山东省济南市长清区2024年中考二模数学试卷（解析版）

这是一份山东省济南市长清区2024年中考二模数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图所示，该圆柱体的左视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】从左面看是圆形，∴该圆柱体的左视图是圆形．
故选：C．
2. 2024年“热辣滚烫”的清明小长假落下帷幕，济南再次登上周边游热门目的地城市单，期间共接待旅客1420000人次，1420000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】．
故选：A．
3. 如图，，直线分别交，于点E，F，平分，交 于点 G．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵平分，，∴，
∵，∴，
∴，
故选：C．
4. 有理数，在数轴上的表示如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由数轴可知, ，，，
∴，，，
故选：．
5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，有对称轴，是轴对称图形，故此选项错误．
、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误．
、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误．
、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，有对称轴，是轴对称图形，故此选项正确．
故选．
6. 代数式化简的结果为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】；
故选：．
7. 若反比例函数的图象经过点，则该函数图象一定经过（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵反比例函数的图象经过点，
∴，
A、，不合题意；
B、，不合题意；
C、，不合题意；
D、，符合题意；
故选：D．
8. 小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《京剧生角》特种邮票，上面分别绘有《将相和》中的蔺相如、《四进士》中的宋士杰、《群英会》中的周瑜、《白蛇传》中的许仙，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．元旦之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“蔺相如”和“周瑜”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
一共有种情况，符合条件的是两种，
故．
故选A．
9. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（ ）

A. 直线是的垂直平分线B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；
B．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，
∴点E是的中点，，
在中，，
∴，
∴，
即点D是的中点，
∴，
故选项正确，不符合题意；
C．∵点D是的中点，点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选项正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
∴，
∴，
故选项错误，符合题意．
故选：D．
10. 已知函数（a为常数），当时，y随x的增大而增大，，是该函数图象上的两点，对任意的和，，总满足，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意，抛物线开口向上，
当时，y随x的增大而增大，
对称轴直线，即．
抛物线上的点离对称轴越远就越大，
又，即，，
，总满足，，
，
当时，，
当时，．
，
，
解得，，
．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式：__________________．
【答案】
【解析】；
故答案为：．
12. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为_______．
【答案】6
【解析】∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为，
∵袋子中有4个黑球和个白球，
∴由简单概率公式可得，解得，
∴白球有6个，
故答案为：6．
13. 设n为正整数，且，则n的值为_______．
【答案】3
【解析】因为 ， ， ，所以 ，即.
14. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是_____．
【答案】
【解析】∵关于的一元二次方程的一个根是，
∴将代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
15. 如图，半径为的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为____．
【答案】
【解析】连接，如图所示，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵扇形的半径为，
∴．
16. 如图，在正方形中，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得，连接，在左侧有一点，使得为等腰直角三角形，且，连接．若正方形的边长为2，则的最小值为____．
【答案】
【解析】连接，过作，取，连接，，过作，
∵，，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵正方形中，是的中点，正方形的边长为，
∴，，
∵将沿翻折得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴（ASA），
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴当、、三点共线时有最小值，最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共86分）
17. 计算：．
解：
18. 解不等式组，并写出它的所有整数解．
解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴原不等式所有整数解为4，5，6．
19. 如图，在中，点M，N分别在边，上，且，，相交于点O．求证：．

证明：∵是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴；．
在和中，，
∴．
∴．
20. 速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，四边形是某速滑场馆建造的滑台，已知，滑台的高为6米，且坡面的坡度为，为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面的坡度．（参考数据：，，）
（1）求新坡面的长；
（2）原坡面底部的正前方10米处（米）是护墙，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米，请问新的设计方案是否符合规定，试说明理由．
解：（1）过C点作于H点，如图，
根据题意有：，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵新坡面的坡度，，
∴（米），
答：新坡面的长10米；
（2）此次改造符合规定，理由如下：
∵坡面的坡度为1:1，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴（米），
∵，
∴此次改造符合规定．
21. 2024年3月5日上午，国务院总理李强代表国务院在十四届全国人大二次会议上作政府工作报告，提到“深化全民阅读活动”，某校为了解全校学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数落在第______组；
（4）若该校共有1800名学生，试估计该校学生每周课外阅读时间不少于120min的学生人数．
解：（1）本次共随机调查了学生：（人），
，
故答案为：14；
（2）补全频数分布直方图：
（3）被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数落在第三组；
（4）（人），
答：估计该校学生每周课外阅读时间不少于120min的学生有675人．
22. 已知：如图，是的直径，是弦，是的切线，C为切点，于点 D．

（1）求证：；
（2）若的半径为3，，求．
（1）证明：连接，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
在中， ，
∴中，．
23. 长清某学校为备战体育中考，计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多元，已知用元购进的足球和用元购进的篮球数量相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）已知篮球进价为每个元，足球进价为每个元，若商场售出足球的数量比篮球数量的倍少个，且获利超过元，问篮球最少要卖多少个？
解：（1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
根据题意可得，，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：篮球的单价是元，足球的单价是元；
（2）设篮球要卖个，则足球要卖个，
根据题意可得，，
解得：，
∵为正整数，
∴的最小值为，
答：篮球最少要卖个．
24. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、线为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”，即．
（1）【尝试初探】：
点______ “美好点”（填“是”或“不是”）；
（2）【深入探究】：
若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，求的值；
（3）【拓展延伸】：
在（2）的条件下，在双曲线上，求的值．
解：（1）∵，
∴点不是“美好点”，
（2）①∵是“美好点”，
∴，
解得：，
∴，
将代入双曲线（，且为常数），得；
（3）∵，
∴双曲线的解析式是：．
∵在双曲线上，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，代入得：，解得：，
∴直线的解析式为：，
令直线与轴交于点，
当时，，
解得：，
∴，
画出图如图所示：
∴．
25. 如图，已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P是第一象限内抛物线上一动点，连接、、，设点P的横坐标为t．当t为何值时，是以点为直角顶点的直角三角形；
（3）如图2，过抛物线顶点作轴于，若是轴上一动点，是线段上一点，若，请求出实数的取值范围．
解：（1）抛物线，与轴交于点和点，
代入得：，解得：，
；
（2）可得，
当时，，
∴点，
∴，
，
当时，
∴，
∴，
解得：或（舍）
；
（3）由（1）知，，
，，，
过作于点，则，
如图2.1，当在左侧时，
，
∴，
∴，
∵
∴，
，
设，则，
，
即，
关于的方程有解，，
得且；
当与重合时，；
如图2.2，当在右侧时，中，，，
即，
作交轴于点，则，
，
，
即为点时，，
，
综上，的变化范围为：．
26. 如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明．
（1）如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；
（2）如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长；
（3）若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则值为______．
解：（1）依然成立，理由如下：
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转，
∴，
∴，
∴．
（2）∵
∴
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）如图，连接、，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点在直线上时，有最大值和最小值，
∴由图可得的最大值为，最小值为，
∴．蔺相如
宋士杰
周瑜
许仙
蔺相如
宋士杰和蔺相如
周瑜和蔺相如
许仙和蔺相如
宋士杰
蔺相如和宋士杰
周瑜和宋士杰
许仙和宋士杰
周瑜
蔺相如和周瑜
宋士杰和周瑜
许仙和周瑜
许仙
蔺相如和许仙
宋士杰和许仙
周瑜和许仙
组别
每周阅读时间t/min
频数
频率
第一组
4
0.1
第二组
7
0.175
第三组
a
0.35
第四组
9
0.225
第五组
6
0.15