且，故A错误；
因为，故B正确；
，故C正埆；
设，且，
则
，
因为，且，所以，
得，即，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则__________.
【答案】
【解析】当时，，所以，
因为为奇函数，所以.
13. 已知函数，若，且，则__________.
【答案】
【解析】令，则，函数在上单调递增，
不妨设，由可得，
去绝对值化简得，故，所以.
14. 午夜零时时针和分针重合，则午夜零时后，时针和分针第1次重合所需时间为__________小时，第3次重合时时针所转的角度为__________.
【答案】
【解析】设从午夜零时起，分针走了小时后与时针重合，
分针的角速度为，时针的角速度为，
则，得.
当时，，
当时，，这时时针所转的角度为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知角是第三象限角，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若，求的值.
解：（1）由得，
则，
所以.
又因为角是第三象限角，则，，
所以，所以.
（2）由（1）可得解得，所以.
（3），
所以.
16. 已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数单调性，并用定义证明；
（3）解不等式.
解：（1）要使函数有意义，则且，即，
所以函数定义域为.
（2）是减函数. 证明如下：
设，且，
则
.
因为，所以，所以.
所以，即.
所以是减函数.
（3）函数的定义域为，
要有意义，则，即，
要有意义，则.
因为是减函数，
由，得，
即，解得或.
综上得或.
所以不等式的解集为或.
17. 山西某村为富硒土壤，且气候适宜，非常适合种植樱桃.近年来，为全面推进乡村振兴，实现共同富裕，当地党委带领村民积极发展规模化种植，完善深加工产业链，成立深加工合作社，建立橿桃批发市场.该地樱桃一般从5月1日开始上市，6月20日基本结束.通过市场调查，得到樱桃的投入成本（单位：元/千克）与上市时间（单位：天数）的数据如下表：（上市时间满足）
（1）根据上表数据，请从下列四个函数模型中选取一个恰当的函数模型反映樱桃投入成本与上市时间的关系（需说明理由），并求出相应的函数解析式；
①，②，③，④.
（2）利用你选取的函数模型，求投入成本最低时樱桃的上市时间及最低投入成本.
解：（1）由表中所提供的数据可知，反映樱桃的投入成本与上市时间的关系的函数不是常数函数，
故用函数中的任意一个来反映时都应有，
此时上面三个函数均为单调函数，这与表格提供的数据不符合，
所以应选用函数模型.
将表中提供的三组数据分别代入，
得解得
所以反映樱桃投入成本与上市时间的关系的函数为：.
（2）由（1）知，
所以当（天）时，楼桃的投入成本最低，最低投入成本为2元/千克.
18. 已知函数只满足以下四个条件中的三个：①的最小正周期为；②函数图象的两条对称轴之间的最小距离为；③；④.
（1）请找出这三个条件并说明理由，求出函数的解析式；
（2）求在上的单调递增区间；
（3）若函数在上的值域为，求实数的取值范围.
解：（1）由②，得函数的最小正周期为，所以①②相互矛盾，
若选①③④，则，由，得，又，解得，
这时，得，故选②③④，
由②，得，由得，由，解得.
这时，满足.
由，得，所以.
（2）由，
解得.
又，所以或.
所以在上的单调递增区间为.
（3）由（2），得函数在上单调递增，在上单调递减，
且，
要使函数在上的值域为，则.
即实数的取值范围为.
19. 在研究函数的图象与性质时，经常利用函数图象的平移思想，把一些复杂的函数转化为简单的函数.例如函数且的图象可以看作把奇函数且的图象向右或向左平移个单位长度得到的，这样我们可以得到函数且的图象关于点中心对称.现有函数.
（1）根据上面的结论，求函数的对称中心；
（2）若，证明函数在定义域内有唯一零点；
（3）当，函数的图象关于点中心对称时，若存在，，使得成立，求实数的取值范围.
解：（1）因为，
根据题中的结论，可得函数中，
故函数的对称中心为，
所以函数的对称中心为.
（2）若，则，
由得，所以的定义域为.
又因为在上单调递减，
由复合函数的单调性可知：函数在定义域上是减函数，
又由题设可知函数关于点对称，且有.
对于函数的图象，可以看作是将函数的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到的，知为奇函数且在上为增函数，
故可得函数在区间上单调递增，关于点对称，且有.
，且在定义域上是减函数，
所以函数在定义域内有唯一零点.
（3）当图象关于点中心对称时，
由题中结论可得，
函数在上单调递减，
则在上的值域为，
由（2）知在上单调递增，故的值域为.
若存在，使得成立，
则的最大值大于或等于的最小值，
即，即有，
所以实数的取值范围为.