广西壮族自治区柳州市区域联合校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题（解析版）

这是一份广西壮族自治区柳州市区域联合校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】集合，所以.
故选：A.
2. 设，则“”是“”（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，则，但，不一定有，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 (x)，
∴函数为奇函数，故排除A，D，
因为x在上单调递增，在上单调递增，
即在上单调递增，故排除B.
故选：C.
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为为增函数，为减函数，
所以，，且
又因为为减函数，所以，
所以.
故选：B.
5. 已知，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
6. 已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为（ ）
A. 4B. C. 12D.
【答案】C
【解析】设该扇形的弧长为，圆心角为，半径为，
由，可得，解得，故.
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，
，而，
，为钝角，，
，．
故选：C．
8. 已知函数若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数的四个不同的零点，，，，
就是函数与两个图象四个交点的横坐标，
作出函数的图象，
对于A，，
当时，，令，解得，
结合图象可知，故A错误；
结合图象可知，解得，故B正确；
又，且，
所以，即，所以，故C错误；
根据二次函数的性质和图象得出，所以，故D错误.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下结论正确的是（ ）
A. 若角的终边上一点的坐标为，则
B. 不等式的解集是
C. 函数且的图象恒过点
D. 若，且，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】A：由题设，对；
B：，解得或，错；
C：由，即函数图象恒过点，对；
D：由题设，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，对.
故选：ACD.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 将的图象向右平移个单位，得到的图象
B.
C. ，都有
D. 为函数的一条对称轴
【答案】BC
【解析】由题设知，，则，
所以，又，
所以，则，，可得，
所以，
由，故A错；
，B对；
由的最小值、最大值分别为，
所以，都有，C对；
，显然不是对称轴，D错.
故选：BC.
11. 已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ）
A.
B. 为奇函数
C.
D.
【答案】ACD
【解析】对A：令，，则，
因为，所以，故A正确；
对B：令得：，结合可得，
所以为偶函数，故B错误；
对C：令可得：，因为，
所以，
进一步可得：，
又，，故，故，
依次有，
所以，故C正确；
对D：令可得：；
用代替，得：
，
结合C的结果，可得：
，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数定义域为__________.
【答案】
【解析】由题设，可得且，
所以函数定义域为.
13. 点在幂函数的图象上，则__________.
【答案】
【解析】令，则，故，
所以，则.
14. 函数在上的值域为__________.
【答案】
【解析】，
令，又，则，
函数可化为：，
由二次函数的性质可得：当时，，当时，.
所以函数在上的值域为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知定义在上的偶函数，当时，，且.
（1）求的值，并求函数在上的解析式；
（2）求方程解集.
解：（1）因为是定义在上的偶函数，且，所以，
即，解得，所以时，，
设，则，则，
故.
（2）由，分类讨论如下，
当时，；
当时，；
综上所述，方程的解集为或.
16. 已知.
（1）求的值；
（2）若且，求的值.
解：（1），
，；
.
（2），
，
，
由（1）知：，则.
17. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调减区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
解：（1）因为.
由，所以函数的最小正周期为.
由，得.
所以函数的单调减区间为.
（2）因为，所以.
所以，函数在上的最小值为0，最大值为2.
18. 某专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分.专家认为，当注意力指数大于或等于80时定义为听课效果最佳.
（1）试求的函数关系式.
（2）若某个时间段听课效果不是最佳，则建议老师多提问，增加学生活动环节.问哪些时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？请结合函数图象和解析式，求解不等式，说明理由.
解：（1）当时，设，
将代入，得，解得，
所以时，，
当时，将代入解析式，得，解得，
所以时，，
综上，.
（2）当时，令，得，
当时，令，得，
所以在和两个时间段，建议老师多提问，增加学生活动环节.
19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.
（1）当时，求函数的不动点；
（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，
所以，解得或，
所以函数的不动点为和.
（2）函数恒有两个相异的不动点，即方程有两个不等的实根，
即方程有两个不等的实根，
恒成立，即恒成立，
所以，解得，
故当时，函数恒有两个相异的不动点，则的取值范围为.
（3）∵，
所以，
因为，所以，
由于对勾函数在单调递增，所以，
所以.故的取值范围为.