山东省淄博市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份山东省淄博市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了 在的展开式中，含的项的系数为， 若，则， 不等式的解集是等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设等差数列，则（ ）
A. -5B. 18C. 23D. 28
【答案】B
【解析】.故选：B.
2. 若函数满足则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据导数的定义知，
，则.
故选：A.
3. 设是等比数列，且，则公比（ ）
A. B. 2C. D. 8
【答案】A
【解析】由是等比数列，又，
则；
则；
可得，即；
故选：A
4. 在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A. B. 280C. 560D.
【答案】B
【解析】的二项式展开式的通项公式为
，,
令，可得，
所以，
故含项的系数为.
故选：B.
5. 某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到社区，则不同的选法有（ ）
A. 12种B. 24种C. 30种D. 60种
【答案】C
【解析】求不同选法种数需2步，先从5人中选1人去社区，再从余下4人中选2人去社区，所以不同选法有（种）.故选：C
6. 直线与曲线相切，则实数k的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】设直线与曲线的切点为
由，所以，解得
所以
故选：C
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以.
故选：D.
8. 不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，则，当时，；当时，，所以在上是增函数，在上是减函数．原不等式可化为，即，结合，可得，所以原不等式的解集为．
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. D.
【答案】AC
【解析】由随机变量可得；
若，利用期望值性质可得，即A正确；
若，由方差性质可得，即B错误；
由正态分布密度曲线可知其关于对称，利用对称性可得，即C正确；
利用对称性可得，
显然，即，
所以，而，所以；即D错误；
故选：AC
10. 若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（ ）
A 有两个极大值点B. 有一个极小值点
C. D.
【答案】AB
【解析】由题意可知：当时，f'x≥0；
当时，；
可知在内单调递增，在单调递减，
可知：，，且的极大值点为，极小值点为，
故AB正确；CD错误.
故选：AB.
11. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列. 如数列，它的前后两项之差组成新数列，新数列为等差数列， 则数被称为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其前6项分别为，设其通项公式则下列结论中正确的是（ ）
A. 数列的公差为2B.
C. 数列的前7项和最大D.
【答案】BD
【解析】因为二阶等差数列，其前6项分别为4，8，10，10，8，4，
从第二项开始，每一项与前一项的差组成新数列的前5项为，
易知新数列的公差为，即数列的公差为，即A错误.
易知是以首项为4，公差为的等差数列，
利用等差数列前项和公式可得,即B正确.
由等差数列通项公式可得，
所以，，……，，
累加可得
；
，
利用二次函数性质可知当时，数列单调递减，且前6项均为正数，
易知，所以，因此数列的前6项和最大，即C错误；
由可得，即D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若二项展开式,则______.
【答案】2
【解析】令，于是得，
而，
所以.
故答案为：2
13. 已知随机变量的分布列如下：
若，则________．
【答案】
【解析】由，得，解得，
依题意.
故答案为：
14. 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为，利率不变的概率为. 根据经验,人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为，则该支股票将上涨的概率为_____．
【答案】
【解析】记“利率下调”为事件，则“利率不变”为事件，“价格上涨”为事件，
由题意知：，，，，
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求并写出的表达式；
（2）证明：.
解：（1）由有，
取得到，解得.
将代入可得.
（2）设，则，故当时，
当时.
所以在上递减，在上递增，故.
从而.
16. 近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为.
（1）随机抽取200名成年人，并调查这200名成年人养宠物的情况，统计后得到如下列联表：
依据小概率值的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关?
（2）记2018-2023年的年份代码x依次为中国宠物经济产业年规模为y（单位：亿元）,由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得y,关于x的回归方程为，且. 求相关系数r并判断该回归方程是否有价值.
参考公式及数据：，其中.
回归方程其中，
相关系数；
若， 则认为y与x有较强的相关性. 其中 .
解：（1）零假设为：认为养宠物与性别无关；
，
依据小概率值的独立性检验，可以认为养宠物与性别有关.
（2）由的取值依次为得，
回归方程为，，
，
，
,与有较强的相关性，该回归方程有价值.
17. 在一个不透明的密闭纸箱中装有 10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量为小张摸出白球的个数.
（1）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求和；
（2）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求的分布列和；
解：（1）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，
且每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，所以随机变量，
所以，.
（2）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，
且每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，随机变量X服从超几何分布，
则，
可得，
所以的分布列为
18. 已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的通项，求的前项和；
（3）在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求的值．
解：（1）因为，
所以，则，
当时，，
当时，，
当时也成立，
所以an通项公式为.
（2）由（1）可知，
所以，
所以，
则
，
所以；
（3）由题意，数列元素依次为，
在到之间的个数为，故到处共有个元素，
所以前项中含及个，
故.
19. 已知函数．
（1）讨论函数单调性；
（2）若函数有两个极值点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．
解：（1）函数的定义域为，
且，
当时，恒成立，所以在单调递减；
当时，令，即，
解得，，
因为，
所以，则，
所以当时，
当时，
当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减；
当时，此时，
所以时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上可得：当时在单调递减；
当时在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增，在上单调递减．
（2）（ⅰ）由（1）可知．
（ⅱ）由（1）在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
又，所以，
则，
又，
又，
所以在上没有零点，
又，则，则，，
则，
所以，所以在上存在一个零点，
综上可得函数有且只有一个零点．
0
1
2

成年男性
成年女性
合计
养宠物
38
60
98
不养宠物
62
40
102
合计
100
100
200
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
2
3
4