河南省高考综合性改革2025届普通高等学校招生全国统一考试第二次模拟考试数学试题（解析版）

这是一份河南省高考综合性改革2025届普通高等学校招生全国统一考试第二次模拟考试数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，，.则是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，即，则，
所以，又，
.
故选：D.
2. 已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为（ ）
A. πB. 2πC. 3πD. 4π
【答案】C
【解析】令且，则，
所以，即对应区域是圆心为，半径分别为1，2两个同心圆的面积差，
所以区域的面积为.
故选：C
3. 已知，则（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】根据已知，
所以.
故选：.
4. 已知椭圆与双曲线的焦点重合，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】椭圆对应的，
所以对于双曲线，有，
所以双曲线的离心率为.
故选：A
5. 已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，故，
而方程在区间上有两个不相等的实数根，
且令，则在区间上有两个不相等的实数根，
故，，两个根为，
则与在区间上有两个不同的交点，
记两个交点横坐标为，由正弦函数性质得关于对称，
则，解得，而，
得到，即，故C正确.
故选：C
6. 已知，，则（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 4
【答案】B
【解析】因为，所以，
故，因为，所以，
令，定义域为，
而，
而，故，
而，故，得到，
由对数函数性质得在上单调递增，
由一次函数性质得在上单调递增，
故在上单调递增，得到，
代入中得到，即，
故，故B正确.
故选：B
7. 已知函数有零点，那么实数的最大值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】由，得，即，
则，令函数，则有，
而函数都是R上的增函数，于是函数是R上的增函数，
因此，即，令，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数在时取得最大值，所以实数的最大值为.
故选：D
8. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为三棱锥为鳖臑，平面，
在中，，
过做垂足为，则，
即，所以，
因为，
，
在中，，
所以，则，
又平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以中，，
过作，，
即，可得，
则过作，因为是中点，所以，
所以动点在内（含边界）的轨迹为以为圆心以为半径的半圆，
则点的轨迹长度为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木，测量底部周长（单位：cm），所得数据均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则（ ）
A. 图中的值为0.025
B. 样本中底部周长不小于110cm的树木有12株
C. 估计该片经济林中树木的底部周长的分位数为115
D. 估计该片经济林中树木的底部周长的平均数为104（每组数据用该组所在区间的中点值作代表）
【答案】AC
【解析】对于A中，由频率分布直方图的性质，可得，
解得，所以A正确；
对于B中，由频率分布直方图，可得不小于110 cm频数为，
所以不小于110 cm的树木有株，所以B错误；
对于C中，由频率分布直方图得，前三个矩形的面积为，
前四个矩形的面积为，
所以分位数位于区间，则，所以C正确；
对于D中，由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
，所以D错误；
故选：AC.
10. 已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则（ ）
A.
B. 当时，的最小值为
C. 点到直线的距离的最小值为2
D. 当时，直线ON的斜率的最大值为
【答案】ABD
【解析】根据抛物线的定义，的准线为，
由题意准线过，可求出，抛物线的方程为，选项A正确；
对于选项B，C，D，可设抛物线上的点的动点为，
对于B选项，当时，；
当时，
当且仅当时，等号成立.选项B正确；
对于C选项，直线与抛物线的位置关系如下图所示：

到直线的距离，
当时，.选项C错误；
对于D选项，可根据向量共线作出示意图：

根据定义求出抛物线的焦点，由得，
当时，；
当时，，
当且仅当时，等号成立.选项D正确.
故选：ABD
11. 在平面直角坐标系中有一点，到定点与轴距离之积为一常数，点构成的集合为曲线，已知在或分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是：（ ）.

A 曲线关于直线对称
B. 若，则时到轴距离的最大值为
C. 若，如图，则
D. 若与轴正半轴交于，则与轴负半轴的交点横坐标在区间内
【答案】BCD
【解析】设点，则，
对于A选项，点关于直线的点为，
因为，
即点不在曲线上，所以，曲线不关于直线对称，A错；
对于B选项，当时，曲线的方程为，
当时，则，则，
所以，，可得，可得，
对于不等式，即，显然该不等式恒成立，
对于不等式，即，解得，
因为，则，此时，若，则时到轴距离的最大值为，B对；
对于C选项，点关于直线的对称点为，
因为，
即点在曲线上，故曲线关于直线对称，
如下图所示，当时，直线与曲线有两个交点，

当时，在曲线的方程中，令，可得，可得，
所以，曲线与在上的图象有两个公共点，如下图所示：

显然，曲线与射线在上的图象有一个公共点，
则曲线与线段相切，
由，可得，则，可得，
且当时，方程为，解得，合乎题意，
综上所述，，C对；
对于D选项，若曲线与轴正半轴交于，
则，则有，
当时，令可得，整理可得，
即，
令，其中，
则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为，，则，
所以，曲线与轴负半轴的交点横坐标在区间内，D对.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若等比数列满足：，，则数列的公比______.
【答案】
【解析】因为等比数列满足：，，
则，解得.
故答案为：.
13. 已知函数的图象关于点对称，则______．
【答案】
【解析】因为函数的图象关于点对称，
所以函数的图象关于点对称，
所以函数为奇函数，故，
所以，
所以，
所以，，
所以.
故答案为：.
14. 已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为_____.
【答案】
【解析】设的内切圆的圆心为，的内切圆的圆心为，
记边上的切点分别为，
由切线的性质可得：，由双曲线定义可得：，即，则，又.
则，又，则，即.
同理可得，的内切圆也与轴相切于点.
连接，则与轴垂直，设圆与相切于点，连接，
过点作，记垂足为，则.
设直线倾斜角为，则.
在四边形中，注意到，又四边形内角和为，
则，在中，，
，
则，
则直线斜率，即.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的内角，，的对边分别为，，，，且．
（1）求的值；
（2）若，的面积为，求的周长．
解：（1）在中，，由正弦定理得
.
（2）由及正弦定理，得，即，
则，即，
而，则，又，即，解得，，
，由的面积为，得，
则，又，解得，又，则，解得，
所以的周长为.
16. 在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球，其中有m个白球，m个黑球，2个黑白相间的球，且从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为．
（1）从盒子中随机摸出1个球，求在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率；
（2）从盒子中1次随机取出1个球，取出后不放回，共取2次，设取出的黑球数量为X，求X的分布列与期望．
解：（1）由从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为，得，解得，
盒子中带有黑色的球有6个，其中黑白相间的球有2个，
所以在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率.
（2）依题意，的可能值为，
则，
所以的分布列为：
数学期望.
17. 如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
（1）证明：，，所以
又，，
又，，，.
（2）证明：在直四棱柱中，平面，又平面，所以，，
，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，.
，，，
设为平面一个法向量，
令，得，.
设平面的一个法向量，则，取.
，又平面与平面不重合，
平面平面.
（3）解：当时，为平面的一个法向量，，
则，
设，
，，
设直线与平面所成角为，
，
当且仅当时，等号成立，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
18. 已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与C相交于F，G两点，点E与点F关于轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（3）将圆心在轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点，圆心距为，求.
解：（1）设双曲线的方程为，
将点代入得，即，双曲线的方程为
（2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程为，，，.
由消去整理得，
依题意得：，且，即且，
，.
易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为.
令，得
.
直线EG过定点.
当直线DG的斜率为0时，直线EG的方程为，过点，
综上，直线EG过定点.
（3）考虑以为圆心的“子圆”，
由的方程与的方程消去，得关于的二次方程.
依题意，该方程的判别式，.
对于外切于点的两个“子圆”，，显然点在轴上，
设，，的半径分别为，，
不妨设，的圆心分别为，.
则，.
两式相减得：，而，.
，整理得：.
，点.
，故.
19. 已知函数，．
（1）若在处取得极值，讨论的单调性；
（2）设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方；
（3）设，证明：．
（1）解：，，，
由在处取得极值，得，解得.
当时，，
设，则在上单调递减，且.
则当时，，即，故在单调递增；
当时，，即，故在单调递减；
故在处取到极大值，满足题意.
在单调递增；在单调递减.
（2）证明：，，，
曲线在点处的切线的斜率为，.
故切线方程为，即；
构造函数，，
即，其中，
则，
设，其中，
则，令，得，
当时，，故在单调递减；
当时，，故在单调递增；
所以在单调递减，且，.
故当时，，即，则在单调递增；
当时，，即，则在单调递减；
故在处取极大值，且极大值为，
当且仅当时，.
所以当时，恒成立.即恒成立，
故除点外，曲线段总在的下方，命题得证.
（3）证明：由（2）结论，任意，，恒成立.
又由可知，单调递减，
则，故恒成立，
令，则恒成立.
又由
所以
故，
故
.
即成立，命题得证.
0
1
2