江苏省常州市金坛区2024年中考二模数学试卷（解析版）

这是一份江苏省常州市金坛区2024年中考二模数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如果向东走10m记作，那么向西走记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为向东与向西是一对具有相反意义的量，
所以如果向东走10m记作，那么向西走记作，
故选：C．
2. 计算：（ ）
A. aB. C. D. 1
【答案】A
【解析】，故A正确．
故选：A．
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A. 圆柱B. 圆锥C. 长方体D. 三棱柱
【答案】D
【解析】根据主视图和左视图都是矩形，那么此几何体为柱体，由俯视图为三角形，可得此几何体为三棱柱，
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项错误，不符合题意；
D、，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
5. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设快马天可追上慢马，由题意得
故选：D．
6. 如图，直线被射线所截，，若°，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
故选：C．

7. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】在中，，
∴，即，
当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若时，为等腰三角形，
故选：B．
8. 如图，二次函数的图像过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若Ax1,y1、Bx2,y2（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，的结论是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】C
【解析】由题意知，，，
∴，
∴，①正确，故不符合要求；
由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，
∴当时，，②正确，故不符合要求；
∵，
∴，
将代入得，，③错误，故符合要求；
∵，
∴、关于对称轴对称，则，④正确，故不符合要求；
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）
9. 如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 __．
【答案】
【解析】由题意得：点B表示的数是．
10. 计算：（xy2）2=__．
【答案】x2y4
【解析】原式=（xy2）2=x2y2×2=x2y4．
11. 若，则________．
【答案】4
【解析】∵，
∴．
12. 因式分解：________．
【答案】
【解析】．
13. 如图，在中，D是斜边的中点，连接，若，，则________．
【答案】12
【解析】∵在中，D是斜边的中点，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：12．
14. 如图，在矩形中，，将线段绕点A逆时针方向旋转，使得点B落在边上的点E处，则的长是________．
【答案】
【解析】由旋转得
∵四边形是矩形
∴，，
∵
∴
∴
故答案为：．
15. 如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为__________．

【答案】
【解析】∵与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
16. 如图，E是边上一点，连接、交于点．若，则________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（，）的图像上，分别以点A、B为圆心，2为半径作圆，与y轴相切、与x轴相切，连接，若，则________．
【答案】12
【解析】依题意，A的横坐标为2，B的纵坐标为2，得，，
，
，
，
或12，
又，
．
故答案为：12．
18. 如图，矩形纸片，E是边上一点，连接、．是边上一个动点，连接，沿直线将翻折，点A落在内部的点G处．若，，，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】如图1，点G在线段上，设交于点H，
点G与点A关于直线对称，
垂直平分，
四边形是矩形，，，，
，，，
，
，
；
如图2，点G在线段上，作于点K，交于点T，作于点L，
，
四边形是矩形，
，，
，
由翻折得，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
当点G在的内部时，的取值范围是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 计算：．
解：原式．
20. 解方程和不等式组：
（1）；
（2）.
解：（1）方程两边同时乘以，得．
解这个方程，得．
经检验，是原方程解．
原方程的解是．
（2）解不等式①，得．
解不等式②，得．
不等式组的解集是．
21. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图

（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
解：（1）从小到大排序，
67，68，69，69，71，72， 74，
∴中位数是69，
众数是69，
平均数：，
69，69，70.
（2）（分）．
答：小涵的总评成绩为82分．
（3）结论：小涵能入选，小悦不一定能入选
理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
22. 为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（面点社团）D（街舞社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择1个社团，他选中D（街舞社团）概率是________；
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团D（街舞社团），他俩决定各自随机选择第2个社团，请用列表法或树状图求他俩在选第2个社团中选到相同社团的概率．
解：（1）∵一共有4个社团，每个社团被选择的概率相同，
∴小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择1个社团，他选中D（街舞社团）的概率是；
（2）列表如下：
由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中他俩在选第2个社团中选到相同社团的结果数有3种，
∴他俩在选第2个社团中选到相同社团的概率为．
23. 如图，在中，，为的角平分线，以点A为圆心，长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
（1）证明：根据以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
（2）解：，
，
．
，为的角平分线，
．
．
．
24. 如图，一次函数的图像与y轴负半轴交于点A，与反比例函数的图像交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接，当的面积为3时，求一次函数的表达式．
解：（1）将代入，
得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵的面积为3，
∴，
∴，
∴，
∴将，代入得，
，解得，
∴一次函数的表达式为．
25. 如图，学校为美化校园环境，打造绿色校园，决定用60米长的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形花园，并用一道篱笆把花园分为A、B两块长方形区域．
（1）设垂直于墙的篱笆长是，花园面积是，写出S关于x的函数表达式，并求S的最大值；
（2）在花园面积最大的条件下，A、B两块区域内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，若A区域面积不小于B区域面积的2倍，则至少要购买多少株牡丹？
解：（1）设垂直于墙的篱笆长是，则平行于墙的篱笆长为，
由题意得，
，
当时，S有最大值是300，
∴S关于x的函数表达式为，S的最大值为300；
（2）设A区域平行墙的篱笆长，则B区域平行墙的篱笆长，
由题意得，解得：，
y的最小值是20，则的最小值是400，
至少要购买400株牡丹；
26. 给出如下定义：点Px1,y1，点Qx2,y2是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为．
如图，已知平面直角坐标系中，点、、、．
（1）在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）．
（2）若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标．
（3）若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围．
解：（1）满足的为正数，
，，
，，
点、、、，
只能是与或与形成“斜关点”，
当与形成“斜关点”时，，，
故答案为：、，（答案不唯一）；
（2）设点Ex,y，
点，，点、是一对“斜关点”， 点、也是一对“斜关点”，且，
，，
，
解得：，，，
点坐标为或；
（3）如图即为，作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆，
两圆分别与直线和相切，
，
点在以为圆心，1为半径的圆上，
，
点需在直线的右侧（可以在直线上），
，
点需在的左侧，则满足题意得点的横坐标应在点和点之间（不与点重合），
，，
，
设，
，
，
，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
．
27. 如图，在中，，将线段绕点按顺时针方向旋转到，连接．点是边上一个动点，连接交于点．已知，．
（1）若，则________；
（2）若，，求的长；
（3）若，点是的中点，求的长．
解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
由旋转可得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由旋转可得，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得或（不合，舍去），
∴；
（3）如图，过点是作交于点，
则，，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
设，则，
由旋转可得，，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，∴，
∴，∵，
∴，
∴，
即得
∴，
∴．
28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴正半轴交于点，与轴交于点，，点是线段上一点（不与点重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，四边形是平行四边形．
（1）填空：________．
（2）求四边形的面积；
（3）若点是的中点，连接．点是抛物线上一点，是直线上一点，连接，若与相似，求点的坐标．
解：（1）∵，则，则点
将点的坐标代入抛物线表达式得：
解得：，
故答案为：；
（2）如图，过点作轴于．
，
．
，
直线的函数表达式是．
四边形是平行四边形，
且，
设点，则点．
．
．
．
．
．
（3）如图，过点作轴于，过点作于．
则．
，，
直线的函数表达式是，
直线与轴的交点，
，
．
，，
．
．
，
．
．
①当时，．
．
，，
．
②当时，．
，
．
，．
．
综上所述，点的坐标是或.选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
78
小涵
86
84
▲
▲
小宇
小江