河南省洛阳市创新发展联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河南省洛阳市创新发展联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 设为坐标原点，为抛物线， 已知经过点且倾斜角为直线与圆， 直线与椭圆等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
2 已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 设数列满足，，则（ ）
A. 3B. 9C. D.
4. 已知火箭发射秒后，其高度（单位：米）为，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为（ ）
A. B.
C. D.
5. 设为坐标原点，为抛物线：的焦点，点在抛物线上.若，则（ ）
A. B. 9C. 3D.
6. 已知经过点且倾斜角为直线与圆：相离，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 直线与椭圆：交于，两点，直线与椭圆交于，两点，点，在轴上方.将四边形绕轴旋转，得到几何体，则几何体体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的极大值点为1，极大值为5，则（ ）
A.
B. 有3个零点
C.
D. 在上单调递增
10. 在数列中，，，，是数列的前项和，则（ ）
A. 数列是等比数列B. 数列是等差数列
C. D.
11. 已知正方体的棱长为2，且，，，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，平面
C. 当时，面积的最小值为
D. 当时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在点处的切线方程是______.
13. 已知椭圆：的左、右焦点分别是，，过点的直线与椭圆交于，两点.若，且，则椭圆的离心率为______.
14. 如图，在中，，，.点满足，以为直角边向的外部作，其中.点满足，以为直角边向的外部作，其中.依此方法一直继续下去，设的面积为，的面积为，的面积为，…，的面积为.设数列的前项和为，则______；若对任意，恒成立，则的取值范围为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，，成等比数列，求的值；
（3）设，求数列前项和.
16. 如图，在空间几何体中，平面，，，，，，分别为，的中点.

（1）证明：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17. 已知为双曲线：的左顶点，为双曲线的右焦点，.斜率不为零的直线过点，且与双曲线交于，两点.设直线的斜率为，直线的斜率为.
（1）求双曲线的标准方程.
（2）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
18. 设数列满足.
（1）求的通项公式.
（2）（i）求的前项和；
（ii）证明：.
19. 若连续函数的极值点是函数的零点，为函数的导函数，且存在实数满足，则称是的强化原生函数，记的最大值为，则为的强化原生系数．已知函数．
（1）设函数，证明有唯一极值点，并求出满足的整数的值．
（2）设函数，函数．已知是的强化原生函数．
（i）证明：．
（ii）求强化原生系数的最小值．
2024-2025学年高二下学期第一次月考
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二面角的向量求解公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设平面与平面的夹角为，则.
故选：D
2. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复合函数的求导法则即可得到答案.
【详解】因为，则.
故选：B.
3. 设数列满足，，则（ ）
A. 3B. 9C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由数列的递推公式计算可得.
【详解】根据题意，数列满足，，
则，，
，则.
故选：C.
4. 已知火箭发射秒后，其高度（单位：米）为，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导得，计算即可.
【详解】，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为.
故选：B.
5. 设为坐标原点，为抛物线：焦点，点在抛物线上.若，则（ ）
A. B. 9C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，先由抛物线定义和解出，得到点坐标，再由两点间距离公式求出即可.
【详解】因为抛物线：，所以焦点，准线方程为.
设，因为，所以由抛物线定义可知，解得，
因为点在抛物线上，所以，所以，
所以.
故选：D
6. 已知经过点且倾斜角为的直线与圆：相离，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先写出直线的方程，再应用点到直线距离与半径比较即可列式即可求解.
【详解】经过点且倾斜角为的直线，则直线的方程为.
因为圆心为半径为，所以由题意得
解得.
故选：C.
7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数在上递增，得到在上恒成立，由此得到不等式，再反解得到，，构造函数，，利用导函数求出的单调性，求出函数的最小值即可求解.
【详解】由，得，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即，，整理得：，，
令，，则，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极小值，且为最小值，
所以.
故选：B
8. 直线与椭圆：交于，两点，直线与椭圆交于，两点，点，在轴上方.将四边形绕轴旋转，得到几何体，则几何体的体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设点，则，，根据已知分析知几何体为圆柱，底面圆半径，高为，进而有，利用导数求体积最大值.
详解】设点，则，，则，
由椭圆的对称性可得四边形为矩形，几何体为圆柱.
圆柱的底面圆半径，高为，
则圆柱的体积，
则.
当时，；当时，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，圆柱的体积最大.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的极大值点为1，极大值为5，则（ ）
A.
B. 有3个零点
C.
D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】由极值点求得，再应用导数研究单调性结合极大值求得，即可判断A、D；根据导数的定义判断C；应用零点存在性定理判断B.
【详解】由题意得，则，解得，
则.
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
故的极大值为，解得，则，A正确，D正确.
，C正确.
因为，，，
所以有且只有1个零点，B错误.
故选：ACD
10. 在数列中，，，，是数列的前项和，则（ ）
A. 数列是等比数列B. 数列是等差数列
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知递推式得，结合等比、等差数列的定义判断A、B；应用分组求和及等差、等比数列前n项和公式求和判断C、D.
【详解】由，得，
则数列是首项为，公比为2的等比数列，A正确.
根据等比数列的通项公式得，即，则，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，B正确.
根据等差数列的通项公式得，即，
所以，C错误.
由，
，D正确.
故选：ABD
11. 已知正方体的棱长为2，且，，，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，平面
C. 当时，面积的最小值为
D. 当时，的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】
如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.
，，，，，，，
当时，，
所以，A正确
，，当时，.
因为平面，平面，所以平面，B正确.
由，
当时，，，，
当时，的面积取得最小值，最小值为，C错误.
当时，，，，
可看作是平面内点到点，的距离之和，
点关于轴的对称点为，
则，
所以的最小值为，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在点处的切线方程是______.
【答案】（也可写成）
【解析】
【分析】求出导函数，得出切线斜率，然后写出切线方程．
【详解】由，得曲线在点处的切线斜率为3，
则所求切线方程为，即.
故答案为：.
13. 已知椭圆：的左、右焦点分别是，，过点的直线与椭圆交于，两点.若，且，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】先设，再结合椭圆定义及垂直关系得出即可求出离心率.
【详解】设，则，，，
所以.
在中，，所以，
解得，所以，，
所以，
所以离心率.
故答案为：.
14. 如图，在中，，，.点满足，以为直角边向的外部作，其中.点满足，以为直角边向的外部作，其中.依此方法一直继续下去，设的面积为，的面积为，的面积为，…，的面积为.设数列的前项和为，则______；若对任意，恒成立，则的取值范围为______.

【答案】 ①. ； ②.
【解析】
【分析】设，设，由题意先求出，然后求得，再由等比数列的求和公式求解出，然后求解不等式即可.
【详解】设，则，，，…，
.
设，则，，…，
，
则，，，…，
.
当时，；
当时，，
所以，解得或.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，，成等比数列，求的值；
（3）设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件，求出公差，进而求出通项公式；
（2）根据等比中项的概念列式运算求解；
（3）利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
设数列的公差为，由题意得，
所以的通项公式为.
【小问2详解】
依题意得，则，得.
【小问3详解】
由，得，
则.
16. 如图，在空间几何体中，平面，，，，，，分别为，的中点.

（1）证明：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知得，再由线面平行的判定证明结论；
（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值.
【小问1详解】
由平面，平面，则，
又，，易得四边形是矩形.
连接，则为的中点，为的中点，
所以为的中位线，即.
因为平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
连接，因为为的中点，，所以.
因为，，所以四边形为矩形，则，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.
设，由题意得，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，则，取.
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知为双曲线：的左顶点，为双曲线的右焦点，.斜率不为零的直线过点，且与双曲线交于，两点.设直线的斜率为，直线的斜率为.
（1）求双曲线的标准方程.
（2）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）是，定值为.
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，即可证明.
【小问1详解】
根据题意可得，
解得，
故双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
是定值.
证明如下：
设，.因为直线过点，所以直线的斜率存在.
设直线：，
由得，
由题意得且，得，，
，.
因为为双曲线的左顶点，所以，，，
所以
，
故是定值，该定值为.
18. 设数列满足.
（1）求的通项公式.
（2）（i）求的前项和；
（ii）证明：.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）应用计算求解通项公式；
（2）（i）应用错位相减计算求和；（ii）构造函数应用导函数正负得出函数的单调性进而得出不等式再结合不等式性质计算求解.
【小问1详解】
当时，，得.
当时，由，
得，
两式相减，得，
得，
当时，满足，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
（i）由题意得，
则，
所以
所以.
（ii）证明：由（i）可得，
则，
要证，即证.
设函数，，
则，
所以上单调递增，则，
即当时，，
令，则，即，
故.
19. 若连续函数的极值点是函数的零点，为函数的导函数，且存在实数满足，则称是的强化原生函数，记的最大值为，则为的强化原生系数．已知函数．
（1）设函数，证明有唯一极值点，并求出满足的整数的值．
（2）设函数，函数．已知是的强化原生函数．
（i）证明：．
（ii）求的强化原生系数的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用零点存在性定理得有唯一零点，验证单调性可知也为极值点，根据范围求即得；
（2）（i）利用强化原生函数定义，由的极值点是的零点，代入韦达定理化简得，再构造函数，由单调性可证明；（ii）由不等式代入韦达定理可得，再结合函数单调性可求最值.
【小问1详解】
证明：依题意得，
则，
设函数，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
因为，
所以存在唯一零点，使得.
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以有唯一极值点，且，
故满足的整数的值为.
【小问2详解】
（i）证明：依题意得，
令，得，又，
则，易得有两个极值点.
设的极值点是，则（），
所以.
因为是函数的零点，
所以是关于的方程的两个解，
即，
两式相加得，，
即，，
代入（）式整理得，
因为函数在单调递减，
所以，
故.
（ii）设，则.
因为，所以，
则
.
所以，则的强化原生系数为.
因为函数在单调递增，
所以当时，有最小值，且，
即的强化原生系数的最小值为.