2025年北京海淀区高三二模数学试题及答案

这是一份2025年北京海淀区高三二模数学试题及答案，共11页。试卷主要包含了05，5 5等内容，欢迎下载使用。
2025.05
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知向量. 若与共线，则
（A） （B） （C） （D）
（2）已知集合，. 若，且，则
（A）（B） （C） （D）
（3）已知.若动点满足，则的轨迹方程为
（A） （B）
（C） （D）
（4）在的展开式中，的系数为，则=
（A） （B）
（C） （D）
（5）圆心为且与轴相切的圆的方程是
（A） （B）
（C） （D）
（6）设，，且，则
（A）（B） （C） （D）
（7）已知是等差数列，是等比数列，其中，，则
（A）（B） （C） （D）
（8）已知是非零平面向量．则“”是“”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）在锐角△中，，则的一个取值可能为
（A） （B） （C） （D）
（10）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中，为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的最低一行“E”形视标笔划宽度（单位：毫米），为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，是与无关的常量.
图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分. 因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为
（参考数据：，）
（A）4.5 （B）4.6 （C）4.8 （D）5.0
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11 ）若为虚数单位，则 ．
（12）抛物线的焦点坐标为 ．
（13）在平面直角坐标系中，若点绕原点逆时针旋转可得到点，则___,点到直线的距离之和的最大值为____．
（14）已知函数，则的值域为_____，曲线的对称中心为_____.
（15）如图，在正方体中，，为上底面（包含边界）内的两个动点，且满足. 给出下面四个结论：
①当与重合时，五面体的体积为；
②记直线分别与平面和平面所成角为，，则的值不变；
③存在,，使得；
④存在,，使得五面体中，面所在平面与其余四个面所在平面的四个夹角中，有三个相等.
其中，所有正确结论的序号为_______.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知函数（）.
（Ⅰ）若，求及的单调递增区间；
（Ⅱ）已知在区间上单调递增，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期.
条件①：；
条件②：是的一个极值点；
条件③：是的一个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（17）（本小题14分）
如图1,五边形中，，，，. 将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）记直线与平面所成角为. 若，求长.
（18）（本小题13分）
某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋.在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下(单位：人)：
假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率.
（Ⅰ）从该市的全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率；
（Ⅱ）从该市初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设该市A学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为，从A学校的全体中小学生中随机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为. 试比较与（Ⅰ）中的的大小. （结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知椭圆.设直线：交椭圆于不同的两点，与轴交于点.
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）若点满足且，求的大小.
（20）（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的极值点个数；
（Ⅲ）若且，都有成立，直接写出的取值范围.
（21）（本小题15分）
记表示有穷集合的元素个数.已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”：
①，其中；
②，其中；
③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得.
（Ⅰ）设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）

（Ⅱ）已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：
.
证明：
（i）当时，；
（ii）．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A（2）B（3）D（4）A （5）D
（6）C（7）C（8）B（9）B （10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12） （13）2，
（14） （15）①②④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）

.
若，则，
所以，.
因为的单调增区间为，
所以，
所以，.
所以的单调递增区间为，.
（Ⅱ）选条件①.
因为，在区间上单调递增，
所以，即.
因为，，
所以，即，
又因为在区间上单调递增，
所以，即，
又，
所以，，
所以最小正周期.
（Ⅱ）选条件 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②.
因为，在区间上单调递增，
所以，即.
因为是的一个极值点，在区间上单调递增，
所以，
所以，即，
又，
所以，
所以最小正周期.
（17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
所以，
又因为，，
所以平面.
（Ⅱ）过点在平面内作的垂线，
因为平面，
所以，.
所以建系如图，设，，
则,，，
所以，
设平面的法向量为，则
即
令，则，于是，
所以，，
所以，即.
其它建系：
（Ⅱ）过点作，过作交于，
因为平面平面，
所以.
设，，
则,，，…7分
所以，，
设平面的法向量为，则
即
令，则，，
所以，，
所以，即.
（18）（本小题14分）
解：
（Ⅰ）依据题目条件用频率估计概率.
（Ⅱ）从该市初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人, 用频率估计概率
初中生愿意购买白色新品跑鞋的概率为，
高中生愿意购买白色新品跑鞋的概率为,
的取值范围为,
；
；
.
故的分布列为：
期望.
（Ⅲ）.
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）当时，为，
代入椭圆方程得，解得，
所以.
（2）由 得.
，
解得，即.
设中点为，
则，
可得，即.
由题意可得，
所以，
可得，
又因为，
，
，
因为，
所以.
在中，，
所以.
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）的定义域为.
因为，
所以，，
所以，
所以曲线在处的切线方程为.
（Ⅱ）由题设
所以，
因为，所以，，，
所以在上恒成立，
所以在区间上单调递减，.
①当时，对于任意的恒成立，
所以在上单调递增，
所以在上无极值点.
②当时，，， …9分
所以存在唯一的，使得，其中，
与的变化情况如下表：
所以在上有一个极大值点，无极小值点.
综上，当时在上的极值点个数为0.
当时在上的极值点个数为1.
（Ⅲ）取值范围为.
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）是平衡的，不是平衡的．
（Ⅱ）（ⅰ）当时，对于中的每个元素，考虑.
由③知存在唯一的，满足，则.
将每一个对应到，
若，就有，否则且与③矛盾．
所以．
（ⅱ）对中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次），
一方面总个数就是，
另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是，
所以．（*）
不妨设中最小的（之一）为，
且，由②③知.
再不妨设（）．
由（i）的证明方法可证：当时，，
由③知（），，
所以（），，
又因为，所以都不大于，
全部相加得，
由的最小性知，
结合（*）可得
，
所以．
颜色
小学生
初中生
高中生
愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
黑色
80
20
40
20
20
20
白色
60
40
30
30
30
10
0
1
2
↗
极大值
↘