河南省南阳市六校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份河南省南阳市六校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试卷（原卷版+解析版），共23页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 若角满足，则角为（ ）
A 第一或第四象限角B. 第二或第三象限角
C. 第三或第四象限角D. 第一或第三象限角
3. 中，已知，则C＝（ ）
A. 60°B. 30°C. 30°或150°D. 60°或120°
4. 已知向量，不共线，，且与共线，则m＝（ ）
A. 2B. －2C. 1D. －1
5. 已知平面向量满足，，若向量与的夹角为，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
6. 若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
7. 如图，在中，，且BF与CE交于点M，设，则（ ）
A. B. C. D. －1
8. 已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（ ）
A. B. 0C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若非零向量满足，，则
B.
C. 若为单位向量，则
D. 向量可以作为平面内的一个基底
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象，则为奇函数
11. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 是周期函数
C. 对任意的恒成立D. 在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为______．
13. 南水北调中线工程源头位于丹江口水库，重点解决河南，河北，北京，天津的水资源短缺问题．如图所示，B，E，F为山的两侧处于同一水平线上的三点，在山顶A处测得点B，E，F的俯角分别为60°，75°，45°，计划沿直线BF开通引水隧洞，现已测得，则隧洞BE的长度为 ______．
参考数据：．
14. 已知在平行四边形ABCD中，，过点B作于点E，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，，且点的坐标为．单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是的面积的倍．
（1）求的值；
（2）求值．
16. 已知向量，，且在方向上的投影数量为．
（1）求；
（2）若与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
17. 已知函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合．
（1）若，求的值域；
（2）求函数的值域．
18. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|0可得cs2θ>0，求得的范围，继而分类讨论得到所在象限.
【详解】因，由tan2θ=sin2θcs2θ>0可得cs2θ>0,
则为第一象限角，即,
也即.
当时，,即为第一象限角；
当时，，即为第三象限角.
综上，角为第一或第三象限角.
故选：D
3. 在中，已知，则C＝（ ）
A. 60°B. 30°C. 30°或150°D. 60°或120°
【答案】D
【解析】
分析】利用正弦定理求出，再求出对应角.
【详解】由正弦定理可得，即，解得，
则或.
故选：D
4. 已知向量，不共线，，且与共线，则m＝（ ）
A. 2B. －2C. 1D. －1
【答案】B
【解析】
【分析】应用向量共线定理表达条件，结合数乘运算法则及向量相等条件列方程组求解即可.
【详解】因为与，则存在唯一的实数t，满足，
即，
整理可得，
已知向量，不共线，等式成立等价于，
解方程组，可得.
故选：B.
5. 已知平面向量满足，，若向量与的夹角为，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出，再由夹角公式求出，最后根据数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，
又，所以，
所以，即，
所以，解得（负值已舍去）.
故选：A
6. 若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出，从而表示出的解析式，再根据其奇偶性求出.
【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，
所以的最小正周期，又，所以，
所以，则，又为奇函数且，
所以，所以，
所以的最小值为.
故选：A
7. 如图，在中，，且BF与CE交于点M，设，则（ ）
A. B. C. D. －1
【答案】C
【解析】
【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可.
【详解】因为三点共线，且，所以，
又因为三点共线，且，所以，
可得，解得，所以.
故选：C
8. 已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得，从而转化为求的最小值，当时取得最小值，利用等面积法求出，即可得解,
【详解】因为，即为的中点，又，所以为的中点，
又正三角形的边长为，所以，
依题意，，
所以，
所以当时取得最小值，
如图，此时点在的位置，连接，则，
又，，所以，
所以，
所以.
故选：D

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若非零向量满足，，则
B.
C. 若为单位向量，则
D. 向量可以作为平面内的一个基底
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平面向量共线定理判断A、D，根据平面向量线性运算法则判断B，根据数量积的运算律判断C.
【详解】对于A：因为为非零向量，，所以存在非零实数，使得，
又，所以存实数使得，
所以，所以，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：因为为单位向量，所以，
所以，
，
所以，故C正确；
对于D：因为，所以，即，
所以向量不可以作为平面内的一个基底，故D错误.
故选：AC
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象，则为奇函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】由图象过点代入计算可判断A选项，由图象过点代入可得的范围，结合两点以及的横坐标的长度判断周期，可确定的值，从而判断B，由AB可求出解析式，结合诱导公式可判断C，根据图象的平移求出解析式，可判断D.
【详解】解：由图象可知，函数过，代入则有，所以，又，所以，故A正确；
又图象过点，所以，所以，可得，，因为，所以，即，故B正确；
由AB可知：，故C正确；
将的图象向左平移个单位长度可以得到，为偶函数，故D不正确；
故选：ABC
11. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 是周期函数
C. 对任意的恒成立D. 在上单调递减
【答案】BCD
【解析】
【分析】计算可判断A选项，代入可判断B选项，由三角函数的有界性可判断C选项，根据同增异减的原则可判断D选项.
【详解】解：，故A不正确；
，所以是周期函数，故B正确；
由三角函数的有界性可知：，，所以，故C正确；
时，单调递增，且，又在上单调递减，
所以由同增异减的原则可知在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确；
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面的两条弧长分别为，的长度为，则扇环的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】设所在扇形的半径为，圆心角为，根据弧长公式求出，再由扇形的面积公式计算可得.
【详解】设所在扇形的半径为，圆心角为，则，解得，
所以扇环的面积为.
故答案为：
13. 南水北调中线工程源头位于丹江口水库，重点解决河南，河北，北京，天津的水资源短缺问题．如图所示，B，E，F为山的两侧处于同一水平线上的三点，在山顶A处测得点B，E，F的俯角分别为60°，75°，45°，计划沿直线BF开通引水隧洞，现已测得，则隧洞BE的长度为 ______．
参考数据：．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理解，求出，再解求出即可.
【详解】在中，由图可知，，
由正弦定理可得：，又因为，解得，
在中，由图有，，
则由正弦定理可得：，
解得
故答案为：
14. 已知在平行四边形ABCD中，，过点B作于点E，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】先设，，再用表示，利用模长求出，，
再结合得出的范围，然后利用公式即可求出其范围.
【详解】设，，则，，
因，则，
，
得，，
因，且不共线，则，则a⋅b>54，
联立a⋅b>54与，得a2⋅b2=132-b2b2>2516，
解得，得， 则，
因，则，
故的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，，且点的坐标为．单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是的面积的倍．
（1）求的值；
（2）求值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出点的坐标，再根据三角函数的定义得解；
（2）依题意可得，即可求出，再由平方关系求出，最后由诱导公式化简，代入计算可得.
【小问1详解】
因为在单位圆上，且位于第一象限，
所以且，解得，所以，
所以，；
【小问2详解】
因为的面积是的面积的倍，
所以，
又，所以，即，又，
解得或（舍去）；
所以.
16. 已知向量，，且在方向上的投影数量为．
（1）求；
（2）若与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出，，再由在方向上的投影数量为计算可得；
（2）首先求出与的坐标，依题意且与不共线，即可求出参数的取值范围.
【小问1详解】
因为，，所以，，
又在方向上的投影数量为，
所以，解得；
【小问2详解】
由（1）可知，
所以，，
因为与的夹角是锐角，
所以且与不共线；
当时，即，解得；
当与共线时，，解得；
综上可得实数的取值范围为.
17. 已知函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合．
（1）若，求的值域；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据周期性求出的值，即可得到解析式，根据周期性转化为求出的值域即可；
（2）由，结合的值域及二次函数的性质计算可得.
【小问1详解】
因为函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合，
所以，所以，又，所以，
所以，且其最小正周期，
所以在上的值域与的值域相同，
由，则，所以，
所以当时的值域为.
【小问2详解】
因为，
又，所以，
所以，即函数的值域为.
18. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的单调性；
（3）若函数在区间上恰有2个零点，求b的取值范围．
【答案】（1）
（2）的单调递增区间为，的单调递减区间为.
（3）
【解析】
【分析】（1）由最值确定的取值，由两个最值点的距离确定周期，求出，代入特殊点可求出，从而求出解析式；
（2）代入，求出整体的范围，依据正弦函数单调区间求出的具体范围，确定单调性；
（3）化简函数，求出函数的第二零点和第三零点，可确定的范围.
【小问1详解】
由图象可知，解得：，
又由于，所以，
由图象及五点法作图可知：，所以，
因为，所以，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
因为，所以，
当时，即时，单调递增，
当时，即时，单调递减，
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.
【小问3详解】
，函数在区间上恰有2个零点，
等价于在区间上恰有2个零点.
时，，令，则图象的第二个零点为，即，
第三个零点为，即，
所以.
19. 在中，已知角A，B，C对边分别为a，b，c，D为边上一点．
（1）若，，求；
（2）若，平分，，求的取值范围；
（3）若于点，且，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理将角化边，即可得到，结合得到、，最后由余弦定理计算可得；
（2）由等面积法得到，再由余弦定理得到，再由基本不等式求出的范围，最后利用换元法及函数的性质计算可得；
（3）设，则，由余弦定理得到，再由面积公式得到，从而得到，在中过点作的垂线且使，由三角形三边关系及勾股定理求出的范围，即可得解.
【小问1详解】
因为，
由余弦定理可得，整理得，
又，所以，则，
所以，所以，
由余弦定理，
又，所以；
【小问2详解】
因为，即，
所以，
由余弦定理，
所以，
所以，
因为，且，所以，当且仅当时取等号，则
所以，令，则，，
所以，
因为在上单调递增，
当时，当时，
所以，即的取值范围为.
【小问3详解】
设，由，所以，
又，
即，
又，所以，
所以，
如图在中过点作的垂线且使，则，
因为，所以，
即，所以，
所以的最大值为.