河北省邢台市四县兄弟学校联考2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

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这是一份河北省邢台市四县兄弟学校联考2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 设集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
2. 如果，，那么下列不等式中正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A、B，若，，则，不成立，故AB错误；
对于C，若，，则不成立，故C错误；
对于D，因为，，所以，故D正确.
故选：D.
3. 设是定义在上奇函数，当时，，则（）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】因为是定义在上的奇函数，且当时，，
所以.
故选：D.
4. 若代数式有意义，则实数的取值范围为（）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】由题可得，解得或，
故实数的取值范围为．
故选：D.
5. 若，则函数的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以．
当且仅当，即时取等号，即最小值为.
故选：B.
6. 若，为第四象限角，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，利用可得；
可得；
又为第四象限角，所以，即.
故选：D.
7. 若幂函数的图象经过点，则（）
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】设幂函数，由于图象经过点，所以，
即，
所以，则.
故选：D.
8. （）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（）
A. 的最大值为2
B. 函数的图象关于点对称
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 函数区间上单调递增
【答案】AB
【解析】函数，
对于选项A，，A正确；
对于选项B和C，将代入函数的解析式，得，
函数的图象关于点对称，B正确，C错误；
对于选项D，函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，D不正确.
故选：AB.
10. 下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（）
A. 有些菱形是正方形B. 若，则
C. ，D. ，
【答案】ACD
【解析】对于A，命题等价于存在一个菱形是正方形，显然正方形都满足该条件，故A正确；
对于B，等价于，则，这不是存在量词命题，故B错误；
对于C，对有，故C正确；
对于D，对有，故D正确.
故选：ACD.
11. 下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】选项A：幂函数的定义域为R，为偶函数，且在上单调递增，故A错误；
选项B：指数函数的定义域为R，为非奇非偶函数，且上单调递增，故B错误；
选项C：该函数的定义域R，记，则，所以是偶函数，
当时，，所以在上单调递减，故C正确；
选项D：幂函数的定义域为，为偶函数，且在上单调递减，故D正确.
故选：CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】函数的单调递增区间是，
而函数在上单调递增，则，即，解得，
所以实数a的取值范围为.
13. 二倍角的正弦公式__________，其中，简记为．
【答案】
【解析】略
14. __________．
【答案】
【解析】.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）证明：函数在区间上是增函数；
（2）当，求函数的值域.
解：（1）任取，且，
由，
因，故，，故，
即函数在区间上是增函数.
（2）由（1）已证：函数在区间上是增函数，故在上也是增函数，
则，即，故函数的值域为.
16. 已知幂函数经过点.
（1）求此幂函数的表达式和定义域；
（2）已知点，点在此幂函数的图象上，且满足，求实数的取值范围.
解：（1）幂函数经过点，，即，解得，
；
因为，所以的定义域为.
（2）由于函数在其定义域上单调递减，
又因为点，点在此幂函数的图象上，且满足，
可得，解得，
所以.
17. 已知函数的部分图象，如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域．
解：（1）由图象可知函数的最大值为，最小正周期，
可得，，所以．
将代入，可得，
由，则，解得，所以．
（2）将函数的图象向右平移个单位后，
可得的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象．
由，可得，
又函数在上单调递增，在单调递减，
，
，
函数在的值域．
18. 设函数，其中，解不等式：.
解：因函数的定义域为，且是严格的增函数，
故由可得，
由①可得，或；
由②可得，.
故不等式的解集为.
19. 已知二次函数．
（1）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）若对一切实数都成立，求的取值范围；
（3）求关于的不等式的解集．
解：（1）因为，
当时，，
则为图象的对称轴，
所以，，
函数在区间上的最大值为，最小值为.
（2）因为对一切实数都成立，即恒成立，
即恒成立，
所以，解得，即.
（3）依题意，即，
当时，解得或；
当时，即，解得；
当时，解得或；
综上可得，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.