江西省南昌市南昌外国语学校教育集团2024-2025学年八年级下学期期中联考 数学试卷（含解析）

这是一份江西省南昌市南昌外国语学校教育集团2024-2025学年八年级下学期期中联考 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各式，计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．B．∠A＝∠B+∠C
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a＝6，b＝8，c＝10
3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（ ）

A．B．C．0D．
4．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
5．如图，矩形ABCD的边BC和AB的长分别为4和5，把它的左上角如图所示折叠．点A恰好落在CD边上的点F处，折痕为BE，则DE的长为( )
A．B．C．D．
6．如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，直线分别交于点．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、填空题（本大题共6小题）
7．如图，的周长为16cm，相交于点O，交于E，则的周长为 cm．
8．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数．
9．如图，正方形中，点A在轴上，点D在轴正半轴上，点B和点C都在第一象限，已知点A的坐标为，正方形的面积为25，则点C的坐标为 ．
10．如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE的中点，，则的长为 ．

11．如图，在矩形中，，，动点P满足，则周长的最小值为 ．

12．如图，，点P在上，且，M是上的点，在上找点N，以为边，P，M，N为顶点作正方形，则的长为 ．
三、解答题（本大题共11小题）
13．计算：
(1)；
(2)．
14．先化简，再求值：，其中，．
15．如图，一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放甲、乙两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积．
16．已知：如图，在中，点、在上，且．
求证：四边形是平行四边形．
17．如图，在两个等腰直角和中，，点是的中点．请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）．

(1)如图①，在线段上找出一点，使四边形为平行四边形；
(2)如图②，在线段上找出一点，使四边形为平行四边形．
18．如图，已知等腰中，，，D是边上一点，且．

(1)求的长；
(2)求中边上的高．
19．如图，四边形为矩形，四边形为菱形．
(1)求证：；
(2)试探究：当矩形的边长_______时，菱形为正方形，请说明理由．
20．如图，在中，点，，分别是边，，的中点，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求出矩形的周长．
21．【阅读材料】
我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当时，
当且仅当即时，取得最小值，最小值为2．
【模仿探究】
请利用以上结果解决下面的问题：
（1）当时，求的最小值，并求出此时的值；
【应用意识】
（2）如图，某学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为，斜边需要用栅栏围上，请利用以上知识求栅栏的最小值和此时的长．
22．如图，矩形中，，．一动点P从B点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒．过点P作于点E，连接，．
(1)求证：；
(2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
(3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
23．【问题情境】已知在四边形中，为边上一点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，点的对应点为点．
【问题初探】（1）如图（1），若四边形是正方形，点落在对角线上，连接并延长交于点，直接写出的度数：___________和的度数：___________．
【拓展变式】（2）如图（2），若四边形是矩形，点恰好落在的垂直平分线上，与交于点．求证：是等边三角形；
【问题解决】（3）如图（3），若四边形是平行四边形，，点落在线段上，为的中点，连接，求的面积．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据二次根式运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A. 被开方数不同，不能合并，不符合题意；
B. ，原选项不正确，不符合题意；
C. ，原选项不正确，不符合题意；
D. ，原选项正确，符合题意；
故选D．
2．【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A.∵，
∴，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C，
∴∠A=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，
∴∠C=5×15°=75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选C．
3．【答案】A
【分析】根据数轴判断a、b、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：由数轴可知：，
∴，
∴
，
故选A．
4．【答案】C
【分析】根据勾股定理的几何意义：，解得即可．
【详解】解：由题意：，，
∴
∵正方形的面积依次为，
∴，
∴．
故选C．
5．【答案】A
【分析】根据折叠的性质可得BF=AB，EF=AE，在Rt△BFC中根据勾股定理求出CF，从而求出DF，在Rt△DEF中根据勾股定理即可求得EF=AE，从而求得DE．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=5，AD=BC=4．
∵把它的左上角如图所示折叠．点A恰好落在CD边上的点F处，折痕为BE，
∴AE=EF，BF=AB=5，
∴CF3，
∴DF=5﹣3=2．
∵DE2+DF2=EF2，
∴(4﹣EF)2+22=EF2，
∴EF，
∴DE=AD﹣AE=AD﹣EF．
故选A．
6．【答案】B
【分析】结合作图方法可知是的中垂线，结合矩形的性质易证四边形是菱形，，利用等积法可知③错误；利用含角的直角三角形的性质易证④错误．
【详解】解：设交于点，
由作图知，垂直平分，
，
在矩形中，，
，
，
，
四边形是菱形，故①正确；
四边形是菱形，
∴，
，
，故②正确
，
，故③错误
平分
，故④错误．
综上分析可知：正确的有2个．
故选B．
7．【答案】8
【分析】根据平行四边形的性质，求出，垂直平分，得到，进而得到的周长等于，即可．
【详解】解：∵的周长为16cm，相交于点O，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长
8．【答案】
【分析】利用完全平方公式进行化简即可．
【详解】解：
∴是型无理数．
9．【答案】
【分析】先求出正方形的边长，构造出全等三角形，判断出，即可得出点坐标，即可得出结论；
【详解】解：∵正方形的面积为25，
，
，
，
根据勾股定理得，，
，
如图，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
∴
10．【答案】
【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出，进而求出，然后在中利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求解．
【详解】解：在矩形中，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵点F是AE的中点，
∴．
11．【答案】
【分析】首先根据，得出动点P在与平行且与的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点，连接，，则就是周长的最小值，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：

解：设中边上的高是h．
∵，
∴，
∴，
∴动点P在与平行且与的距离是2的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点，连接，则就是周长的最小值，
在中，，，
∴，
即，
即周长的最小值为．
12．【答案】或或
【分析】分三种情况，一是正方形以为对角线，则，所以，此时点M在点P的左侧或右侧，的长相同；二是正方形以为对角线，且点M在点P的左侧，则，所以，则；三是正方形以为对角线，且点M在点P的右侧，则，所以
【详解】解：如图，正方形以为对角线，且点M在点P的左侧，

，，，
∴，
根据勾股定理可得：，即，
解得∶，
∴，
∵，
；
当正方形以为对角线，且点M在点P的右侧时，；
如图2，正方形以为对角线，且点M在点P的左侧，
，，
∴，
根据勾股定理可得：，即，
整理得：，
，
，
解得；
如图3，正方形以为对角线，且点M在点P的右侧，
，，
，
解得，
综上所述，的长为或或
13．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简二次根式，再计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案；
（2）先根据完全平方公式去括号和计算二次根式除法，再计算加减法即可得到答案．
【详解】（1）解；原式
；
（2）解：原式
．
14．【答案】
【分析】先根据分式基本性质将括号里的分式进行的通分,再进行减法计算,然后再将分式进行除法计算,然后将x的值代入化简式子计算即可.
【详解】详解:,

把
代入上式,得原式=.
15．【答案】四边形的面积为18．
【分析】由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，然后由三角形面积公式即可解决问题．
【详解】解：由题意得：，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
是直角三角形，且，
．
答：四边形的面积为18．
16．【答案】见详解
【分析】由平行四边形可知，，又，所以，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
即．
∴四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
17．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长交于，连接，可得为等腰直角三角形，进而可得，由题易得，故四边形为平行四边形；
（2）可利平行四边形的对角线互相平分，得到的中点，而是的中点故得中位线，平行于，交于即可解答．
【详解】（1）解：延长交于，连接，四边形为平行四边形，即所求作四边形；

（2）解：如图2所示，四边形即为所求．
解法一：在（1）的基础上连接、交于一点得平行四边形中心，连接和平行四边形中心并延长交于H点，四边形即为所求．
解法二：在（1）的基础上连接、交于一点得三角形的重心，连接和三角形的重心并延长交于H点，四边形即为所求．

18．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求出，求出，再根据勾股定理求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）∵，且，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
（2），
过A作于E，则是的高，

∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即中边上的高是．
19．【答案】(1)见解析
(2)2，证明见解析
【分析】（1）根据矩形的性质可得，，根据菱形的四条边都相等可得，然后利用“”证明即可；
（2）时，菱形为正方形．根据全等三角形对应边相等可得，然后求出，从而求出，同理可得，然后求出，最后根据有一个角是的菱形是正方形即可证得结论．
【详解】（1）证明：四边形为矩形，
，，
四边形为菱形，
，
在和中，
，
∴；
（2）解：当时，菱形为正方形．
理由：∵，
，，
又，
，
，
同理可得，，
，
，
菱形是正方形．
20．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接．根据三角形的中位线的性质即可得到结论；
（2）根据矩形的性质得到，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接．
，分别是边，的中点，
∴，，
点是边的中点，
．
．
四边形为平行四边形；
由点，分别是边，的中点，
．
，
，
四边形为矩形；
（2）解：四边形为矩形，
，
，
，，
，
，
，，，
，
矩形的周长．
21．【答案】（1）时，取得最小值为；（2）的最小值是，此时
【分析】（1）仿照材料中的例子，进行求解即可；
（2）利用三角形面积公式设出两条直角边，勾股定理求得斜边，求解即可．
【详解】解：（1）当时，，
当且仅当即时，取得最小值，最小值为．
（2）设，则，则，
，
当且仅当，即时，取得最小值，最小值为40．
即当时，的最小值是．
22．【答案】(1)见解析
(2)能，
(3)当或，见解析
【分析】（1）由垂直得，在中，，由，可得，即可证明结果；
（2）先证明四边形是平行四边形，，，当时，四边形为菱形，即可求解；
（3）分类讨论：①当，②当，③当即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：能，理由如下：∵四边形为矩形，，，
∴，
由（1）知，，
∴四边形为平行四边形，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
若使平行四边形为菱形，则需，即，
∴，
即当时，四边形为菱形；
（3）解：①当时，四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，即；
②当时，，
在中，，
∴，
∵，
∴，即．
③当时，此种情况不存在，
综上所述，当或时，为直角三角形．
23．【答案】（1），；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据正方形的性质，得到，由折叠的性质可知，，，进而推出，即可求出的度数；再根据等边对等角和三角形外角的性质，即可求出的度数；
（2）根据垂直平分线的性质和折叠的性质，得到，取的中点，连接，证明是等边三角形，得出，进而推出，即可证明结论；
（3）连接，延长、交于点G，先证明为等边三角形，再解直角三角形，得到，，根据平行四边形的性质证明，从而得出，即可求出的面积．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
故答案为：，；
（2）证明：垂直平分线段，
，，，
由折叠的性质可知，，，
，
如图，取的中点，连接，
，
，
是等边三角形，
，
，
即，
，，
，
，
为等边三角形；
（3）解：如图，连接，延长、交于点G，
，
，
由折叠的性质得，
，
为等边三角形，
为的中点，
，
在中，，
，，
四边形是平行四边形，，
∴，，，
，，
，
，，
，，
．