甘肃省兰州市西北中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份甘肃省兰州市西北中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版），共46页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
出题人：罗元珍
时间：120分钟分值：150分
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 某中学随机抽取了60名学生，统计了他们某天学习数学的时间，数据如下表，则该组数据的第75百分位数是（ ）
A. 75分钟B. 90分钟C. 95分钟D. 100分钟
3. 已知四边形满足条件，且，其形状是（ ）
A 梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
4. 在△ABC中，边BC上的中线为AD，点O满足，则等于（ ）
A. B. C. D.
5. 已知平面向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A. B. 3C. 1D.
7. 在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为（ ）
A 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
8. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A B. C. D.
二、多选题（每小题6分，全部选对的6分，选对但不全得部分分，有错选得0分）
9. 在中， 角，，对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则有一解
B. 若，则有两解
C. 面积的最大值为
D. 若是锐角三角形，则的取值范围为.
10. 已知向量，，满足，，，则（ ）
A.
B. 当时，
C. 当时，
D. 在上的投影向量的坐标为
11. 在锐角中，且，则下列正确的结论有（ ）
A.
B. 边的取值范围为
C.
D. 的取值范围为
三、填空题（每题 5分，共15分）
12. 已知某地区有小学生12000人，初中生11000人，高中生9000人，现在要了解该地区学生的近视情况，准备抽取320人进行调查，则应该抽取小学生、初中生、高中生的人数分别是______．
13. 已知向量，，若，则________．
14. 若，则_______．
四、解答题
15. 某电商平台对某大型活动期间的10000名网络购物者的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示．

（1）求频率直方图中的的值；
（2）估计这10000名网络购物者在该活动期间消费的中位数和平均数（保留小数点后三位）．
16. 在中，内角对应的边分别是，且．
（1）求角A的大小；
（2）若的面积是，求的周长；
（3）若为锐角三角形，求取值范围．
17. 如图：四边形ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=，E为AO的中点，（）．
（1）求；
（2）求当取最小值时，的值．
18. 已知函数.
（1）求的最小正周期和对称轴方程；
（2）求在上的最大值和最小值.
19. （1）证明：；
（2）化简：．
2024-2025学年度第二学期期中考试
高一数学试卷
出题人：罗元珍
时间：120分钟分值：150分
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由两角和的正弦公式求解即可.
【详解】
.
故选：D
2. 某中学随机抽取了60名学生，统计了他们某天学习数学的时间，数据如下表，则该组数据的第75百分位数是（ ）
A. 75分钟B. 90分钟C. 95分钟D. 100分钟
【答案】C
【解析】
【分析】应用百分位数定义计算求解.
【详解】因为，所以第75百分位数是所有数据从小到大排列的第45项和第46项的平均数，
由表中数据可知，第45项为90，第46项为100，所以第75百分位数是分钟．
故选：C.
3. 已知四边形满足条件，且，其形状是（ ）
A. 梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】B
【解析】
【分析】由，分析出四边形一组对边平行且相等，又由，分析出四边形对角线相等，即可得到结果.
【详解】由，可知且，
则四边形为平行四边形，
又由，可知四边形为矩形，
故选:B.
4. 在△ABC中，边BC上的中线为AD，点O满足，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的线性运算可求.
【详解】
，
故，
故选：A.
5. 已知平面向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由投影向量的定义求出，再由向量的模长公式求解即可.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，
所以，所以，又，
所以，所以.
故选：C.
6. 已知，则（ ）
A. B. 3C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题设可求得的值，再利用和角的正切公式即可得结果.
【详解】由题干条件可知，所以，
由和角的正切公式可得.
故选：B.
7. 在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】在中利用余弦定理化简题干信息即可.
【详解】在中利用余弦定理，则，
得，则为直角三角形.
故选：B
8. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用最值求，再结合范围求出，再利用二倍角公式求即可.
【详解】由题意可知，得，
解得，因，则，
因，解得或（舍）
故
故选：D
二、多选题（每小题6分，全部选对的6分，选对但不全得部分分，有错选得0分）
9. 在中， 角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则有一解
B. 若，则有两解
C. 面积最大值为
D. 若是锐角三角形，则的取值范围为.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正弦定理，即可判断AB，根据余弦定理，面积公式，结合基本不等式，即可判断C，根据正弦定理，转化为三角函数问题，即可判断D.
【详解】A.根据正弦定理，，即，得,
且，则，则有一解，故A正确；
B.若，则，可得，得，则有一解，故B错误；
C.由余弦定理，，当时等号成立，
所以，所以面积的最大值为，故C正确；
D.由，则，，且，得，
所以，,
所以的范围是，故D正确.
故选：ACD
10. 已知向量，，满足，，，则（ ）
A.
B. 当时，
C. 当时，
D. 在上的投影向量的坐标为
【答案】BC
【解析】
【分析】选项A：利用向量的数量积求向量的模；选项B：利用向量平行的条件求解当时，是否正确即可；选项C：利用数量积求解当两个向量垂直时是否成立即可；选项D：利用数量积求解一个向量在另一个向量上的投影向量即可.
【详解】选项A：
，故A错误.
选项B：当 时，存在实数 使得 且，得 ，
代入得：，，故选项B正确.
选项C：当与垂直时，.
，化简得，即，
故项C正确.
选项D： ， ，
投影向量为，与选项中的( )不符，故D错误.
故选：BC.
11. 在锐角中，且，则下列正确的结论有（ ）
A.
B. 边的取值范围为
C.
D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正切的和差角公式可得，进而判定A，根据正弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解BD，根据面积公式即可求解C.
【详解】由题意，所以
，
所以，所以，
易知，所以，所以A正确，
对于B，设内角的对边分别为，由正弦定理可知，
，即，
又在锐角中，，，，
，所以的取值范围为，故B错误，
对于C，由B知，故，所以C正确，
对于D，因为为锐角三角形，所以，即，
所以
，
由知，所以，即取值范围为；所以D正确，
故选：ACD.
三、填空题（每题 5分，共15分）
12. 已知某地区有小学生12000人，初中生11000人，高中生9000人，现在要了解该地区学生的近视情况，准备抽取320人进行调查，则应该抽取小学生、初中生、高中生的人数分别是______．
【答案】120，110，90
【解析】
【分析】先求出各层比例，根据分层抽样的定义建立式子计算即可得到结论..
【详解】小学生，初中生，高中生人数的比例为，
故抽取的小学生，初中生，高中生的人数分别为．
故答案为：120，110，90.
13. 已知向量，，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的线性运算表示，根据向量平行可得结果.
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，解得.
故答案为：.
14. 若，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角的正弦、余弦公式结合弦化切可得出所求代数式的值.
【详解】.
故答案为：.
四、解答题
15. 某电商平台对某大型活动期间的10000名网络购物者的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示．

（1）求频率直方图中的的值；
（2）估计这10000名网络购物者在该活动期间消费的中位数和平均数（保留小数点后三位）．
【答案】（1）
（2）中位数为0.533（万元），平均数0.537（万元）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为求得的值；
（2）根据中位数和平均数的计算公式可得.
【小问1详解】
，解得．
【小问2详解】
设中位数为t，
则，解得（万元），
平均数（万元）．
16. 在中，内角对应的边分别是，且．
（1）求角A的大小；
（2）若的面积是，求的周长；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到结果；
（2）由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从从而可得，即可得到结果；
（3）由三角形的内角和将转化为关于的式子，再由三角函数的性质即可求得结果.
【小问1详解】
由正弦定理可得，
即，因为，所以，
则，即.
【小问2详解】
因为，所以，
由余弦定理可得，
即，所以，
则，所以，
则的周长为.
【小问3详解】
由可得，
则
，
且锐角三角形，则，解得，
所以，则，
所以，
即的取值范围是.
17. 如图：四边形ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=，E为AO的中点，（）．
（1）求；
（2）求当取最小值时，的值．
【答案】（1）24 （2）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形法则结合数量积公式得出；
（2）当时，取到最小值，再由直角三角形的边角关系得出，进而得出的值．
【小问1详解】
，
【小问2详解】
当时，取到最小值，此时
∴
18 已知函数.
（1）求的最小正周期和对称轴方程；
（2）求在上的最大值和最小值.
【答案】（1）的最小正周期为，图象的对称轴方程为，
（2）的最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）先根据和角公式、倍角公式把函数化成的形式，再求的最小正周期和对称轴方程.
（2）根据的图象和性质，求函数在给定区间上的值域.
【小问1详解】
，
所以函数的最小正周期为.
令，，解得，，
所以函数图象的对称轴方程为，.
【小问2详解】
当时，，
则，进而可得，
所以.
当时，即时，取最小值.
当时，即时，取最大值.
19. （1）证明：；
（2）化简：．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数关系和逆用余弦差角公式化简得到答案；
（2）利用诱导公式和正弦和差公式化简得到答案.
【详解】（1）证明：左边
右边，得证；
（2）原式．
学习时间／分钟
60
70
80
90
100
110
120
人数
9
10
14
12
8
5
2
学习时间／分钟
60
70
80
90
100
110
120
人数
9
10
14
12
8
5
2