2025年山东省枣庄市第十五中学中考二模数学试题（原卷版+解析版）（中考模拟）

这是一份2025年山东省枣庄市第十五中学中考二模数学试题（原卷版+解析版）（中考模拟），共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共30分．
1. 在实数0，，，中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0D.
2. 《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大，远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义．这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列航空公司的标志是轴对称图形的是（ ）
A B. C. D.
3. 维生素在人体健康中发挥着至关重要的作用，从维持骨骼健康到调节免疫功能，再到预防多种疾病，维生素都扮演着不可或缺的角色．因此，合理补充维生素对于维护整体健康至关重要．据科学验证，成年人每天维生素的摄入量约为克，将数字用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列计算正确的是（ ）
A B.
C. D.
7. “过新年，挂新灯，家家户户乐融融”，挂灯笼是我国各地新年的一个传统习俗．如图，欣欣从三个灯笼中随机选择两个挂在门口，则选择和两个灯笼的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
9. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（ ）（）
A. 0.14B. 0.2C. 0.5D. 1
10. 如图，是的直径，D是上的一点，是的平分线，交于点C，过点C作，垂足为E，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求．
11. 在平面直角坐标系中，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点

（1）如图，过点P的直线分别与轴，轴交于点A，B，且．
①求反比例函数的表达式；
②点D为x轴正半轴上一点，点E反比例函数图象上，若以点B，D，E，P为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标；
（2）过定点P的直线交反比例函数在第一象限的图象于另一点Q，交y轴千点M，连接，设的面积为，的面积为，若，求m的值．
12. 如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明．
（1）如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；
（2）如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长；
（3）若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为______．
13. 定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”．
（1）若抛物线的顶点与点互为“4阶点”，求的值；
（2）对于动点，若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值；
（3）已知点、是抛物线上的两点，且都与点互为“阶点”，是抛物线的顶点，是线段的中点，若与互为“阶点”，求的最小值．
14. 【综合与实践】
火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究：
15. 甲、乙两所学校组织志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各 400名学生进入综合素质展示环节．从两校进入综合素质展示环节学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：，，，，，）：
b．甲学校学生成绩在这一组的是：
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲学校50名学生成绩的中位数为_____，优秀率为_____（85分及以上为优秀）；
（2）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_____（填“A”或“B”）；
（3）根据上述信息，推断_____学校综合素质展示的水平更高，理由为_____（至少从一个角度说明推断的合理性）；
（4）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，请预估甲学校学生分数至少达到多少分才可以入选，并说明理由．
16. 现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（ ）个
①若，则；
②当，时，，那么代数式的值为4；
③方程的解为或或；
④若函数，当时，x的取值范围是．
A 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题（每小题3分，共18分）
17. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________．
18. 若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是______．
19. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以为边在y轴右侧作等边，将点C向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点C平移距离________．
20. 如图，在矩形中，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的面积为______．
21. 如图，正八边形的边长为3，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________．（结果保留π）
22. 在平面直角坐标系中,对于点,我们把点叫作点的“相伴点”．已知点的“相伴点”为,点的“相伴点”为,点的“相伴点”为,……,这样依次得到点,,,……,．若点的坐标为,则点的坐标为______．
三、解答题（本题共8道大题，满分72分）
23. （1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中
24. 数学活动课上，小慧同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图1，已知四边形是平行四边形，①连接，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线，分别交、、于点E、O、F，连接、． 若，平分，，求四边形的面积．
同桌小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图2，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G． 若，求的值．
九年级第二次调研考试
数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共30分．
1. 在实数0，，，中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查实数大小比较．实数大小比较的核心规则：正数＞0＞负数；负数比较时，绝对值大的反而小．掌握这一规则是解题的关键．先将数分为正数、0、负数三类：正数大于0，0大于负数；对于负数，通过比较绝对值大小判断，绝对值大的负数反而小，依此规则比较0，的大小．
【详解】解：根据 “正数负数”，可知，且0大于，因此最小数在和中．
，
，
故选：B．
2. 《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大，远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义．这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列航空公司的标志是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故此选项是轴对称图形，符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够不互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
3. 维生素在人体健康中发挥着至关重要的作用，从维持骨骼健康到调节免疫功能，再到预防多种疾病，维生素都扮演着不可或缺的角色．因此，合理补充维生素对于维护整体健康至关重要．据科学验证，成年人每天维生素的摄入量约为克，将数字用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：B．
4. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中，看不见但存在的线用虚线表示．
【详解】解：从左面看，可得选项D的图形．
故选：D．
5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集，先求出不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可．
【详解】解：解，得：，
在数轴上表示解集如图：
故选D．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则，同底数幂相除法则，积的乘方法则，完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：A．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误；
B．，故原计算正确；
C．，故原计算错误；
D．，故原计算错误；
故选：B．
7. “过新年，挂新灯，家家户户乐融融”，挂灯笼是我国各地新年的一个传统习俗．如图，欣欣从三个灯笼中随机选择两个挂在门口，则选择和两个灯笼的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．画树状图，共有6种等可能的结果，其中选择和两个灯笼的结果有两种，再利用概率公式即可得出答案．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中选择和两个灯笼的结果有两种，
选择和两个灯笼的概率为，
故选：B．
8. 要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数的大小比较法则判断即可．
【详解】解：当，时，，而，
∴命题“若，则”是假命题，
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的知识，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
9. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（ ）（）
A. 0.14B. 0.2C. 0.5D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到的面积，求得圆的内接正十二边形的面积，即可得出结论．
【详解】解：的半径为1，
的面积，
圆的内接正十二边形的中心角为，
过点A作，如图所示：
，
圆的内接正十二边形的面积，
，
故选：A．
10. 如图，是的直径，D是上的一点，是的平分线，交于点C，过点C作，垂足为E，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明，即可解答；
（2）过O作，垂足为F，先证明四边形矩形，可得，再求得，可得，进一步求出，再证明是等边三角形，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∵是等腰三角形，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：过O作，垂足为F，
四边形中，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，矩形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
11. 在平面直角坐标系中，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点

（1）如图，过点P的直线分别与轴，轴交于点A，B，且．
①求反比例函数的表达式；
②点D为x轴正半轴上一点，点E反比例函数图象上，若以点B，D，E，P为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标；
（2）过定点P的直线交反比例函数在第一象限的图象于另一点Q，交y轴千点M，连接，设的面积为，的面积为，若，求m的值．
【答案】（1）①反比例函数的表达式为；②E点坐标为或
（2）m的值为或
【解析】
【分析】（1）过P 作轴于点C，即，先求出，，即，，根据，可得，即：，可得，即，将代入反比例函数，可得反比例函数的表达式；②由①可得，，设，，当点B，D，E，P组成平行四边形时，根据平行四边形中对角线相互平分，结合中点坐标公式可得：，即可得，即；当点B，D，E，P组成平行四边形时，同理有，可得，问题得解；
（2）根据直线，可得P 点坐标为，即可得反比例函数的表达式为，①当Q在线段上时，由，可得，即，作轴于点K，轴于点L，证明，即有，则，进而可得，将代入直线得；②当Q在线段延长线上时， 由，可得，即，作轴于点K，轴于点L，同理可得，将代入直线得，问题得解．
【小问1详解】
①过P 作轴于点C，即，

当时，即，解得：，
当时，即，
即，，
∴，，
根据，可得，
即：，
∵，
∴，
∴，，
即：，
即，
将代入反比例函数，得，
∴反比例函数的表达式为；
②由①可得，
设，，
当点B，D，E，P组成平行四边形时
∵，
∴，即，
∴；
当点B，D，E，P组成平行四边形时，
∵，
∴即，
∴，
∴E点坐标为或；
【小问2详解】
∵直线，
即当时，即，则过定点，
∴P 点坐标为，
代入反比例函数，得，
∴反比例函数的表达式为，
①如图1，当Q在线段上时，

∵，
∴，即，
作轴于点K，轴于点L，
由P 点坐标为可得：，
∴，
∴，
∴，即，
则：，
∴，
将代入直线得；
②如图2，当Q在线段延长线上时，

∵，
∴，即，
作轴于点K，轴于点L，同理，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
将代入直线得，
综上所述m的值为或．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，根据三角形的面积得出相应边的比，是解答本题的关键．解答时需注意分类讨论的思想．
12. 如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明．
（1）如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；
（2）如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在延长线上，连接．若，，求线段的长；
（3）若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为______．
【答案】（1）依然成立，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短、二次根式的计算等知识，证明是解题的关键．
（1）利用，证明，得．
（2）证明，得，则，再利用勾股定理可得答案．
（3）连接连接、，先根据勾股定理和直角三角形的性质求得，当绕点逆时针旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上运动，所以当点在直线上时，有最大和最小值，由图可得的最大值为，最小值为，即．
【小问1详解】
解：依然成立，理由如下：
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵
∴
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图，连接、，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点在直线上时，有最大值和最小值，
∴由图可得的最大值为，最小值为，
∴，
故答案为：．
13. 定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”．
（1）若抛物线的顶点与点互为“4阶点”，求的值；
（2）对于动点，若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值；
（3）已知点、是抛物线上的两点，且都与点互为“阶点”，是抛物线的顶点，是线段的中点，若与互为“阶点”，求的最小值．
【答案】（1）
（2）或
（3）最小值为
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根的判别式，二次函数的最值，掌握新定义是解题的关键．
（1）配方得到抛物线的顶点坐标，然后根据“4阶点”的定义解答即可；
（2）设这一点为，根据“阶点”的定义得到方程，然后根据根的判别式解题即可；
（3）设点A的坐标为，点B的坐标为，则可得到，是方程的两根，即，，然后求出M和N的坐标，即可得到，根据t的取值范围确定最值即可．
【小问1详解】
解：，
∴顶点坐标为，
∵顶点与点互为“4阶点”，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：设这一点为，
根据“阶点”的定义得：，
整理得：，
∵只存在一个点与点互为“阶点”，
∴，
解得：或；
【小问3详解】
解：设点A的坐标为，点B的坐标为，
∵点、都与点互为“阶点”，
∴，，
整理得，，
∴，是方程的两根，
∴，，
又∵，
∴顶点M坐标为，
又∵是线段的中点，
∴点的坐标为，
∵与互为“阶点”，
∴，
整理得，
代入得：，
即，
当时，随k的增大而增大，
∴当时，最小，最小值为．
14. 【综合与实践】
火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究：
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键：
（1）过点作于点，对顶角结合同角的余角相等，得到，解直角三角形，求出的长即可；
（2）作，交于点，解直角三角形，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：过点作于点，则：，，
∵，
∴，
∴，
在中，；
（2）作，交于点
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
15. 甲、乙两所学校组织志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各 400名学生进入综合素质展示环节．从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：，，，，，）：
b．甲学校学生成绩在这一组的是：
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲学校50名学生成绩的中位数为_____，优秀率为_____（85分及以上为优秀）；
（2）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_____（填“A”或“B”）；
（3）根据上述信息，推断_____学校综合素质展示的水平更高，理由为_____（至少从一个角度说明推断的合理性）；
（4）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，请预估甲学校学生分数至少达到多少分才可以入选，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）A （3）乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；
（4）预估甲学校学生分数至少达到88分才可以入选．
【解析】
【分析】本题考查了中位数，数据的集中趋势，直方图，样本估计总体，熟练掌握中位数的定义，直方图的意义，用样本估计总体的思想是解题的关键．
（1）根据中位数的定义求解即可；
（2）发现A的成绩在中位数前，而读表得出B的成绩在中位线以下，以此判断排名；
（3）计算出甲校的中位数，优秀率，比较回答即可；
（4）先计算的人数为96人，不够120人，要从分之间补充，设需要补充x个人，根据题意，得，解得x即可．
【小问1详解】
解：甲校共有50名学生，则中位数为第25位和第26位的平均成绩
由直方图和题干数据得，第25位和第26位的成绩为：81和82，
∴中位数为：；
优秀率；
故答案为：；；
【小问2详解】
解：∵A成绩为83分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分；
∵B成绩为83分，低于乙校中位数84，则B排名在乙校为后半部分；
故A的排名更靠前；
故答案为：A；
【小问3详解】
解：乙校，理由如下：甲校的优秀率为：，由（1）甲校的中位数是81.25分，乙校的中位数是84，优秀率为46%，从中位数，优秀率两个方面比较看出，乙校都高于甲校，故乙校高，
故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；
【小问4详解】
解：根据题意，分的人数为为：人，不够120人，要从分之间补充，设需要补充x个人，
根据题意，得，
解得，
而这个3个数依次为89，88.5，88，至少要88分，
答：预估甲学校学生分数至少达到88分才可以入选．
16. 现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（ ）个
①若，则；
②当，时，，那么代数式的值为4；
③方程的解为或或；
④若函数，当时，x的取值范围是．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】当，时，根据“邻一数”定义，可得，可判定①；当，时，根据“邻一数”定义，可得，代入计算即可判定②；当时，可解得，当时，可解得，当时，解得，舍去，可判定③；根据“邻一数”定义，得，画出函数图象，根据图象求出x的取值范围，即可判定④．
【详解】解：①当，时，则，，
∴，
∴若，则错误，故①错误；
②当，时，
∵，
∴，即，
∴，故②正确；
③∵，
当时，
，解得；
当时，
，解得；
当时，
，解得，舍去；
∴方程的解为或，故 ③错误；
④∵，
其图象为：
由图象可得：当时，，故④正确．
综上，正确的有②④，共2个，
故选：C．
【点睛】本题考查新定义，代数式求值，解一元一次方程，利用函数图象求不等式解集．理解并运用新定义是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
17. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据既在根号下，又在分母上，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可．
【详解】解：式子在实数范围内有意义，
，
解得：．
故答案为：．
18. 若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系得到，即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
19. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以为边在y轴右侧作等边，将点C向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点C平移的距离________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，等边三角形的性质以及坐标与图形变化，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．过点作轴的垂线，求出垂线的长，得到点的坐标，即可得到的横坐标，即可得到答案．
【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，
将代入得，
，
，
是等边三角形，
，
．
，
则，
．
将代入，
解得，
故的横坐标为，
则，
，
故答案为：．
20. 如图，在矩形中，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
过点作的平行线，交于点，交于点，则．由旋转可得，，结合矩形的性质可得则，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：过点作的平行线，交于点，交于点．
则．
由旋转可得，．
∵四边形为矩形，
，
，
，
，
，
∴的面积为．
故答案为：．
21. 如图，正八边形的边长为3，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________．（结果保留π）
【答案】π
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形内角和的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
先根据正八边形的性质求出圆心角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
故答案：．
22. 在平面直角坐标系中,对于点,我们把点叫作点的“相伴点”．已知点的“相伴点”为,点的“相伴点”为,点的“相伴点”为,……,这样依次得到点,,,……,．若点的坐标为,则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题是对点的变化规律的考查,读懂题目信息,理解“和谐点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．根据“和谐点”的定义依次求出各点,不难发现,每4个点为一个循环组依次循环,用2025除以4,根据商和余数的情况确定点的坐标即可．
【详解】解：∵的坐标为,
∴,
…,
依此类推,每4个点为一个循环组依次循环,
∵,
∴点的坐标与的坐标相同,为．
故答案为：．
三、解答题（本题共8道大题，满分72分）
23. （1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中
【答案】（1）8；（2）；．
【解析】
【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数的混合运算、负整数次幂、立方根、分式的化简求值等知识点，灵活运用相关运算法则和方法成为解题的关键．
（1）先运用负整数次幂、立方根、绝对值、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可；
（2）先运用分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
当时，原式．
24. 数学活动课上，小慧同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图1，已知四边形是平行四边形，①连接，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线，分别交、、于点E、O、F，连接、． 若，平分，，求四边形的面积．
同桌小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图2，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G． 若，求的值．
【答案】四边形的面积为；的值为
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、作图—基本作图、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，证明为等边三角形，得出，，由作图可得，垂直平分，证明，得出，推出四边形为菱形，求出，，再由菱形的面积公式计算即可得解；由平行四边形的性质可得，，，则，由作图可得，平分，垂直平分，得出，由等角对等边可得，从而可得，，证明，由相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
由作图可得，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形的面积为；
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
由作图可得，平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
阅读理解
激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离．
发现原理
被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像．
建立模型
如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，线段与直线交于点，．
解决问题
（1）作于点，设，请用含和的式子表示的长度；（）若，，，求的长度．（结果精确到个位，参考数据：，，）
80
80
81
82
82
83
83
84
85
86
86.5
87
87
88
88.5
89
平均数
中位数
众数
优秀率
83.3
84
78
46%
阅读理解
激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离．
发现原理
被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像．
建立模型
如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，线段与直线交于点，．
解决问题
（1）作于点，设，请用含和的式子表示的长度；（）若，，，求的长度．（结果精确到个位，参考数据：，，）
80
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88.5
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平均数
中位数
众数
优秀率
83.3
84
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