2024届云南省昆明市高三下学期“三诊一模”教学质量检测（二模）数学试卷（含答案）

这是一份2024届云南省昆明市高三下学期“三诊一模”教学质量检测（二模）数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了在的展开式中，含项的系数是，已知函数，则下列说法正确的是，已知椭圆E，已知函数，若，则的值可以为等内容，欢迎下载使用。
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若是等比数列，，，则
A．7B．9C．25D．35
2．双曲线C：的渐近线方程为
A．B．C．D．
3．复平面内表示复数（）的点在直线上，则
A．1B．C．2D．
4．已知下图网格中面积最小的正方形边长为1，平面向量，如图所示，则
A．2B．C．D．1
5．在的展开式中，含项的系数是
A．16B．19C．21D．24
6．已知函数，则下列说法正确的是
A．为增函数B．有两个零点
C．的最大值为2eD．的图象关于对称
7．早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）
A．2.1RB．2.2RC．2.3RD．2.4R
8．已知椭圆E：（）的左、右焦点为、，圆与E的一个交点为P，直线与E的另一个交点为O，，则E的离心率为
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数，若，则的值可以为
A．B．C．D．
10．在数列中，，，，记的前n项和为，则下列说法正确的是
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
11．在矩形ABCD中，，，以对角线BD为折痕将△ABD进行翻折，折后为△A＇BD，连接A＇C得到三棱锥A＇-BCD，在翻折过程中，下列说法正确的是
A．三棱锥A＇-BCD体积的最大值为B．点A＇，B，C，D都在同一球面上
C．点A＇在某一位置，可使BD⊥A＇CD．当A＇B⊥DC时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，，则 ．
13．已知正六棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正六棱锥的体积为 ．
14．如图，一个质点从原点O出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位，共移动六次．质点位于4的位置的概率为 ；在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次3的位置的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
如图，在直三棱柱中，D，E为，AB中点，连接，．
（1）证明：DE∥平面；
（2）若DE⊥AB，，，求二面角的正弦值．
16．（15分）
某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为
了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）若年收入的附加额与投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望．
参考数据：，，．
附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
17．（15分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，，求a的取值范围．
18．（17分）
已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与C交于A，B两点，．
（1）求C的方程；
（2）过A，B作C的两条切线交于点P，设D，E分别是线段PA，PB上的点，且直线DE与C相切，求证：．
19．（17分）
若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合，（，），且．设有序四元数集合，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（，2，3，4），则；若（，2，3，4），则．记．
（1）若，，写出Y，并求；
（2）若，，求所有的总和；
（3）对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）．
昆明市2024届“三诊一模”高三复习教学质量检测
数学参考答案及评分标准
一、单选题；二、多选题
三、填空题
12．13．14．，（第1空2分，第2空3分）
15．解：
（1）连接．因为D，E分别为，AB的中点，所以，又因为平面，平面，所以DE∥平面．
（2）由（1）得，因为DE⊥AB，所以，因为在直三棱柱中平面ABC，所以，因为，所以AB⊥平面，故AB⊥BC．
建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，可取为平面的一个法向量，
可取为平面的一个法向量，
则，
设二面角的大小为，则，，
所以二面角的正弦值为．
16．解：
（1），，
，
，
所以y关于x的线性回归方程为．
（2）由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个“优”，
所以X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
X的分布列如下：
所以X的期望是．
17．解：
（1）由于，则切点坐标为，
因为，所以切线斜率为，
故切线方程为．
（2）当时，等价于，
令，，恒成立，则恒成立，，
当时，，在上单调递减，，不符合题意；
当时，由得，，
时，，单调递减，，不符合题意；
当时，，因为，所以，则，在上单调递增，，符合题意．
综上所述，．
18．解：
（1）设，，，
联立，得，
则，，，
则，故，
所以C的方程为．
（2）由（1）知，因为抛物线C：，则，
则，，则直线PA方程为，即，
同理直线PB方程为．
联立得（，则，
将代入得两式相加得
，
即，所以点．
设直线DE与抛物线相切于点，则直线DE方程为．
设，，联立
两式作比，即，同理，
因为，
同理，
故要证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证，
由（1）知，又故，上式成立，
故．
19．解：
（1）由题，，
所以．
（2）对1，，5是否属于B进行讨论
①含1的B的个数为，此时在映射f下，；不含1的B的个数为，此时在映射f下，；所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10；
②含5的B的个数为，此时在映射f下，；不含5的B的个数为，此时在映射f下，；所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10；
②含的B的个数为，此时在映射f下，，；不含的B的个数为，此时在映射f下，，；所以所有y中的总个数和的总个数均为20．
综上，所有的总和为．
（3）对于给定的，考虑在映射f下的变化．
由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共个，所以在映射f下变为；不含的子集B共个，在映射f下变为；所以在映射f下得到的所有的和为．
同理，在映射f下得到的所有（，3，4）的和为．
所以所有的总和为．
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
投入额
10
30
40
60
80
90
110
年收入的附加额
3.20
4.00
4.80
6.00
7.30
7.45
9.25
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
A
C
B
D
A
B
BD
ACD
ABD
X
0
1
2
3
P