2025年广东省高考数学模拟检测试卷（一模）含答案

这是一份2025年广东省高考数学模拟检测试卷（一模）含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|3x0，ab=1，且m=b+1a，n=a+1b，则m+n的最小值是 ( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.设a∈R，已知函数y=fx的定义域是−4,4且为奇函数且在0,4是减函数，且fa+1>f2a，则a的取值范围是( )
A. −4,1B. 1,4C. 1,2D. 1,+∞
5.如图所示，图象对应的函数解析式为( )
A. f(x)=|x|csx2x−2−xB. f(x)=|x|csx2x+2−xC. f(x)=|x|sinx2x+2−xD. f(x)=|x|sinx2x−2−x
6.掷两枚均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为8”为事件A，“小骰子出现的点数小于大骰子出现的点数”为事件B，则P(A|B)，P(B|A)分别为( )
A. 215,25B. 314,35C. 13,15D. 45,415
7.双曲线C1：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为直线l：y= 3x，若C1的一个焦点到直线l的距离为 3，且C1与抛物线C2：y2=2px(p>0)的准线相交于点H，点H的纵坐标为3，则p的值为( )
A. 2B. 4C. 8D. 16
8.已知等比数列{an}首项为1，公比q=2，前n项和为Sn，则下列结论正确的是( )
A. ∀n∈N∗，Sn0,x≠1=0,x=1，则下列说法正确的是( )．
A. f(x)在(0,+∞)上是增函数B. f(x)在(−∞,0)上是减函数
C. x=−1时，f(x)取得极小值D. f(0)+f(2)≥2f(1)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知θ为任意实数，直线l:xcsθ+y+m=0的倾斜角的范围是 ．
13.若f(x)=x3−92x2+6x−5满足条件f′(x)≥m恒成立，则m的最大值是______．
14.已知等边△ABC的边长为2 3，M、N分别为AB、AC的中点，将△AMN沿MN折起得到四棱锥A−MNCB.点P为四棱锥A−MNCB的外接球球面上任意一点，当四棱锥A−MNCB的体积最大时，P到平面MNCB距离的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=lg0.3[1+2x+a(4x+1)]．
(1)当a=−1时，求函数y=f(x)最小值；
(2)当x∈(−∞,1]时，函数有意义，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
如图，棱台ABCD−A′B′C′D′中，AA′=BB′=CC′=DD′= 5，底面ABCD是边长为4的正方形，底面A′B′C′D′是边长为2的正方形，连接AC′，BD，DC′．
(1)证明：AC′⊥BD；
(2)求二面角A−DC′−B的余弦值．
17.(本小题15分)
2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考--如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．
(Ⅰ)求得分在[70,80)上的频率；
(Ⅱ)求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(Ⅲ)以频率估计概率，若在全部参与学习的居民中随机抽取5人参加问卷调査，记得分在[40,60)间的人数为X，求X的分布列以及数学期望．
18.(本小题17分)
19.已知函数．
(Ⅰ)当时，求函数的极小值；
(Ⅱ)当时，讨论的单调性；
(Ⅲ)若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围．
19.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−2，(n=1,2,3,…)；数列{bn}中，b1=1，点p(bn,bn+1)在直线x−y+2=0上．
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(Ⅱ)设数列{bn+12}的前n项和为Sn，求1S1+1S2+…+1Sn；
(Ⅲ)设数列{cn}的前n项和为Tn，且cn=an⋅bn，求Tn．
答案和解析
1.【正确答案】A
解：集合B={x|x2−1+2x4x+1在(−∞,1]上恒成立．然后设g(x)=−1+2x4x+1，利用基本不等式与函数的单调性，求出g(x)在(−∞,1]上的值域，进而求出使不等式a>−1+2x4x+1在(−∞,1]上恒成立的a的取值范围，可得答案．
本题主要考查二次函数与对数函数的图象与性质、复合函数的单调性法则、利用基本不等式求函数的最值等知识，属于中档题．
16.【正确答案】解：(1)证明：由题意，该棱台是正四棱台．连接AC交BD于O，以OA，OB所在直线为x，y轴，
经过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，交上底面A′B′C′D′于O′，连接C′O′，建立空间直角坐标系如图．

根据正四棱台的性质，过C′作底面ABCD的垂线，则垂足H在AC上．
根据题干数据，A(2 2,0,0)，B(0,2 2,0)，D(0,−2 2,0)，C′O′为上底面正方形对角线长的一半，
显然 2=C′O′=HO，故CH=OC−OH=2 2− 2= 2，C′C= 5，
则C′H= 3，故C′(− 2,0, 3)，
于是AC′=(−3 2,0, 3)，BD=(0,−4 2,0)，
则AC′−⋅BD=0，于是AC′⊥BD；
(2)A(2 2,0.0).B(0,2 2,0)．D(0,−2 2,0)，C′(− 2,0, 3)，
于是DC′=(− 2,2 2, 3)，DA=(2 2,2 2,0)，
设平面DAC′的法向量为n=(x,y,z)，根据n⋅DA=2 2(x+y)=0n⋅DC′=− 2x+2 2y+ 3z=0，令x= 3，则y=− 3，z=3 2，
∴平面DAC′的法向量为n=( 3,− 3,3 2)，
由DC′=(− 2,2 2, 3)，DB=(0,4 2,0)，
设平面DBC′的法向量为m=(a,b,c)，
根据m⋅DA=4 2b=0m⋅DC′=− 2a+2 2b+ 3c=0，令a= 3，
∴平面DBC′的法向量为m=( 3,0, 2)，
于是cs=m⋅n|m|⋅|n|=3+6 24⋅ 5=3 3020，
结合图形可知，二面角的平面角是锐角，则该二面角的余弦值是3 3020．
根据棱台数据可知其是正棱台，建立空间直角坐标系后，(1)利用空间向量的数量积证明垂直关系，(2)根据平面的法向量求二面角．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属中档题．
17.【正确答案】解：(Ⅰ)由频率分布直方图得：
得分在[70,80)上的频率为：1−0.1−0.15−0.2−0.15−0.1=0.3；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，各组的中间值及对应的频率如下表：
∴A社区居民问卷调査的平均得分的估计值为：
x−=45×0.1+55×0.15+65×0.2
+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5；
(Ⅲ)依题意，X的可能取值为0，1，2，3，4，5，
有X～B(5,14)，
P(X=0)=(34)5=2431024，
P(X=1)=C51×(34)4×(14)=4051024，
P(X=2)=C52×(34)3×(14)2=135512，
P(X=3)=C53×(34)2×(14)3=45512，
P(X=4)=C54×(34)×(14)4=151024，
P(X=5)=(14)5=11024，
∴X的分布列为：
E(X)=5×14=54．
本题考查频率分布直方图，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
(Ⅰ)由频率分布直方图能求出得分在[70,80)上的频率；
(Ⅱ)根据题意，进行求解即可；
(Ⅲ)依题意，X～B(5,14)，由此能求出X的分布列和E(X)．
18.【正确答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)
【分析】
(Ⅰ)由题意，当时，求得，得出函数的单调性，进而求解函数的极值；
(Ⅱ)由，由，得或，分类讨论，即可得到函数的单调区间；
(Ⅲ)由(1)和(2)，分当和，分类讨论，分别求得函数的单调性和极值，即可得出相应的结论，进而得到结论．
详解】解：(Ⅰ)当时：，令解得，
又因为当，，函数为减函数；
当，，函数为增函数．
所以，的极小值为．
(Ⅱ).当时，由，得或．
(ⅰ)若，则.故在上单调递增；
(ⅱ)若，则.故当时，；
当时，．
所以在，单调递增，在单调递减．
(ⅲ)若，则.故当时，；
当时，．
所以在，单调递增，在单调递减．
(Ⅲ)(1)当时，，令，得．
因为当时，，当时，，
所以此时在区间上有且只有一个零点．
(2)当时：
(ⅰ)当时，由(Ⅱ)可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点．
(ⅱ)当时，由(Ⅱ)的单调性结合，又，
只需讨论的符号：
当时，，在区间上有且只有一个零点；
当时，，函数在区间上无零点．
(ⅲ)当时，由(Ⅱ)的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点．
综上所述，．
本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．
19.【正确答案】解：(Ⅰ)∵Sn=2an−2，
∴当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(2an−2)−(2an−1−2)，…(1分)
即an=2an−1，
∴数列{an}是等比数列．
∵a1=S1=2a1−2，∴a1=2
∴an=2n. …(3分)
∵点P(bn,bn+1)在直线x−y+2=0上，
∴bn+1−bn=2，
即数列{bn}是等差数列，
又b1=1，∴bn=2n−1.…(5分)
(Ⅱ)由题意可得bn+12=n，∴Sn=n(n+1)2，…(6分)
∴1Sn=2(1n−1n+1)，…(7分)
∴1S1+1S2+…+1Sn=2[(1−12)+(12−13)+…+(1n−1n+1)]=2nn+1.…(9分)
(Ⅲ)∵cn=an⋅bn=(2n−1)⋅2n…(10分)
∵Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n−3)2n−1+(2n−1)2n2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n−3)2n+(2n−1)2n+1…(11分)
两式相减得：−Tn=2+2×(22+23+24+…+2n)−(2n−1)2n+1
=−6−(2n−3)2n+1…(13分)
∴Tn=6+(2n−3)2n+1…(14分)
(I)利用当n≥2时，an=Sn−Sn−1，可得数列{an}是等比数列；利用点P(bn,bn+1)在直线x−y+2=0上，可得数列{bn}是等差数列，由此可求数列{an}和 {bn}的通项公式；
(Ⅱ)确定数列{bn+12}的通项，利用裂项法，可求1S1+1S2+…+1Sn；
(Ⅲ)利用错位相减法，可求Tn．
本题考查数列的通项与求和，考查裂项法、错位相减法的运用，属于中档题． 中间值
45
55
65
75
85
95
频率
0.1
0.15
0.2
0.3
0.15
0.1
X
0
1
2
3
4
5
P
2431024
4051024
135512
45512
151024
11024