广东省清远市四校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广东省清远市四校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（40分）
1. 已知平面向量，，若，则（ ）
A. 1B. C. 0D.
2. 若为实数，是纯虚数，则复数为（ ）
A B. C. D.
3. 已知向量，，则向量在向量上投影向量为（ ）
A B. C. D.
4. 在 △ABC中，已知角，，则角C=
A. B.
C. D. 或
5. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A 4B. C. D.
6. 某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图1所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图2所示，此时液体所形成的上底面半径为2cm，下底面半径为6cm.求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 4.5cm
7. 如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（ ）
A. 30米B. 米C. 米D. 米
8. 已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A. 13B. C. D.
二、多选题（18分）
9. 已知平面向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与的夹角为
10. 对于函数和，下列说法中正确的是（ ）
A. 与有相同的零点
B. 与有相同的最小值
C. 函数的图象与的图象有相同的对称轴
D. 的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到
11. 已知点在所在的平面内，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为的垂心
C. 若且（，），则
D. 若，，，且，则的值为
三、填空题（15分）
12. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则_______．
13. 如图，在△ABC中，，，，，则＝_____
14. 如图，已知正三棱柱中，，，若点P从点A出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱运动到点，则点P运动的最短路程为______.
四、解答题（77分）
15. 已知复数，．
（1）若复数在复平面上对应点在第三象限，求实数的取值范围．
（2）若，求的共轭复数及的模．
16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，若．
（1）求的值；
（2）若，，求b的值．
17. 已知长方体中，，求：

（1）长方体表面积；
（2）三棱锥的体积．
18. 已知向量，，其中，且.
（1）求和的值；
（2）若，且，求角.
19. 已知.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，求；
（3）若对于任意，恒成立，求的取值范围.
2024-2025学年第二学期四校联盟期中联考试题
高一数学
一、单选题（40分）
1. 已知平面向量，，若，则（ ）
A. 1B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】由，，且，得，解得.
故选：D.
2. 若为实数，是纯虚数，则复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的概念得出的值即可.
【详解】为实数，则，
是纯虚数，则，
则
故选：D
3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，先求得的模长，再由投影向量的定义即可得到结果.
【详解】由题意得，向量在向量上的投影向量为．
4. 在 △ABC中，已知角，，则角C=
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【详解】由正弦定理： 可得： ，
则角C=或.
本题选择D选项.
5. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据斜二测画法得到原图，进而求出原图的面积.
【详解】还原直观图为原图形，如图所示，
因为，所以，
还原回原图形后，，
所以原图形面积为.
故选：B
6. 某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图1所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图2所示，此时液体所形成的上底面半径为2cm，下底面半径为6cm.求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 4.5cm
【答案】D
【解析】
【分析】根据体积公式，结合相似即可求解.
【详解】由已知可得：液体的体积为，
如图，易知，、两个相似的直角三角形，
因为圆锥的底面半径是，高是，
所以圆锥的体积为，
计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为，
设计时结束后，“沙漏”中液体的高度为，
则，
，解得，
所以计时结束后.“沙漏”中液体高度为.
故选：D.
7. 如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（ ）
A. 30米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】设，用表示，再利用余弦定理列式计算即得.
【详解】设，依题意，，，
在中，由余弦定理得，
即，整理得，解得，
所以雁鸣塔的高度为30米.
故选：A
8. 已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A. 13B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以为原点，建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算，以及二次函数的性质，即可求解.
【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P（x，y）
则，可得，，
所以，即，故，，
所以，当且仅当即时等号成立．
故选：B．
二、多选题（18分）
9. 已知平面向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与的夹角为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量坐标运算即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A, ，A正确，
对于B，，故B错误，
对于C, ，故，C正确，
对于D，，故与的夹角为，故D正确，
故选：ACD
10. 对于函数和，下列说法中正确的是（ ）
A. 与有相同的零点
B. 与有相同的最小值
C. 函数的图象与的图象有相同的对称轴
D. 的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到
【答案】BD
【解析】
【分析】举反例令代入可得A错误；由正余弦函数的值域可得B正确；由余弦函数的对称轴方程代入正弦函数可得C错误；由函数平行的性质可得D正确.
【详解】对于A，令中，可得，
但，故A错误；
对于B，由正余弦函数的值域可得两函数具有相同的最小值为，故B正确；
对于C，函数的对称轴方程为，即，
所以，故C错误；
对于D，的图象向左平移个单位得到，故D正确；
故选：BD
11. 已知点在所在的平面内，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为的垂心
C. 若且（，），则
D. 若，，，且，则的值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的几何意义可判断；易知点是的中点，从而得，再根据垂心的含义即可判断；由平面向量基本定理知，，三点共线，再利用三角形的面积公式；将两边分别同时乘以和，可得关于和的方程组，解之即可判断．
【详解】解：因为，所以点是外接圆的圆心，
A．，即选项错误，不符合题意；
B．若，则点是的中点，所以是圆的直径，即，
所以点是的垂心，即选项正确，符合题意；
C．由知，，，三点共线，设的以为底边的高为，则，即，故选项正确，符合题意；
D．由知，，
所以，
即，
整理得，
由知，，
同理可得，
联立解得，，
所以，即选项正确，符合题意．
故选：BCD．
三、填空题（15分）
12. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则_______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出角即可得解.
【详解】在中，，由正弦定理得，
而，则或,
所以或.
故答案为：或
13. 如图，在△ABC中，，，，，则＝_____
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，结合图形，利用向量线性运算求解.
【详解】△ABC中，，，，，
．
故答案为：.
14. 如图，已知正三棱柱中，，，若点P从点A出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱运动到点，则点P运动的最短路程为______.
【答案】
【解析】
【分析】如图所示：将翻折到与共面，故点P运动的最短路程为，计算得到答案.
【详解】如图所示：将翻折到与共面，故点P运动的最短路程为.
在中，，故.
故答案为：.
【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离，余弦定理，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
四、解答题（77分）
15. 已知复数，．
（1）若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数的取值范围．
（2）若，求的共轭复数及的模．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由题意求出，结合复数几何意义和各象限的点的坐标特征即可．
（2）利用复数的除法运算法则求出z，进而求出z的共轭复数和模．
【小问1详解】
因为，，
所以．
因为复数在复平面上对应的点在第三象限，所以
解得，即实数的取值范围为．
【小问2详解】
因为，
所以．
．
16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，若．
（1）求的值；
（2）若，，求b的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由数量积为0得，结合余弦定理即可得解.
（2）由平方关系以及两角和差公式、诱导公式依次求出，结合正弦定理即可得解.
【小问1详解】
由题意，整理得，
所以由余弦定理有.
【小问2详解】
因为，，，所以，
所以
，
所以由正弦定理有.
17. 已知长方体中，，求：

（1）长方体表面积；
（2）三棱锥的体积．
【答案】（1）10； （2）.
【解析】
【分析】（1）利用长方体的表面积公式计算即得.
（2）利用锥体体积公式计算即得.
【小问1详解】
长方体中，，，
因此长方体的侧面积，
所以长方体的表面积.
【小问2详解】
的面积，
显然三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积.

18. 已知向量，，其中，且.
（1）求和值；
（2）若，且，求角.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）由可得，再由求出的值，然后利用二倍角公式化简计算即可，
（2）由，求出，从而由可求得的值，而，再利用两角差的正弦公式化简计算，从而可求出角
【详解】知
又
（1）
（2）
又
又
19. 已知.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，求；
（3）若对于任意，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）化简，然后利用周期的公式计算；
（2）由可得，从而可得的值，由，从而可得结果.
（3）将对于任意均有恒成立转化为于任意均有恒成立，结合函数单调性即可得到的取值范围.
【小问1详解】
由题意可得：
可得函数的最小正周期.
【小问2详解】
因为，，.
所以，又因为，
所以，所以，
所以
【小问3详解】
由（1）知，函数，
可得，
因为对于任意，恒成立，
即对于任意均有恒成立，
即对于任意均有恒成立，
又因为，
因为，可得，
又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减，
可得，则，
所以的取值范围为.