广东省深圳市南山外国语学校（集团）高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广东省深圳市南山外国语学校（集团）高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了考试结束，只需将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
出题人：郑玲珑 审题人：数学组
试卷分值：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，只需将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列结论中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A. 6B. 2C. 3D.
3. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
4. 函数在上图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
6. 2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排成一排合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A. 18种B. 24种C. 30种D. 36种
7. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，，若函数有5个零点，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. 是函数极小值点
B. 是函数的极小值点
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数在处切线的斜率小于零
10. 现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A. 所有可能的安排方法有125种
B. 若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C. 若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D. 若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，有唯一零点
B. 当时，减函数
C. 若只有一个极值点，则或
D. 当时，对任意实数，总存在实数，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知定义在上函数，则曲线在点处的切线方程是______．
13. 甲、乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲、乙到同一社区的不同安排方案共有__________.
14. 设函数，若存在，使得在上的值域为，则实数的取值范围为________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 用五个数字，问：
（1）可以组成多少个无重复数字的四位密码？
（2）可以组成多少个无重复数字的四位数？
（3）可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？
16. 某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分．
（1）求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数；
（2）求学生乙最终获得分的不同的抽法种数．
17. 已知函数．
（1）写出函数的单调区间；
（2）求函数在上的最大值、最小值．
18. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求正实数取值范围.
19. 已知函数在处取得极值
（1）求实数的值
（2）求证：
（3）证明：对于任意的正整数，不等式都成立.
南外高中2024-2025学年第二学期3月月考
高二年级数学试题
出题人：郑玲珑 审题人：数学组
试卷分值：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，只需将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列结论中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本初等函数求导公式，复合函数求导公式以及导数的运算法则的进行求导，逐项分析即可.
【详解】对于A，常数导数等于0，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
2. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A. 6B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的定义，结合导数的几何意义求解即可.
【详解】由题意，，
即，故，即曲线在点处的切线的斜率是6.
故选：A
3. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用基本函数的导数与导数的运算法则，即可求解.
【详解】因为，则，
所以，解得，
故选：A.
4. 函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的性质，判断函数图象的形状.
【详解】因为，所以，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD，
又，，
设，，则，.
所以在上为增函数，又，
所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B.
故选：A
5. 已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，根据且可得答案.
【详解】构造函数 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，
故 ，
即 ，
即 .
同理， ，
即 .
故选 ： A.
6. 2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排成一排合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A. 18种B. 24种C. 30种D. 36种
【答案】C
【解析】
【分析】分类当丙站在左端时及丙不站在左端时的情况计算即可得.
【详解】由题意可知，当丙站在左端时，有种站法；
当丙不站在左端时，有种站法.
由分类加法计数原理可得，一共有种不同的站法.
故选：C.
7. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知在[1,2]上恒成立，将问题再转化为函数的最值问题求解即可.
【详解】 ，若函数在区间上单调递减，
即在上恒成立，
即在[1,2]上恒成立.
令，则在上单调递减，,
所以,,
即
故选：C.
8. 已知函数，，若函数有5个零点，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用分段函数思想，结合分离参变量，再利用求导，数形结合，可得参数范围.
【详解】当时，由得：，
显然，是的一个零点，
再当时，有，
作出图象可得：当时，，
所以当时，在有两个零点；
再当时，由得：，
整理得，令，求导得，
令，得
当时，，所以在区间上递增，
当时，，所以在区间上递减，
作出图象：
所以由图可得：当时，在有两个零点；
又由于，
所以要使得有五个零点的参数，
故选： D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. 是函数的极小值点
B. 是函数的极小值点
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数在处切线的斜率小于零
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.
【详解】由图象得时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，
故是函数的极小值点.
对选项：显然，故错误.
故选：BC．
【点睛】本题考查由导数涵图象研究函数性质，属基础题.
10. 现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A. 所有可能的安排方法有125种
B. 若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C. 若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D. 若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
【答案】AB
【解析】
【分析】利用分步计数原理及排列知识逐项分析即得.
【详解】对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能安排方法有种，A正确；
对于B，由选项A知，所有可能的方法有种，A 医院没有专家去的方法有种，
所以A 医院必须有专家去的不同的安排方法有种，B正确；
对于C，专家甲必须去A 医院，则专家乙、丙的安排方法有种，C错误；
对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有种，D错误．
故选：AB.
11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，有唯一零点
B. 当时，是减函数
C. 若只有一个极值点，则或
D. 当时，对任意实数，总存在实数，使得
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：求导，确定单调性，然后利用零点存在定理判断；对于B：求导，利用导数研究函数单调性；对于C：直接验证时的极值情况；对于D：求导，作出的图象，观察图象可得.
【详解】对于A：当时，，令，得，
令，得，即在上单调递增，
又，，由零点存在定理可得在上有唯一零点，即有唯一零点，A正确；
对于B：，
令，得，
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，又当时,，所以恒成立，即当时，是减函数，B正确；
对于C：当时，由B知，即，所以，即在上单调递减，无极值，C 错误；
对于D：当时，，，
令，得，
令，则，
当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减，
所以，
即恒成立，
所以单调递减，又，
所以，
所以在上单调递减，
且当时，，当时，，
可得的大致图象如下：
由图可知对任意实数，总存在实数，使得，D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程.
【详解】令，得．对求导，得，
所以，故曲线在点处的切线方程为．
故答案为：.
13. 甲、乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲、乙到同一社区的不同安排方案共有__________.
【答案】18
【解析】
【分析】按照分步计数原理并利用平均分组后再分配的计算方法求解可得.
【详解】根据题意，安排6位同学到社区参加义务劳动可分成两步：
第一步，将6位同学分成3组，要求甲、乙一组，其余4位同学平均分组，
则有种分组方法；
第二步，将分好的3组全排列，安排到三个不同的社区，有种情况；
则由分步计数原理可得，
甲、乙到同一社区的不同安排方案共有种不同的安排方法.
故答案为：18.
14. 设函数，若存在，使得在上的值域为，则实数的取值范围为________
【答案】
【解析】
【分析】先结合导数研究函数的单调性，结合单调性把原问题转化为在上有两解，构造函数，，结合已知条件转化为研究函数的值域，利用导数可求.
【详解】由题可得：，当时，，所以在上单调递增，
若存在，使得在上的值域为，则，即在上有两解，
令，，则，
当时，，当时，，，
故在上单调递增，在上单调递减，且，，，

所以要使在上有两解，则，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 用五个数字，问：
（1）可以组成多少个无重复数字的四位密码？
（2）可以组成多少个无重复数字的四位数？
（3）可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？
【答案】（1）120 （2）96
（3）32
【解析】
【分析】（1）直接全排列即可得答案；
（2）注意首位不能为0，从不为0的四个数选一个放在首位，再从剩下的四个数选三个数全排列即可得答案；
（3）分0在个位、在个位、4在个位三种情况进行讨论，再由分类加法计数原理求解可得答案.
【小问1详解】
从5个数字任取4个进行全排列，故有个；
【小问2详解】
首位不能为0，则有个；
【小问3详解】
由题意，是偶数个位数必须是.
分3种情况讨论：
①0在个位，十位必须比0大，千位数字不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位数字在剩下的数字选一个，所以共有；
②在个位，十位数字必须比2大，千位数不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位剩下2个里面选一个.有种选法；
③4在个位，里面没有比4大的数字，不存在这种可能.则共有种情况.
16. 某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分．
（1）求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数；
（2）求学生乙最终获得分的不同的抽法种数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据组合数的知识求得正确答案.
（2）根据分的组合情况进行分类讨论，由此求得正确答案.
【小问1详解】
学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数为种.
【小问2详解】
学生乙最终获得分，有两种情况：
①，抽到张“龙”卡以及其它任意张卡，方法数有种.
②，抽到抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，方法数有种.
所以学生乙最终获得分的不同的抽法种数为种.
17. 已知函数．
（1）写出函数的单调区间；
（2）求函数在上的最大值、最小值．
【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）最大值，最小值为.
【解析】
【分析】（1）求解导函数，求出与的解集，从而得函数的单调区间；（2）列出，，的变化情况表，得函数的极大值与极小值，再计算端点值，从而可得上的最值.
【小问1详解】
由题意，函数的定义域为，，得或，当时，或；当时，，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
【小问2详解】
由（1）知，，，的变化情况如下表：
所以函数的极大值为，极小值为，又，所以函数在上的最大值为，最小值为.
18. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求正实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用导数，并讨论、研究的符号，进而判断的单调性；
（2）将问题转化为恒成立，构造中间函数，只需求时的范围即可.
【详解】（1）且，
∴时，即单调递增；
时，有，即在上单调递增；有，即在上单调递减；
综上，时在上单调递增；时在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题设，，即恒成立，
令，则，
∴由（1）知：时有极小值也是最小值，故只需即可.
若，则，即在上递减，又，
∴时，，即恒成立
∴正实数的范围为.
【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为恒成立，并构造函数并应用导数研究最值，进而求参数a的范围.
19. 已知函数在处取得极值
（1）求实数的值
（2）求证：
（3）证明：对于任意的正整数，不等式都成立.
【答案】（1）1 （2）证明见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】(1)利用建立方程求解即可；
(2)利用导数考查函数在定义域上的单调性，找到最大值点，求值即可；
(3)根据（2）的结论，得到，令，则有，
利用此不等式即可证明.
【小问1详解】
由题知，，
为的极值点，

【小问2详解】
由（1）知，，定义域为,
则，
令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
故恒成立.
【小问3详解】
因为，可化为，此不等式恒成立，
令，则有，
即，
，
即
即.
极大值
极小值