湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题（含答案）

这是一份湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题（含答案），共17页。试卷主要包含了下列函数的图象与直线相切的有等内容，欢迎下载使用。
由 长沙市一中 常德市一中 湖南师大附中 双峰县一中 桑植县一中
武冈市一中 湘潭市一中 岳阳市一中 株洲市二中 联合命题
炎德文化审校、制作
命题学校：长沙市一中 审题学校：双峰县一中
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ）
A.平均数 B.相关系数 C.决定系数 D.方差
2.已知是等比数列，是其前项和.若，则的值为（ ）
A.2 B.4 C. D.
3.关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（ ）
A.在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称
B.
C.必为实数，必为纯虚数
D.若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根
4.已知为双曲线上一动点，则到点和到直线的距离之比为（ ）
A.1 B. C. D.2
5.如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
6.某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（ ）

7.已知函数，若沿轴方向平移的图象，总能保证平移后的曲线与直线在区间上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.过点的动直线与圆交于两点，在线段上取一点，使得，已知线段的最小值为，则的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列函数的图象与直线相切的有（ ）
A. B.
C. D.
10.在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.若，则为直角三角形
C.若为锐角三角形，的最小值为1
D.若为锐角三角形，则的取值范围为
11.如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A.若点满足，则动点的轨迹长度为
B.三棱锥体积的最大值为
C.当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为
D.当在底面上运动，且溚足平面时，线段长度最大值为
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.对于非空集合，定义函数已知集合，若存在，使得，则实数的取值范围为__________.
13.已知椭圆与双曲线，椭圆的短轴长与长轴长之比大于，则双曲线离心率的取值范围为__________.
14.函数在范围内极值点的个数为__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（木小题满分15分）
如图所示，半圆柱的轴截面为平面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为一条母线，为的中点，且.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
16.（本小题满分15分）
猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
（1）求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
（2）甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
17.（本小题满分15分）
已函数，其图象的对称中心为.
（1）求的值；
（2）判断函数的零点个数.
18.（本小题满分17分）
已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
19.（本小题满分17分）
直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1）若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；
（2）若点不在线族：的任意一条直线上，求的取值范和直线族的包络曲线；
（3）在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.
湖南省2024届高三九校联盟第二次联考
数学参考答案
命题学校：长沙市一中 审题学校：双峰县一中
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的每个这项中，只有一项是符合题目要求的）
1.C 【解析】平均致与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的就计量：变量y和x之间的相关系数”的绝对值总大，则变量y和x之间线性相关关系越强；用决定系数R来刻画回归效果，R越大说明拟合效果总好：综上选C
2.C 【解析】，化简得，整理得，又，.故选C.
3.D 【解析】对于选项A，表示复数和的点关于实轴对称，故错误：对于选项B､选项C，当时均不成立，故错误.故选D
4.C 【解析】取双曲线上一点，则，故选C.
5.B 【解析】将四面体补形成长方体，长､宽､高分别为，外接球直径等于体对角线长故，所以外接球表面积为.故选.
6.D 【解析】存入大额存款元，按照复利计算，可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列，，所认，可得，故选D.
7.A 【解析】由题知，，若沿轴方向平移，考点其任意性，不妨设得到的函数，令，即，由正弦曲线性质知，至少有2解，至多有3解，则自变量的区间长度在到之间，耶，那，选A.
8.A 【解析】圆心，半径为2，所以圆与解相切，设切点为.则，连接，则，则.
设的中点为，连接，则，
语圆心列直线的距离为，则.
由可得，
因为.所以.
因此，解得：，故选A.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.AC 【解析】选项A中，与相切于点；选项B中，与没有交点；选项C中，与相切于点；选项D中，与有三个交点，，，均不是切点.
10.ABD 【解析】对于中，由正弦定理得，由，得
.即，由，则，故，所以或，即或（舍去），即正确：
对于，结合和正弦定理知，又，数，B正确；
对于，在锐角中，，即.
故，C错误；
对于，在锐角中，由.
由对勾函数性质知，，D正确；故选ABD.
11.CD 【解析】对，易知平面平面，故动点的轨迹为矩形，动点的轨迹长度为，所认错误；
对因为，而的面积为定值，要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面距离最大，易知，点是正方体意向到平面距离最大的点，错误；
对C：连接AC，，以B为圆心，为半径画弧，如图1所示，
当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，
又，
弧长度，故点的轨迹长度为，故正确；
对D；取的中点分别为，
连接，如图2所示，
因为面面，故面，
，面面，故面；
又面，故平面面；
又，故平面与平面是同一个平面.
则点的轨迹为线段：
在三角形中，
则，故三角形是以为直角的直角三角形；
故，故长度的最大值为，故正确.故选：.
三､填空题（本大题共3小题，年小题5分，共15分）
12. 【解析】由题知：可取，若.则，即集合，得，郎的取值范围为.
13. 【解析】因为.
14.2 【解析】.
当时，；当时，；
当时，和均为单调减函数，又在上是单调增函数，根据复合函数单调性可知为减函数，又，故函数在该区间上存在一个零点，该零点为函数的极值点；
从而函数在内一共有2个极值点.
四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.【解析】（1）由是直径可知，则是是等腰直角三角形，故，
由圆柱的特征可知平面，又平面，所以，
因为平面，则平面，
而平面，则，
因为，则，
，
所以，
因为平面，
所以平面，又平面，故.
（2）由题意及（1）易知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则，所以
，
由（1）知平面，故平面的一个法向量是
设是平面的一个法向量，
则有取，所以
设平面与平面夹角为，
所以，
则平面与平面夹角的余弦值为.
16.【解析】1）设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，
则；
则的所有可能取值为，
所以；
则的所有可能取值为，
所以.
参考答案一：由于，
由于，所以应该安装“”的顺序猜歌名.
参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率，所以应孩按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
其他合理答案均给分，
17.【解析】（1）图为函教的图象关于点中心付称，故为夺函数，
从而有，即.
，
.
所以解得故；
（2）法一：由（1）可知，，
当时，为单调增函教，，
，
函数有且仅有一个零点；
当时，有两个正根，满足，且，
数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，
函数有且仅有一个零点；
当时，有两个零点
当时，有两个根，满足，
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
函致有且仅有三个零点；
综上，当时，函数有三个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点
法二：由（1）可知，，今，则
可以转化为与两个这数图象交点的个数，
今，则，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增在区间上单调递增，
当单调递增时，趁于；
当x趋于1且比1小时，趋于+∞：当x趋于1且比1大时，趋于：
当单调递增时，趋于.
所以，当时，有三个交点；当时，有两个交点；当时，有一个交点.
综上，当时，函数有三个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点.
注意，如果是保留参数b，则答案为：
当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点.
18.【解析】（1）由①，当时，②，
①-②得，
当时，，
是首项为1，公比为的等比数列，故，
由③.由
得，又④.
④-③得，
的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.
得.
综上：；
（2）（i）在和之间新入个数，使成等差数列，
设公差为，则，
则.
⑤
则⑥
⑤-⑥得：，
（ii）由（1），又，
由已知，
假设是数量列或中的一项，
不妨设，
因为，所以，而，
所以不可能是数列中的项.
假设是中的项，则.
当时，有，即，令，
当时，；当时，，由知无解.
当时，有，即.所以存在使得是数列中的第3项.
故存在正整数使得是数列中的第3项.
19.【解析】（1）由定义可知，与相切，则圆的圆心到直线的距离等于1，则，叔.
（2）点不在直线族的任意一条直线上，所以无论取何值时，无解.
将整理成关于的一元二次方程；
.
若该方程无解，则，即.
证明：在上任取一点在该点处的切线斜率为，于是可以得到在点处的切线方程为：，即.
今直线族中，则直线为，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
而对任意那是抛物线在点处的切线.
所以直线族的包络曲线为.
（3）法一：已知，设，则.
.
由（2）知，在点处的切线方程为；同理在点处的切线方程为.
，所以.
因此，
同理：.
所以，
即，所以成立.
法二：过分别作准线的垂线，连接.
因为.
显然.
又由抛物线定义得：，故为线段的中垂线，得到，即.
同理可知，
所以，即.
则.
所以成立.
歌曲
猜对的概率
0.8
0.5
0.5
获得的奖励基金金额/元
1000
2000
3000
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
D
C
B
D
A
A
题号
9
10
11
答案
AC
ABD
CD