河南省新乡市原阳县第一高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（含答案）

这是一份河南省新乡市原阳县第一高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了给出下列四个命题，其中正确的是，设的内角所对的边分别为，且等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 命题人： 审题人： 使用日期：3月20日
说明：
1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。考试时间120分钟.
2.将Ⅰ卷和Ⅱ卷的答案都写在答题卷上，在试卷上答题无效.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。
1．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 AP⋅AB 的取值范围是（ ）
A．(−2，6) B．(−6，2) C．(−2，4) D．(−4，6)
2．在▱ABCD中，G为△ABC的重心，满足AG=xAB+yAD(x，y∈R)，则x+2y=（ ）
A．43 B．53 C．0 D．-1
3． 下列说法正确的是（ ）
A．若|a|=|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
B．若|a|=|b|，且a与b的方向相同，则a=b
C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；
D．若a//b，则a与b方向相同或相反
4．已知|a|=1，|b|=2，|2a−b|=4，则a与b夹角的余弦值为（ ）
A．－1 B．−12 C．0 D．1
5．已知a=(1，m)与b=(n，−4)共线，且向量b与向量c=(2，3)垂直，则m+n=（ ）
A．152B．163C．−103D．−2
6．已知非零向量a，b满足|a+2b|=7|a|=7|b|，则⟨a，b⟩=（ ）
A．π6B．π4C．π3D．2π3
7．已知平面向量a=(−1，2)，b=(2，0)，则a在b方向上的投影向量为（ ）
A．−2 B．−1 C．(−2，0) D．(−1，0)
8．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，∠AOB=150°，点E，F分别在AB，CD上，且FE=2OF，则AF⋅OE的取值范围是（ ）
A．[−6，152]B．[3−932，6]
C．[−32，3+932]D．[−6，3+932]
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的2分。有选错的得0分.
9.给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A.非零向量、满足，则与的夹角是
B.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若满足条件的有两个，则b的取值范围为
C.若单位向量、的夹角为，则当取最小值时
D.已知，，，若为锐角，则实数m的取值范围是
10.设的内角所对的边分别为，且.若点是外一点，，下列说法中，正确的命题是（ ）
A．的内角
B．一定是等边三角形
C．四边形面积的最大值为
D．四边形面积无最大值
11．在三角形ABC中，令CB=a，AC=b，若a+b=e1，a−2b=e2，|e1|=|e2|=1，e1⋅e2=12，则（ ）
A．e1，e2的夹角为π3
B．a=2e1+e23，b=e1−e23
C．a//b
D．三角形ABC的AB边上的中线长为76
12．图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法数学上叫做密铺，密铺的图形公共顶点处的角的度数合起来正好是360°，正三角形，正方形，正六边形都可以密铺.如图所示，是一个可密铺的正六边形ABCDEF，下列说法正确的是（ ）
A．AD⋅AB=|AB|2
B．AC+AE=32AD
C．AC−AE=BF
D．AD在AB上的投影向量为AB
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
填空题：本题共4小题。每小题5分，共20分.
13．已知向量 a ， b 的夹角为60°，| a |=2，| b |=1，则| a +2 b |= ．
14．如果平面向量a=(1，−2)，b=(−6，3)，那么向量a+b在a上的投影向量为 .
15.已知＝－eq \f(2,3)，则的值是________．
16.已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知向量 a=(−3，2)，b=(2，1)，c=(3，−1)，t∈R .
（1）求 |a+tb| 的最小值及相应的 t 值；
（2）若 a−tb 与 c 共线，求实数 t .
18．已知向量a=(3sinx，csx)，b=(csx，csx)，设函数f(x)=a⋅b.
（1）求f(x)在[0，π2]上的单调增区间；
（2）若对任意x∈[0，π2]，|f(x)−1|≤m恒成立，求m的取值范围.
19．在△ABC中，点P为△ABC所在平面内一点.
（1）若点P在边BC上，且BP=13PC，用AB，AC表示AP；
（2）若点P是△ABC的重心.
①求证：PA+PB+PC=0；
②若35sinA⋅PA+21sinB⋅PB+15sinC⋅PC=0，求cs∠BAC.
20．在ΔABC中，B=π3，点D在边AB上，BD=1，且DA=DC.
（1）若ΔBCD的面积为3，求CD；
（2）设∠DCA=θ，若AC=3，求θ.
21.如图，在中，，，，为边上的高.
(1)求的长；
(2)设，.
①若，求实数的值；
②求的最小值.
22．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 asinA+C2=bsinA
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.
数学参考答案
1．A 2．A 3．B 4．A 5．B 6．C 7．D 8．D
BC 10.ABC 11．ABD 12．ABD
13．23 14．(−75，145)
15.eq \f(\r(2),10) 16.（0，]
17．【答案】（1）解：∵a=(−3，2)，b=(2，1)，c=(3，−1)
∴a+tb=(−3，2)+t(2，1)=(−3+2t，2+t)
∴|a+tb|=(−3+2t)2+(2+t)2=5t2−8t+13=5(t−45)2+495≥495=755 ，当且仅当 t=45 时取等号，
即 |a+tb| 的最小值为 755 ，此时 t=45
（2）解：∵a−tb=(−3，2)−t(2，1)=(−3−2t，2−t)
又 a−tb 与 c 共线， c=(3，−1)
∴(−3−2t)×(−1)−(2−t)×3=0 ．
解之可得 t=35 .
18．【答案】（1）解：f(x)=a⋅b=3sinxcsx+cs2x=32sin2x+12cs2x+12=sin(2x+π6)+12，
当x∈[0，π2]时，则2x+π6∈[π6，7π6].
由π6≤2x+π6≤π2，可得0≤x≤π6，
故函数f(x)在[0，π2]上的单调增区间为[0，π6].
（2）解：当x∈[0，π2]时，则2x+π6∈[π6，7π6]，
故当2x+π6=π2，即x=π6时，函数f(x)的最大值为32，
当2x+π6=7π6，即x=π2时，函数f(x)的最小值为0，
所以|f(x)−1|在[0，π2]上的最大值为1，
由于对任意x∈[0，π2]，|f(x)−1|≤m恒成立，故m≥1，
故m的取值范围为[1，+∞).
19．【答案】（1）解：如图：
过点P作PD∥CA交AB于点D，PE∥BA交AC于点E，则四边形ADPE为平行四边形，
所以AP=AD+AE，由BP=13PC，所以ADAB=CPCB=34，即AD=34AB，
同理AEAC=BPBC=14，即AE=14AC，所以AP=34AB+14AC；
（2）解：①如图：
延长AP交BC于点F，因为点P是△ABC的重心，所以点F为BC的中点，且AP=2PF，
所以PA=−2PF，即PA+2PF=0，又PB+PC=2PF，所以PA+PB+PC=0；
②点P是△ABC的重心时，由①知PA+PB+PC=0及35sinA⋅PA+21sinB⋅PB+15sinC⋅PC=0，
所以35sinA：21sinB：15sinC=1：1：1，所以sinA：sinB：sinC=3：5：7，
由正弦定理知a：b：c=sinA：sinB：sinC=3：5：7，不妨设a=3t，b=5t，c=7t，t>0，
由余弦定理得cs∠BAC=b2+c2−a22bc=25t2+49t2−9t22×5t×7t=1314.
20．【答案】（1）解：因为SΔBCD=3，即12BC⋅BD⋅sinB=3，
又因为B=π3，BD=1，所以BC=4.
在ΔBDC中，由余弦定理得，CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅csB
即CD2=16+1−2×4×1×12=13，解得CD=13.
（2）解：在ΔACD中，DA=DC，因为∠A=∠DCA=θ，则∠ADC=π−2θ，
又AC=3，由正弦定理，有ACsin2θ=CDsinθ，
所以CD=32csθ.
在ΔBDC中，∠BDC=2θ，∠BCD=2π3−2θ，
由正弦定理得，CDsinB=BDsin∠BCD，即32csθsinπ3=1sin(2π3−2θ)，
化简得csθ=sin(2π3−2θ)
因为0