福建省厦门双十中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（含答案）

这是一份福建省厦门双十中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， C，已知向量满足，设复数，则以下结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上
2.选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效，
4.考试结束后，将答题卡交回.
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1.已知，则等于（ ）
A.10 B.-10 C.3 D.-3
2.若复数满足，则（ ）
A.-2 B.0 C. D.2
3，下列结论正确的是（ ）
A.用一个平面去截一个圆台，得到的图形可能是平行四边形
B.有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台
C.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
D.用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
4.在中角所对边满足，则（ ）
A.4 B.5. C.6 D.6或
5.在平行四边形中，，则（ ）
A.-12 B.-8 C.8 D.12
6.某中学开展结合学科知识的动手能力大赛，参赛学生甲需要加工一个外轮廓为三角形的模具，原材料为如图所示的是边上一点，，要求分别把的内切圆裁去，则裁去的圆的周长为（ ）
A. B. C. D.
7.已知是所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ）
A.1 B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（ ）
A. B.
C. D.与的夹角为
10.设复数，则以下结论正确的是（ ）.
A. B.
C.是方程的根 D.
11.已知锐角三个内角的对应边分别为，且.则下列结论正确的是（ ）
A.的面积最大值为
B.的取值范围为
C.的值可能为3
D.的最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设为复数，若，则的最大值为__________.
13.已知为单位向量，且，则在上的投影向量为__________（用或表示）
14.已知在所在平面内，分别为线段的中点，直线与相交于点，若，则的最大值为__________.
四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知，当为何值时：
（1）与共线；
（2）与的夹角为.
16.（本小题满分15分）
已知的内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长和外接圆的面积；
（3）若，求的值.
17.（本小题满分15分）
已知的内角所对的边分别为，且.
（1）求的大小；
（2）为内一点，的延记线交于点，__________，求的面积.
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题.
①为的外心，；
②为的内心，；
③为的重心，.
18.（本小题满分17分）
为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部门拟在以水源为圆心的空地上，规划一个形状为四边形的动植物园.如图：四边形内接于圆为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）.又根据规划已知千米，千米.
（1）若，且，求边的长？
（2）若千米，求该动植物园区面积的最小值？
19.（本小题满分17分）
在中，对应的边分别为
（1）求；
（2）奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Luis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式：
②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作垂线，垂足分别为，求的最小值.
2023级高一数学必修第二册第一次阶段性训练-参考答案
1-8BDCCACBD
9.BD 10.ABD 11.BC
12.3 13. 14.
8.【详解】和相互垂直，则，则，结合图象，
，则，因为恒成立，则，即
，则，
法1：
对称轴时：，即
法2：，因为，所以向量的终点共线（起点重合），则的面积，所以.
11.【解析】因为为锐角三角形，所以，解得，同理可得.由正弦定理得，所以，因为，所以，所以；所以，因为，所以，所以.
A选项，，A错误；
选项，由余弦定理得，即，所以，所以，因为，所以正确；
选项，由射影定理得.正确；
D选项，当且仅当时取等号，但，而，所以，故，等号取不到，不正确.故选：
14.【详解】，且为线段的中点，所以，
则，设，则
，且和共线，，所以.
故为线段的中点，且，所以
且，若，则，
即，故，当且仅当时，等号成立；，当的最大时，即最小时，此时.
15.【详解】（1），所以.因为与共线，所以，4分解得.
（2）因为，所以，，
因为与的夹角为，所以.
化简得12分解得.
16.【详解】（1）由，由正弦定理，
从而有，
.
（2）因为，所以，
由余弦定理得：，即，
解得，由，
（3）因为，所以，所以，
所以，
.
17.【详解】（1），即
由正弦定理得，，即，
又
（2）设外接圆半径为，则根据正弦定理得，，
若选①：为的外心，则为外接圆半径，，与所给条件矛盾，故不能选①
若选②：为的内心，，
由得，
，即，
由余弦定理可得，即，
即，
.
若选③：为该三角形的重心，则为线段的中点且，
又，即，
又由余弦定理得，即，
解得，
18.【详解】（1），则
在中，，即
在中，，
由正弦定理知；，即，
则千米
（2）设，则，在中：
在中：
则，得
所以
.
.
因为圆心在的内部或边界，所以，
则，所以.
19.【详解】（1）由正弦定理得即
由余弦定理有，若，等式不成立，则，所以
因为，所以.
①设，由，得
从而即
②.
又
.
由三维分式型柯西不等式有.
当且仅当即时等号成立.
由余弦定理得，所以即，
则令，则.
因为.得，当且仅当时等号成立.
所以.则.
令；则在上递减，
当即时，有最大值，此时有最小值.