福建省厦泉五校2024-2025学年高一下学期4月期中考试 数学 含解析

这是一份福建省厦泉五校2024-2025学年高一下学期4月期中考试 数学 含解析，共8页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第 = 1 \* ROMAN I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，，则（ ）
A．B．C．-3D．3
2．（ ）
A．B．C．D．
3．已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ）
A．B．C．D．
4．用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知，则的面积为（ ）
A．B．C．8D．
5．若是三角形的一个内角，且，则等于（ ）
A．B．或C．D．或
6．在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知夹角为，且，则等于（ ）
A．B．C．D．10
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分.
9．给出下列命题，不正确的有（ ）
A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若为非零向量，则与同向
C．若则 D．已知λ，μ为实数，若，则与共线
10．已知，则的可能取值为（ ）
A．B．1C．2D．不存在
11．已知函数在处取得最小值，与此最小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象
C．在区间上单调递减 D．在区间上的值域为
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．已知，为虚数单位，若为实数，则 ．
13．将边长为的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的旋转体的体积为 ．
14．已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为 .
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设都是第二象限的角，已知 .
(1)求的值；
(2)求的值.
16．设，，，为平面内的四点，且，，.
(1)若，求点的坐标；
(2)设向量，若与平行，求实数的值.
17．已知函数.
(1)求的最小正周期及对称轴、对称中心；
(2)求单调递增区间；
(3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
A
B
E
D
C
F
18．如图，在梯形中，，，，为线段上的点，满足记，．
(1)用，表示向量；
(2)求的值；
(3)设交于，求．
19．的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)已知，①为的外心，求的值；
②若为锐角三角形，，求的取值范围.
数学科参考答案及评分标准
12．
根据复数除法运算、复数为实数列方程求得.
【详解】依题意，为实数
所以.
故答案为：
13．
分析可知，旋转体为圆柱，确定该圆柱的底面半径和高，结合柱体的体积公式即可得解.
【详解】如下图所示，
由图可知，旋转体是底面半径为，高为的圆柱，
故该旋转体的体积为.
故答案为：.
14．
根据题意，利用向量的数量积的运算和投影向量的计算方法，求解即可.
【详解】因为，所以，又，
所以向量在向量上投影向量为，故所求坐标为.
故答案：.
15．(1)
(2)
（1）先由同角三角函数的关系可得，再由余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得，再由正切的和差角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为都是第二象限的角，由可得(2分)，
由可得(4分)，
则（公式5分，结果6分）.
（2）因为（8分），（10分），
则（公式11分，结果13分）.
16．(1)
(2)
根据平面向量的坐标运算以及相等向量、共线向量的坐标运算即可得解.
【详解】（1）设点，则,（3分）.
因为，
所以，即得（6分）.
所以点的坐标为（7分）.
（2）由题意得，（9分）
所以，（11分）.
因为，所以（13分），
解得（15分）.
17．(1)，对称轴为，对称中心为
(2)
(3)
【详解】（1）因为
（4分），
即，所以的最小正周期（5分），
令，解得，故对称轴为（6分）；
令，解得，故对称中心为（7分）.
（2）令（9分），
解得，所以单调递增区间为（11分，没有标注扣1分）；
（3）当时，，所以（13分），
则在上的值域为（14分），
因为不等式恒成立，所以，即实数的取值范围为（15分）.
18．(1)
(2)
(3)
（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算得到结果即可.
A
B
E
D
C
F
（2）由向量的数量积定义和向量模的求法求解即可.
（3）由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可.
【详解】（1）如图，连接，
因为，，
所以（2分），因为，所以，
由向量的加法法则得（4分），
故，即成立（6分）.
（2）由于，可得，又有，
所以，故（10分）.
（3）由向量的减法法则得（11分），
由于，可得（12分），又有，
得到，故（13分），
则（15分），
由上问得，故（17分）.
19．(1)
(2)①
②
【详解】（1）因为，由正弦定理得（1分），
故（3分），
在中，，，所以，，则（4分），
可得，所以，所以（5分）.
①（6分）
（8分）
（9分）
②由正弦定理可得（为外接圆的半径）（10分），
所以，（11分），
因为，则，（12分），
所以（14分），
因为为锐角三角形，则，解得（15分），
则，，故（17分）.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
D
B
D
A
D
CD
BD
题号
11









答案
ABD