广西壮族自治区桂林市2025届高考第一次跨市联合模拟考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份广西壮族自治区桂林市2025届高考第一次跨市联合模拟考试数学试卷（原卷版+解析版），共4页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0， 函数， 已知的二项式系数和为64，则， 已知数列满足，则等内容，欢迎下载使用。
2025.4
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. C. D. 2
2. 已知各项均为正数的等比数列，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
3. 巴黎奥运会在2024年7月27日至8月12日举行，在这期间，中国视听大数据（CVB）显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次（亿）分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第25百分位数为（ ）
A. 2.03B. 2.21C. 2.12D. 3.55
4. 已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 在平行六面体中，，则直线所成角的余弦值为（ ）
A B. C. D.
6. “，使”的一个充分不必要条件是（ ）
A B.
C. D. 或
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数.若，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知的二项式系数和为64，则（ ）
A.
B. 常数项是第3项
C. 二项式系数最大值20
D. 所有项系数之和等于1
10. 已知数列满足，则（ ）
A.
B. 若，则
C.
D. 若数列满足，记为的前项和，则
11. 已知抛物线的焦点为，准线为与轴的交点为，过的直线与分别交于两点，则以下选项正确的是（ ）
A. 坐标为
B. 当时，
C. 若，则
D. 过点作与垂直的直线与交于两点，则四边形面积的最小值为32
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则在上的投影向量为__________（用坐标表示）.
13. 已知正四面体中，，则该四面体内半径最大的球的表面积为__________.
14. 已知函数，其中，记函数的最小值为，若，都有，则的取值范围为__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求的周长的最大值；
（3）若的面积为为的中点，且，求的长．
16. 某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化､科技､体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立.
（1）求乙同学总得分为40分的概率；
（2）用表示甲同学的总得分，求的分布列与期望；
（3）判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大.
17. 如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点.

（1）若为的中点，证明：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由.
18. 已知椭圆为右焦点，短半轴长为为上动点，的最小值为．
（1）求的方程；
（2）已知点，点为外一点，直线交于两点，
（i）为原点，若，求直线的方程；
（ii）记直线的斜率分别为，若，求的面积．
19. 对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”．
（1）判断函数的凹凸性；
（2）若，令，求的最小值；
（3）为（2）问所得结果，证明不等式：．
桂林市2025届高考第一次跨市联合模拟考试
数学
2025.4
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. C. D. 2
2. 已知各项均为正数的等比数列，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
3. 巴黎奥运会在2024年7月27日至8月12日举行，在这期间，中国视听大数据（CVB）显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次（亿）分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第25百分位数为（ ）
A. 2.03B. 2.21C. 2.12D. 3.55
4. 已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 在平行六面体中，，则直线所成角的余弦值为（ ）
A B. C. D.
6. “，使”的一个充分不必要条件是（ ）
A B.
C. D. 或
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数.若，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知的二项式系数和为64，则（ ）
A.
B. 常数项是第3项
C. 二项式系数最大值20
D. 所有项系数之和等于1
10. 已知数列满足，则（ ）
A.
B. 若，则
C.
D. 若数列满足，记为的前项和，则
11. 已知抛物线的焦点为，准线为与轴的交点为，过的直线与分别交于两点，则以下选项正确的是（ ）
A. 坐标为
B. 当时，
C. 若，则
D. 过点作与垂直的直线与交于两点，则四边形面积的最小值为32
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则在上的投影向量为__________（用坐标表示）.
13. 已知正四面体中，，则该四面体内半径最大的球的表面积为__________.
14. 已知函数，其中，记函数的最小值为，若，都有，则的取值范围为__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求的周长的最大值；
（3）若的面积为为的中点，且，求的长．
16. 某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化､科技､体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立.
（1）求乙同学总得分为40分的概率；
（2）用表示甲同学的总得分，求的分布列与期望；
（3）判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大.
17. 如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点.

（1）若为的中点，证明：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由.
18. 已知椭圆为右焦点，短半轴长为为上动点，的最小值为．
（1）求的方程；
（2）已知点，点为外一点，直线交于两点，
（i）为原点，若，求直线的方程；
（ii）记直线的斜率分别为，若，求的面积．
19. 对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”．
（1）判断函数的凹凸性；
（2）若，令，求的最小值；
（3）为（2）问所得结果，证明不等式：．