广东省大湾区2023-2024学年高二下学期期末联合考试数学试题（解析版）

这是一份广东省大湾区2023-2024学年高二下学期期末联合考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁， 下列函数中，存在极值点的是， 已知数列，其前项和记为，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 等差数列中，，则的公差（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】A
【解析】由得，，
故选：A．
2. 已知随机变量的分布列如下表：
则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由分布列的性质可得，，即，
.故选：B．
3. 在日常生活中,许多现象都服从正态分布.若,记,，，经统计，某零件的尺寸大小（单位：dm）从正态分布，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知，，则，，，.
结合正态曲线的对称性可得.
故选：C.
4. 已知一组成对数据中y关于x的一元非线性回归方程，已知，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】因为y关于x的一元非线性回归方程，
设，则回归直线方程，
又因为，可得，
即样本中心为，
将样本中心代入回归直线方程，可得，解得，即.
故选：B.
5. 画条直线，将圆的内部区域最多分割成（ ）
A. 部分B. 部分
C. 部分D. 部分
【答案】B
【解析】设画条直线，将圆最多分割成部分，
则，，
因此，
相加得：，
所以，
当，，符合上式，所以，
故选：B.
6. 若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，可得，记，
则，所以在单调递增，所以.
故选：C
7. 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则的值可能为（ ）
附表：
A. 4.238B. 4.972C. 6.687D. 6.069
【答案】D
【解析】由题知，
故的值可能为6.069.
故选：D.
8. 已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由可得
对于，当时，在第一象限上递减，
对应图象在第四象限且递增，故A项符合；
对于在第一象限上与的图象在上都单调递增，
故且，则.
又由可得，即与的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符合，B, D项均符合.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，存在极值点的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】对于A，，定义域为，
其导数，
则函数在和上单调递增，没有极值点，故A错误；
对于B，在定义域上单调递减，没有极值点，故B错误；
对于C，，定义域为，
其导数，再时，，函数单调递减，
再时，，函数单调递增，
则当时，函数取得极小值，故C正确；
对于D，，定义域为，
其导数，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
则当时，函数取得极小值，故D正确；
故选：CD.
10. 已知数列，其前项和记为，则（ ）
A. 若等差数列，且，则
B. 若是等差数列，且，则
C. 若是等比数列，且，其中为常数，则
D. 若是等比数列，则也是等比数列
【答案】BC
【解析】A选项中，当等差数列是常数列时，由，就不能得到，所以A是错误的；
B选项中，设等差数列公差为，
由前项和，
可知，所以B是正确的；
C选项中，由可知，等比数列公比不为1，设公比为，
由等比数列前和公式得，则有，，
则常数，
所以C是正确的；
D选项中，等比数列中，当公比时，若，有，则就不是等比数列，所以D是错误的；
故选：BC．
11. 设A,B是一次随机试验中的两个事件,且，，，则（ ）
A. A，B相互独立B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由题意可知，
事件互斥，且，
所以，
即，故A正确；
则
，故B正确；
由条件概率公式可知：，故C错误；
，
,即，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 当时，函数的最小值为_______.
【答案】
【解析】由题意可知，，
令，有或（舍），
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值.
故答案为：
13. 将5名志愿者分配到四个社区协助开展活动，每名志愿者只能到1个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是____________.
【答案】240
【解析】把5名志愿者分成4组，有种分法，
再把每一种分法的4组分配到4个社区有种方法，
所以不同的分配方法数是.
故答案为：240.
14. “杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为_____.
【答案】
【解析】由题意可知，次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行
则“杨辉三角”第行各项之和为：
第行去掉所有为的项的各项之和为：
从第行开始每一行去掉所有为的项的数字个数为：
则：，即至第行结束，数列共有项
第项为第行第个不为的数，即为：
前项的和为：
本题正确结果：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 数列满足，.
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）数列中，，，显然，则，
数列是首项为1，公差为1的等差数列，，
所以数列通项公式是.
（2）由（1）知，，
当时，，，
当时，，
所以.
16. 小家电指除大功率､大体积家用电器（如冰箱､洗衣机､空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为.
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）.
参考数据：；
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
解：（1）由已知得,
.
因为与的相关系数近似为0.92，说明与的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由题可得，
，
故关于的经验回归方程为.
17. 某同学在研究二项式定理的时候发现：其中为的系数，它具有好多性质，如：①;②;③；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题:
（1）计算：；(请用数字作答)
（2）若，且，证明：；
（3）设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数.
解：（1）原式
.
（2）显然，而，
因此，
则.
所以原命题成立.
（3）设等差数列，，，…，的公差为d，，
则
.
所以对任意的，是关于x的一次函数.
18. 为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭生育情况进行抽查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为，已知各家庭抽查结果相互独立.
（1）求；
（2）若抽取的家庭数X不超过n的概率不小于，求整数n的最小值.
解：（1）由题意，前三次抽到一户三胎家庭，第四次抽到一户三胎家庭，
所以.
（2）因为.
所以抽取的家庭数不超过的概率为，
即，，
两式相减，得
所以.
由，得，
令，
则.，
所以，所以数列是递减数列，
因为，
所以整数的最小值是7.
19. 已知函数.
（1）求曲线与的公切线的条数；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）设的切点分别为，
则，
故在切点处的切线方程分别为，
则需满足；
,故，
解得或，
因此曲线与有两条不同的公切线，
（2）由可得，
即对于恒成立，
，结合解得
设，
则当时单调递减，
当时，单调递增，
故当，故
因此，，
令，则，
令，得，
当时，此时，，
故在上单调递减，
所以
，
所以，
由于进而，满足题意，
当时，此时，
令，解得单调递增，
令，解得单调递减，
故，
令，则，
由于 ，所以，
故单调递减，故，即可，
因此
所以，由于进而，满足题意，
综上可得.1
2
3
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
年份代码
1
2
3
4
5
市场规模
0.9
1.2
1.5
1.4
1.6