内蒙古赤峰市松山区2024年中考二模数学试卷（解析版）

这是一份内蒙古赤峰市松山区2024年中考二模数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题（每小题3分，共12分)，解答题（共8题，满分96分)等内容，欢迎下载使用。
1. 相反数是（ ）
A. B. C. 3D. -3
【答案】A
【解析】的相反数为．
故选：A．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、，故D选项不符合题意，
故选：B．
3. 下列几何体中，左视图为矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．三棱锥的左视图是三角形，因此选项A不符合题意；
B．圆锥的左视图是三角形，因此选项B不符合题意；
C．圆柱的左视图是矩形，因此选项C符合题意；
D．圆台的左视图是梯形，因此选项D不符合题意；
故选：C．
4. 已知点A，点B在数轴上对应的数a，b的位置如图所示，则和的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 无法判断
【答案】C
【解析】由图可知，，，且，
故选：C．
5. 赤峰市是国家重要的农畜产品供应基地和内蒙古自治区粮食主产区之一，粮食种植面积在万亩以上，粮食产量在亿斤以上．为帮助农民把“丰收在望”变成“丰收在手”，保障农民颗粒归仓，年赤峰市坚决贯彻党中央、自治区关于保障国家粮食安全的政策精神，坚持党政同责，多措并举，上下联动，通过良田、良种、良法、良机配套，全力以赴紧盯粮食生产全过程，确保秋粮收获秩序平稳．全市预计粮食产量达到亿斤，较年增加，可实现“十一连丰”，有力助推了粮食增产和农牧民增收．其中亿斤用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】亿，，
故选：D．
6. 如图，利用工具测量角，则的大小为（ ）

A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】A
【解析】量角器测量的度数为30°，
由对顶角相等可得，．
故选A．
7. 一组数据为，，，，若添加一个数据，则发生变化的统计量是（ ）
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
【答案】D
【解析】原数据的平均数为：，中位数：，众数为：，
方差为：，
新数据的平均数为：，
中位数为：，众数为：，
方差为：，
∴发生变化的是方差，
故选：D．
8. 如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过点作交于点，如图，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9. 我国明代数学读本《算法统宗》一书有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托如果1托为5尺，那么索长和竿子长分别为多少尺？设索长为x尺，竿子长为y尺，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意，可列方程组为，
故选：B．
10. 如图，两幢建筑物和，，，．和之间有一景观池，某同学在D点测得池中喷泉处E点的俯角为，在C点测得E点的俯角为，点A、E、B在同一直线上．求得两幢建筑物之间的距离约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，，
在中，，
解得，
在中，，
，
．
故选：A．
11. 一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为，则，解得：，
∴圆锥侧面展开图的弧长为：，
∴圆锥的底面圆半径是，
∴圆锥的高为，
故选C．
12. 从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】组成的两位数有，共12种情况，其中成的两位数是3的倍数的情况有，共4种，
∴；
故选C．
13. 如图，已知二次函数 (、、为常数，且)的图象顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而增大；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】①由抛物线的开口方向向下，则，故①正确；
②抛物线的顶点为，
，，
，
，
抛物线与轴的交点在正半轴，
，
，故②错误；
③抛物线经过点，
，即，故③正确；
④抛物线的顶点为，且开口方向向下，
时，随的增大而减小，即④错误；
⑤抛物线的顶点为，抛物线开口向下，
当时，是最大值，
对于任意实数，总有，
则⑤正确；
综上，正确的共有个．
故选：B．
14. 有一天，兔子和乌龟赛跑．比赛开始后，兔子飞快地奔跑，乌龟缓慢的爬行．不一会儿，乌龟就被远远的甩在了后面．兔子想：“这比赛也太轻松了，不如先睡一会儿．”而乌龟一刻不停地继续爬行．当兔子醒来跑到终点时，发现乌龟已经到达了终点．正确反映这则寓言故事的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】乌龟运动的图象是一条直线，兔子运动的图象路程先增大，而后不变，再增大，并且乌龟所用时间最短．
故选D．
二、填空题（每小题3分，共12分)
15. 分解因式8m﹣8﹣2m2＝___．
【答案】﹣2(m﹣2)2
【解析】8m﹣8﹣2m2＝﹣2m2+8m﹣8＝﹣2(m2﹣4m+4)＝﹣2(m﹣2)2，
故答案为：﹣2(m﹣2)2．
16. 在函数中，自变量的取值范围是________．
【答案】且
【解析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，得：，
解得：且，
故答案为：且．
17. 如图，在矩形中，，，点是射线上一动点，将沿折叠，点落在点处，连接并延长交的延长线于点．当时，线段的长为________．
【答案】或
【解析】①点在上时，设与交于点，如图，
∵，，∴，
由翻折知，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，解得，
∵，，
∴，∴，
即，解得；
②点在的延长线上，设与交于点，如图，
∵，，
∴，
同①可得，，
在中，，
即，
解得，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，
综上所述，或，
故答案为：或．
18. 已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推，那么的值是__________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
，
，
，
……
∴每三个一次循环，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共8题，满分96分)
19. 计算：．
解：原式
.
20. 下面是某学习小组设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：及圆外一点P．
求作：过点P且与相切的直线．
作法：如图，①连接，分别以O，P为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点；②作直线，与交于点Q，以Q为圆心，以长为半径作圆，交于A，B两点；③作直线，．则直线，是所求作的的切线．
根据该小组设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，按照上述作法补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接，，，，，
∵，，
∴是的垂直平分线，（ ）（填推理的依据）
∴Q为中点，，
∴为的直径，
∴，（ ）（填推理依据）
∵A点在上，
∴是的切线．（ ）（填推理的依据）
（1）解：如图，，是所求作的的切线．
（2）证明：连接，，，，，
∵，，
∴是的垂直平分线，（与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）
∴Q为中点，，
∴为的直径，
∴，（直径所对的圆周角为直角）
∵A点在上，
∴是的切线．（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）
故答案为：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角为直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
21. 某食品公司为了解甲、乙两个品种商品的营业员在某月的销售情况，分别从两个品种的销售员中各随机抽取了名营业员，获得了这些营业员的销售额（单位：万元的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．设营业员该月的销售额为（单位：万元），甲品种营业员销售额数据的频数分布直方图如下（数据分成 组：，，，，）：
．甲品种营业员该月的销售额数据在这一组的是：

．甲、乙两品种营业员该月销售额数据的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在甲品种抽取的营业员中，记该月销售额超过万元的人数为．在乙品种抽取的营业员中，记该月销售额超过万元的人数为．比较，的大小，并说明理由；
（3）若该公司乙品种共有名营业员，估计乙品种该月的销售总额．
解：（1）∵将甲品种营业员该月的销售额从小到大进行排序，找出排在第位的是，第位的是，
∴中位数.
（2），理由如下：
由甲品种抽取的营业员该月的销售额的数据可知，
在乙品种抽取的名营业员该月销售额数据的中位数是万元，小于万元，
，
（3）估计乙品种该月的销售总额约为 （万元）．
22. 读书可以让人学会思考，享受灵魂深处的愉悦，通过与书中先哲或有趣人物的对话，读者可以获得智慧和情感的支持．每年的4月23日是世界读书日，某校计划购买A、B两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知A种图书的单价比B种图书的单价的2倍少10元，且购买4本A种图书和3本B种图书共需花费180元．
（1） A、B两种图书的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买这两种图书共50本，且投入总经费不超过1300元，则最多可以购买A种图书多少本？
解：（1）设A种图书单价x元，B种图书单价y元，
由题意得解得
答：A种图书单价30元，B种图书单价20元．
（2）设购买A种图书m本，
由题意可得，
解得，
∴最多可以购买30本A种图书．
23. 如图，为外一点，过点作的切线，为切点，分别连接，AO并延长交于点、，若，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
切于点，
，
，
，，
在中，，，，
解得：，
，，
在中，，，
解得：，
．
24. 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．利用二次函数图象解不等式．
数学活动课上，老师提出这样一个问题：我们曾经利用一次函数的图象解一元一次不等式，类比前面的学习经验，我们能否利用二次函数的图象解相应的不等式呢？例如解不等式，同学们以小组为单位展开了讨论．
第一小组展示了他们的方法：将不等式进一步变形为，如图1，画出函数 的图象，抛物线与轴相交于和两点，这两个点将轴分为三段，当或时，二次函数的图象位于轴上方，此时，所以，即，所以此不等式的解集为或．
第二小组受第一小组的启发，画出函数的图象和直线，如图2所示，它们相交于和两点，当或时，二次函数的图象位于直线的上方，此时，即，所以不等式的解集为或．
相信聪明的你一定能完成以下任务：
（1）两个小组的方法主要运用的数学思想是 (从下面的选项中选择一个即可)
A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．由特殊到一般思想
（2）请你选择阅读材料中的一个方法解不等式，请将函数图象画在图3的平面直角坐标系中，并参照材料中的分析过程写出你的分析过程．
解：（1）两个小组的方法主要运用的数学思想是数形结合思想，
故选：A；
（2）①选择第一小组的方法：将不等式进一步变形为，
画出函数的图象，如图，
观察图象可知：抛物线与轴相交于和两点，这两个点将轴分为三段，
当时，二次函数的图象位于轴上方，
此时，即，
∴不等式的解集为；
②选择第二小组的方法：画出函数的图象和直线，
观察图象可知，函数的图象和直线相交于和两点，
当时，二次函数的图象位于直线的上方，
此时，即，
∴不等式的解集为．
25. 如图①，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作， 交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．
（1）当点和点重合时，求线段的长；
（2）当点和点重合时，求；
（3）当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由；
解：（1）如图所示，连接，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
当点和点重合时，
，，
在中，，
故答案为：.
（2）如图所示，
，，
，，
，
，
，
，，
.
（3）如图所示，过点作于点，
，，
， ，
则四边形是矩形，
，
又，，
，，
是等腰直角三角形.
26. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第二象限内的一个动点，连接，，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）请用含的代数式表示的面积；
（3）当的面积为时，求点的坐标．
解：（1）∵抛物线与轴交于（），（）两点，
解得
∴抛物线的函数表达式.
（2）连接，设，
∵抛物线与轴交于点，
∴当时，，
∴（），
∵在第二象限，
.
（3）由（）得，当的面积为时，，
解得，
∵点在第二象限，∴，∴，
，
∴点的坐标为.平均数
中位数
甲品种
乙品种