广西南宁市第二中学2023−2024学年高三下学期5月月考 数学试题（含解析）

这是一份广西南宁市第二中学2023−2024学年高三下学期5月月考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知，则（ ）
A．B．C．1D．
3．若函数在区间上有，则的递增区间是（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，集合，则的子集个数为（ ）
A．8B．3C．2D．1
5．已知平面直角坐标系中，椭圆：（）的左顶点和上顶点分别为，过椭圆左焦点且平行于直线的直线交轴于点.若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，则不同的排列方式共有（ ）
A．1152种B．1728种C．2304种D．2880种
7．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．有最小值25B．有最大值25C．有最小值50D．有最大值50
8．在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值是（ ）

A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ）
A．B．为互斥事件
C．D．相互独立
10．已知函数，对于任意，有，则（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递减D．函数在上共有6个极值点
11．已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．在定义域内单调递减D．为奇函数
三、填空题（本大题共3小题）
12．若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为 ．
13．在中，，点Q满足，则的最大值为 .
14．设．将这三者中的最大值记为．当变化时，的最小可能值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列满足．
(1)若数列满足，证明：是常数数列；
(2)若数列满足，求的前项和．
16．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中，和，分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得.
(1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度；
(2)已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.
附：相关系数
17．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.

(1)证明：平面；
(2)设点在线段上运动，平面与平面的夹角为，求的取值范围.
18．如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
19．设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”．
(1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
（i），（ii）；
(2)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
(3)设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.
故选:C.
2．【答案】A
【详解】由，解得，
所以.
故选：A.
3．【答案】A
【详解】设，当时，，
因为，所以，函数在上单调递减，
因为的单调递减区间为，
所以的递增区间为.
故选：A．
4．【答案】C
【详解】集合A表示直线上的所有点的集合，集合B表示圆上所有点的集合，
因为圆心到直线的距离为，等于圆的半径，故直线与圆相切，
故中只有一个元素，故的子集个数为．
故选：C.
5．【答案】D
【详解】由椭圆：的方程可得：
，其中，
则，
过椭圆左焦点且平行于直线的直线方程为：，
将代入该直线方程，可得点的坐标为，
若，则，得.
故选：D.
6．【答案】C
【详解】由题意可知：D站在前排，A站在后排，
若E和F站在前排，则不同的排列方式共有；
若E和F站在后排，则不同的排列方式共有；
所以不同的排列方式共有种.
故选：C.
7．【答案】B
【详解】由可得，
因则等差数列的公差，故，
则，当且仅当时取等号，
即当时，取得最大值25.
故选：B.
8．【答案】C
【详解】连接，在正方体中，平面，
四边形是正方形，因为平面，所以，
又，，且平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以当点P在线段（点除外）时，，取的中点E，连接，
在正方形中，因为E为的中点，是棱的中点，所以，因为平面，平面，所以，因为，
且平面，平面，所以平面，又平面，
所以，因为，且平面，平面，
所以平面，设平面平面，则，所以，
则是棱的中点，
所以当点在正方体的表面线段上时，,
由题意可知，在梯形中，，，，
，
所以线段长度的最大值是.

故选：C
9．【答案】AC
【详解】正确；
可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，不互斥，错误；
在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为正确；
不独立，
D错误；
故选：AC.
10．【答案】ACD
【详解】因为，所以，
因此，从而，注意到，
故，所以，
又，即的图象关于直线对称，从而，
即，，所以，又，所以，
所以，所以的最小正周期为，A正确．
因为，所以函数的图象不关于点对称，B错误．
当时，，故函数在上单调递减，C正确．
令，得,令,得,故,易知函数在单调递增，在单调递减，故函数在上共有6个极值点，D正确．
故选：ACD．
11．【答案】BC
【详解】对于，令，则，
因，故得，故A正确；
对于由，
令，则，
则，即，
故是以为首项，2为公比的等比数列，
于是，故B错误；
对于，由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
令，则①，
把都取成，可得②，
将②式代入①式，可得，
化简可得即为奇函数，故D正确；
对于C，在上单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减，
但是不能判断在定义域上的单调性，例如，故C错误.
故选：BC.
12．【答案】
【详解】圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为：，底面半径为：2，圆锥的高为：；圆锥的体积为：故答案为
13．【答案】/
【详解】设中点为M，
则，
，
由，知P点轨迹是以为弦，圆周角为的优弧，
∴当时，最大，此时是等边三角形，
则.
故答案为：.
14．【答案】
【详解】不妨设，则只需考虑及两种情形．
若，则，则；
若，即，即，则，
所以当时，取到最小值．
故答案为：.
15．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为
，
所以，
所以是常数数列．
（2）因为，所以，
所以，
所以．
因为，
所以
，
所以．
16．【答案】(1)0.94，相关性较强．
(2)见解析
【详解】（1）样本，，2，， 的相关系数为
．
由于相关系数,，则相关性很强，的值越大，相关性越强．
故，故相关性越强．
（2）由题意得：的可能取值为0，1，2，
20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数，
所以，
，
，
所以的分布列为：
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在梯形中，因为，，
所以，所以，
所以，所以．
因为平面平面，平面平面，
因为平面，所以平面．
（2）由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，
令，则．
，．
设为平面的一个法向量，
由得，取，则，
是平面的一个法向量
，
，当时，有最小值，
当时，有最大值．
．

18．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.
（2）[方法一]：通式通法
设，，，
所以直线，由题设可得且.
由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，
故，
令，则且，
故，
故即，
解得或或.
故直线在轴上的截距的范围为或或.
[方法二]：利用焦点弦性质
设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且．
由得，所以．
因为，
，．
由得．
同理．
由得．
因为，
所以即．
故．
令，则．
所以，解得或或．
故直线在x轴上的截距的范围为．
[方法三]【最优解】：
设，
由三点共线得，即．
所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．
设直线的方程为，
则．
所以．
故（其中）．
所以．
因此直线在x轴上的截距为．
【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标.
方法一：主要是用坐标表示直线，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
方法二：利用焦点弦的性质求得直线的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
方法三：利用点在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
19．【答案】(1)是含谷函数，谷点；不是含谷函数，证明见解析.
(2)
(3)
【详解】（1）函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点；
函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数.
（2）由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，
令，所以，
设，
所以，由可知恒成立，
所以在区间上单调递增，
若满足谷点，则有，解得，
故m的取值范围是.
（3）因为，
所以，
若恒成立，
则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意；
因此关于x的方程有两个相异实根，即，
设两根为，且，
因为，所以函数在区间上不为严格增，
但是当时，，为严格增，
所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即，
同理，因为，所以，
因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减，
从而函数的含谷区间必满足，
即，
因为，
，
由得，所以，
由得，所以，
所以，
当时，，
当时，，
因此的最小值为，当时成立.0
1
2