福建省莆田市中山中学2024-2025学年下学期七年级 数学期中考试试卷　（含解析）

这是一份福建省莆田市中山中学2024-2025学年下学期七年级 数学期中考试试卷　（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各实数中，为无理数的是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案．
【详解】解：A、是整数，为有理数，不符合题意；
B、0是整数，为有理数，不符合题意；
C、开方开不尽，是无理数，符合题意；
D、是分数，为有理数，不符合题意；
故选：C．
2. 平面直角坐标系中，点所在象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标．根据第四象限点的坐标特征，即可解答．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点在第四象限，
故选：D．
3. 如图，李老师家与学校相距，相对于李老师家，能够准确描述出学校位置的是（ ）
A. 学校在李老师家的南偏东30°方向
B. 李老师家在学校的南偏东30°方向
C. 学校在李老师家的南偏东30°方向，相距处
D. 李老师家在学校的南偏东30°方向，相距处
【答案】C
【解析】
【分析】平面直角坐标系是常见的确定位置的方法，同时通过确定一个参照物，用目标与参照物的距离，及目标相对参照物的方位角或其他规定的角度，也可以唯一确定目标的位置．
【详解】解：∵如图，李老师家与学校相距，
所以相对于李老师家，学校在李老师家的南偏东30°方向，相距处，
故选C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题时由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键．
4. 如图，在数轴上表示实数的点可能（ ）．
A. 点PB. 点QC. 点MD. 点N
【答案】C
【解析】
【分析】确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．
【详解】解：∵9＜15＜16，
∴3＜＜4，
∴对应的点是M．
故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴上点的对应关系，解题关键是应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解．
5. 下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根和立方根的性质，即可．
【详解】∵，
∴，
∴A错误，不符合题意；
∵，
∴B正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴C错误，不符合题意；
D、，
∴D错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平方根和立方根的知识，解题的关键是掌握平方根和立方根的性质．
6. 如图，直线相交于点，，垂足为，，的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线的定义，邻补角互补，先由垂线的定义得到，进而求出，则由邻补角互补可得．正确求出是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：D．
7. 如图，已知，直线与直线有公共点，命题“内错角相等”是一个假命题，下列选项可以作为反例的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据内错角的概念、平行线的性质对每个选项进行一一判断即可．
【详解】A．∵，
∴，
∴此命题不符合题意；
B．∵与虽然是内错角，但与不平行，
∴．
∴此命题符合题意；
C．∵与是同旁内角，不是内错角，
∴此命题不符合题意；
D．∵与是同旁内角，不是内错角，
∴此命题不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了内错角、平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质．
8. 点P的坐标是，则点P到x轴、y轴的距离之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，进行计算即可解答．
【详解】解：点的坐标是，
点到轴、轴的距离分别是3，2，
点到轴、轴的距离之比为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是熟练掌握点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值．
9. 如图，把矩形 ABCD沿EF折叠，若∠1=40°，则∠AEF=( )
A. 110°B. 115°C. 120°D. 130°
【答案】A
【解析】
【分析】如图设B的对应点为K．由AD∥BC，推出∠AEF+∠BFE=180°，求出∠BFE即可解决问题．
【详解】解：如图设B的对应点为K．
∵∠BFE=∠EFK，∠1=40°，
∴∠BFK=180°-40°=140°，
∴∠BFE=70°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE=180°，
∴∠AEF=110°，
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质、翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边平行于x轴，如果点A的坐标为，点C的坐标为，把一根长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按顺时针方向绕在长方形的边上，则细线的另一端所在位置的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，根据A的坐标为，点C的坐标为可得，，进而可求得长方形的周长为18，根据可得细线的另一端在线段上，且与点的距离是1个单位长度，进而可求解，确定细线另一端点所处的位置是解题的关键．
【详解】解：，，四边形为长方形,
，，
长方形的周长为：，
，
细线的另一端在线段上，且与点的距离是1个单位长度，
细线的另一端所在位置的坐标为，
故选A．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 已知方程，用含的代数式表示，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程，要用含的代数式表示，就要把方程中含有的项移到方程的左边，其它的项移到方程的另一边．
【详解】解：，
移项，得．
故答案为：．
12. 如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
【详解】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】此题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键．
13. 已知点在x轴上，则点P坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据在x轴上的点的纵坐标为0，求出x的值，进而求出P的坐标．
【详解】解：由于点在x轴上，
∴，
解得，
则
故．
故答案为：．
【点睛】本题考查点的坐标特征，解决本题的关键是熟悉x轴上点坐标的特征．
14. 如图，的边长为．将平移得到，且，则阴影部分的面积为 ______．

【答案】12
【解析】
【分析】根据平移特点得出，得出阴影部分的面积长方形的面积．
【详解】解：∵将平移得到，
∴，
∵，
∴四边形是长方形，，
∴阴影部分的面积长方形的面积．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是根据题意得出阴影部分的面积长方形的面积．
15. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为________．
【答案】##60度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过的顶点O作，则，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，过的顶点O作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
16. 2024年2月，“顺遂安康龙腾盛世”长江主题灯光秀在武汉展演，两条笔直且平行的景观道、上放置A、B两盏激光灯（如图所示）．A灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；B灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至就停止旋转．两灯不间断照射，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当两灯的光线互相平行时A灯旋转的时间是______秒．
【答案】1或8.5
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，一元一次方程的应用，
先设A灯旋转的时间t秒，根据B灯光束的运动情况得出，分两种情况，根据平行线的判定列出一元一次方程，求出解即可．
【详解】解：设A灯旋转的时间t秒，
∵B灯光束第一次达到需要的时间是（秒），
∴，
即．
由题意，满足条件的两个灯的光束互相平行，
如图，当时，，
解得；
如图，当时，
或，
解得或．
两灯的光线互相平行时A灯旋转的时间是1或8.5秒．
故答案为：1或8.5．
三、解答题（共9小题，共86分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算、立方根，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．利用乘方、绝对值、立方根的法则化简，再加减即可．
详解】解：
．
18. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】方程利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：，
①×2＋②得：5x=5，
解得：x=1，
把x=1代入①得：y=2，
则方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19. 已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了平方根和立方根的概念理解，无理数的估算，以及代数式求值，正确理解平方根和立方根的概念以及无理数的估算方法是解题的关键．
根据平方根和立方根的概念求出，根据无理数的估算方法求出，再代入求值即可．
【详解】解：∵的平方根是，
∴，
∴，
∵立方根是2，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上．
（1）请建立合适的平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为和，并写出点C的坐标为_______．
（2）在（1）的条件下，中任意一点经平移后对应点，将作同样的平移得到，请画出，并直接写出点的坐标______．
【答案】（1）如图所示，；
（2）如图所示，的坐标为．
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系和平移的性质，牢记平面直角坐标系相关的定义及平移的性质是解题的关键．
（1）点在轴的正半轴上，且距离原点为，可确定原点的位置，即可画出平面直角坐标系；由点向轴作垂线，垂线与轴的交点在轴上的坐标为点的横坐标，由点向轴作垂线，垂线与轴的交点在轴上的坐标为点的纵坐标．
（2）由顶点，，确定，只需确定顶点，，平移后的对应点，即可确定，经平移后对应点为，则顶点，，均向轴正方向移动，向轴负方向移动，即可确定点的坐标．
【小问1详解】
解：因为点的坐标为，
所以点在轴的正半轴上，且距离原点为，
可确定原点的位置，可画出平面直角坐标系，如图所示：
则；
【小问2详解】
解：经平移后对应点为，则顶点，，均向轴正方向移动，向轴负方向移动，可得到顶点，，平移后的对应点，顺次连接，，，即为，如图所示：
则的坐标为．
21. 如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于．
（1）求证：；
（2）点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及三角形内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键．
（1）根据垂直的定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”得到；
（2）由垂直定义及直角三角形的性质求出，根据“等角的余角相等”求出，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得解．
【小问1详解】
证明：，，
．
【小问2详解】
解：，理由如下：
，
，
，
，
，
．
22. 当m，n都是实数，且满足时，称为巧妙点．
（1）若是巧妙点，则______；
（2）判断点是否为巧妙点，并说明理由．
（3）已知关于x，y的方程组，当a为何值时，以方程组的解为坐标的点是巧妙点？
【答案】（1）
（2）不是，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组解，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键．
（1）根据巧妙点的定义，列出方程即可求解；
（2）根据巧妙点的定义代入等式求解即可；
（3）先根据加减消元法解二元一次方程组，得出，根据巧妙点的定义得出关于的一元一次方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵是巧妙点，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：点不是巧妙点，理由如下，
∵，
∴点不是巧妙点；
【小问3详解】
解：∵，
解得：，
∵点是巧妙点，
∴，
即，
解得：．
23. 小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为、）．
（1）如图1，，拼成的大正方形边长为___________；
如图2，，拼成的大正方形边长为___________；
如图3，，拼成的大正方形边长为___________．
（2）若将（1）中的图3沿正方形边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∶3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；
【答案】（1）；；
（2）不能用正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求出所拼成正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可；
（2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．
【小问1详解】
解：如图1，当S1=1，S2=1，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1=2，因此其边长为；
如图2，当S1=1，S2=4，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4=5，因此其边长为；
如图3，当S1=1，S2=16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16=17，因此其边长为；
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：不能，理由如下：
设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x•3x=14.52，
所以x2=1.21，
即x=1.1（x＞0），
因此长方形的长为4x=4.4，宽为3x=3.3，
因为（4.4）2=19.36＞17，
所以不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形．
【点睛】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
24. 已知射线平分，点C为上任意一点，过点C作直线交射线于点D．
（1）如图1，若，则______°；
（2）点E是射线上一动点（不与点C，D重合），OF平分交于点F，过点F作交于点G．
①如图2，当点E在线段上时，若，时，求的度数；
②当点E在线段的延长线上时，设，，求出和之间的数量关系．
【答案】（1）60； （2）①；②．
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，也考查了角平分线的定义．
（1）根据角平分线的定义和平行线的性质即可求解；
（2）①由三角形内角和定理可得，由平行线的性质和角平分线的定义可得，，根据即可求解；②当在下方时结合平行线的性质和角平分线的定义即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
②如图，点在下方，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴
，
即．
25. 如图1， 四边形ABCD为正方形（四个边相等， 四个内角都是90°） ， AB平行于y轴．
（1）如图1，已知 ，正方形ABCD的边长为4， 直接写出点A，D，C的坐标；
（2）如图2，已知，，， 点Q从C出发，以每秒2个单位长度的速度延射线CD方向运动，运动时间为t秒，若
①当t=1时，求△BPQ的面积；
②当时，求t的值．
【答案】（1），，；
（2）①；②或．
【解析】
【分析】（1）根据 ，正方形ABCD的边长为4，即可求出，，；
（2）利用绝对值非负性，算术平方根的非负性，平方根的非负性求出，，，进一步得到，，，即正方形的边长为3，①当时，，，此时P点位于AD上，结合图形利用割补法求面积即可；②先确定，，然后分当点Q在点P的上方和下方两种情况，分别运用割补法求面积以及列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴，，，
∵ ，
∴，，，
∴，，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，，，
∴，，，即正方形的边长为3，，
①当时，，，
∴P点位于AD上，如图，连接PC，
∴；
②由题意可知：，，
①如图：当点Q在点P的下方时
∵，
∴，
∴，
即：，
解得：，
②如图：当点Q在点P的上方，且在线段上时，过Q作，则
∴，
∵
∴，解得，
如图：当点Q在点P的上方（P在x轴上方），且在线段的延长线上时，
，
，
∵，
∴，
解得．
如图：当点Q在点P的上方（P在x轴下方），且在线段的延长线上时，
，，
∵，
∴，
解得（不符合题意，舍去），
综上，t的值为2或．
【点睛】本题主要考查直角坐标系、绝对值的非负性、算术平方根的非负性等知识点，掌握数学结合、分类讨论思想以及割补法求面积是解答本题的关键．