江苏省扬州市广陵区2024年中考第二次模拟考试数学试题（解析版）

这是一份江苏省扬州市广陵区2024年中考第二次模拟考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果规定收入为正，那么支出负，收入3元记作元，支出5元记作（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】A
【解析】收入3元记作元，支出5元记作元．
故选：A．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、不能合并，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误；
故选C．
3. 《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可列出方程，故选D．
4. 杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成.秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重.如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】这个常见的一种秤砣的主视图是，
故选A．
5. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）

A. 20°B. 30°C. 50°D. 70°
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
6. 一个不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是( )
A. 3个球都是黑球B. 3个球都是白球
C. 3个球中有黑球D. 3个球中有白球
【答案】C
【解析】袋中一共6个球，有4个黑球和2个白球，从中一次摸出3个球，可能3个都黑球，也可能2个黑球1个白球，也可能2个白球1个黑球，不可能3个都是白球，
因此3个球都是黑球、3个球中有白球是随机事件，3个球都是白球是不可能事件，3个球中有黑球是必然事件，故C正确．
故选：C．
7. 已知点都在反比例函数的图象上．下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】反比例函数的图象分布在第二四象限，在每个象限内，随增大而增大；
A、反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，若，则，故原说法错误，不符合题意；
B、反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，若，则，正确，符合题意；
C、两点不在同一象限时，若，不成立，原说法错误，不符合题意；
D、两点在同一象限时若，，不成立，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
8. 若从甲、乙、丙、丁、戊五位老师中任选两位一起帮图书馆整理书籍，所需的时间如下表：如果选一个人单独去整理，花时间最少的是
A. 甲B. 戊C. 丁D. 丙
【答案】D
【解析】根据甲、乙与乙、丙合作所需时间进行对比知，所需的时间是甲丙；
根据丙、丁与乙、丙合作所需时间进行对比知，所需的时间是丁乙；
根据丙、丁与丁、戊合作所需时间进行对比知，所需的时间是戊丙；
根据戊、甲与丁、戊合作所需时间进行对比知，所需的时间是丁甲；
根据甲、乙与戊、甲合作所需时间进行对比知，所需的时间是乙戊；
综上所述，所需时间的大小关系为：丁甲乙戊丙．
所以，花时间最少的是丙．故选：D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 代数式有意义的条件是______．
【答案】
【解析】由题可知，，
解得．
故答案为：．
10. 2024年3月31日，我市重大城建项目——大运河“十里外滩”综合整治提升项目正式开工建设，预计总投资约82.88亿元，数据82.88亿用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】数据82.88亿用科学记数法表示为，
故答案为：．
11. 将甲、乙两组各5个数据绘制成折线统计图（如图），两组数据的平均数都是13，设甲、乙两组数据的方差分别为、，则________（填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】由折线统计图可得，甲的数据波动较大，则，
故答案为：．
12. 化简的结果是______．
【答案】
【解析】原式，
故答案为：x．
13. 若圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角是__________．
【答案】
【解析】圆锥的底面周长是：，
设圆心角的度数是，则，
解得：．
故侧面展开图的圆心角的度数是．
14. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为______米．
【答案】2.6
【解析】由题意得：，，，
，，，，
解得：，
为2.6米，
故答案：2.6．
15. 如图，在中，，则的度数为___________．

【答案】
【解析】∵，∴，∴．
16. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为______．
【答案】
【解析】如图，连接AC、BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，∴∠ADC＝∠ABC．
在Rt△ACB中， sin∠ABC=，
∵AC＝2，BC＝3，∴AB=，
∴sin∠ABC==，∴sin∠ADC=．
故选：A．
17. 如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB＝12，BC＝9，则EF的长是_____．

【答案】1.5
【解析】∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE＝AB＝6，DE∥AB，BD＝BC＝4.5，
∴∠ABF＝∠DFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠DBF，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴DF＝DB＝4.5，
∴EF＝DE﹣DF＝6﹣4.5＝1.5，
故答案为1.5．
18. 如图，在菱形中，，，点E为对角线上一动点，，于点F，连接．在点E运动的过程中，长的最小值为 _____．
【答案】1
【解析】连接交于点O，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴等边三角形，
∴，
∴．
∵，于点F，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点F在与夹角为60°且过点O的直线上，当点F运动到边上时有最小值，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴长的最小值为1．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算或化简：
（1）；
（2）．
解：（1）原式；
（2）原式．
20. 解不等式组：并在数轴上表示出不等式组的解集．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
21. 甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲小区用气量频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）
b．甲小区用气量的数据在这一组的是：
15 15 16 16 16 16 18 18 18 18 18 19
c．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为．在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为．比较，的大小，并说明理由；
（3）估计甲小区中用气量超过15立方米的户数．
解：（1）由题意可知：；
（2）由表可知：
甲，乙两小区用气量的中位数分别是16、19，平均数分别为：17.2、17.7，
∴，，∴；
（3）抽取的甲小区30户中用气量超过15立方米的户数所占的比例为：
甲小区中用气量超过15立方米的户数为：户．
22. 某市开展“弘扬家风家教，创建文明家庭”系列活动，某校团委积极响应，为宣传活动招募学生宣传员，八年级（1）、（2）班共有六名学生报名，其中八（1）班两名男生、一名女生，八（2）班一名男生、两名女生．
（1）现从这六名学生中随机抽取一名学生作为宣传员，抽取的学生是女生的概率是______．
（2）现从八年级（1）、（2）班各随机抽取一名学生作为宣传员，请用列表法或画树状图法求抽取的两名学生是一男一女的概率．
解：（1）∵从这六名学生中随机抽取一名学生作为宣传员，共有种等可能的结果，其中抽取的一名学生是女生的结果有种，
∴抽取的学生是女生的概率是，
故答案为：；
（2）根据题意，画树状图如下：
由树状图可知共有种等可能的结果，其中抽取的两名学生是一男一女的结果数为种，
∴（抽取的两名学生是一男一女），
∴抽取的两名学生是一男一女的概率为．
23. 某中学为了丰富学生的课外体育活动，购买了篮球和足球．已知篮球的单价是足球的单价的3倍，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个．求足球的单价．
解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：足球的单价是30元．
24. 如图，已知，点C在射线上，点D，E在射线上，其中，四边形是平行四边形．
（1）请只用无刻度的直尺画出菱形，并说明理由．
（2）作出（1）中菱形后，若，，求的长．
解：（1）如图，连接，相交于点G，连接并延长，交的延长线于点N，连接，则四边形是菱形，即菱形为所求．
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
即，
∴四边形是菱形．
（2）∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
25. 如图，为的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，交的延长线于点E，延长，交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的长．
（1）证明：如图，连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：连接．
∵是的直径，
，
解得
26. 阅读感悟：
代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：
例：已知实数x、y满足，证明：．
证明：因为且x，y均为正，
所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
所以．（不等式的传递性）
解决问题：
（1）请将上面的证明过程填写完整．
（2）尝试证明：若，则．
证明：（1）因为且，均为正，
所以，．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变），
所以（不等式的传递性），
故答案为：，；
（2），
，
．
27. 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
实践探究：
（1）如图1，若，则的值为______；
（2）如图2，当，时，求的值；
问题解决：
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．
解：（1）根据折叠的性质，得，，
，
四边形是矩形，
∴，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
，，
在矩形中，，，
，，
，，，
，
，，，
，
解得：或（不合题意，舍去），
，
，
，
，
，
；
（3）过作于点，如图，
平分，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设，，则，，，
，
中，由勾股定理得：，
即，
即，
，
．
28. 某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
（1）以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，且米，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
解：（1）根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，，
设第一象限内的抛物线解析式为，
将点代入物线解析式，，
解得，
第一象限内的抛物线解析式为；
（2）根据题意，令，
即，
解得，，
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示，
∵，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
即，
射灯射出的光线与地面成角，，
，，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．合作方式
甲、乙
乙、丙
丙、丁
丁、戊
戊、甲
所需时间（h）
13
9
10
12
8
小区
平均数
中位数
众数
甲
17.2
18
乙
17.7
19
15