江西省上饶市2025届高三第一次高考模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份江西省上饶市2025届高三第一次高考模拟考试数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了 已知集合，则， 设，，其中为虚数单位， 设，若，则， 函数的值域是， 表示数集中最小的数， 下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题设，则.
故选：D
2. 设，，其中为虚数单位.则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，
若，则，即，解得或，
所以由推不出，故充分性不成立；
由推得出，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3. 已知数列是等差数列，记数列的前项和为，且，则（ ）
A. 3B. C. 1D.
【答案】D
【解析】由题设，可得，
由.
故选：D
4. 设，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，
当时，，所以由得；
当时，，所以由得，无解.
综上，.
故选：C.
5. 已知向量满足，且，则与的夹角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，则，
，即，
，解得，又，
所以与的夹角为.
故选：D.
6. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
令，，此时函数变为.
对于二次函数，其对称轴为.
当时，.
当时，.
所以在上的值域是.
故选：A.
7. 如图，长方体中，，点为平面上一动点，若，则点的轨迹为（ ）
A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 圆
【答案】C
【解析】如图，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，.
由题可设，则向量，向量，
所以，即.
将上式两边同时平方可得，即.
则，即.
所以.故轨迹为双曲线的一支.
故选：C.
8. 表示数集中最小的数.已知，且，则的最大值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】由已知可得，得则，
又由，所以，解得：
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 数据的第70百分位数是23.
B. 随机变量X服从二项分布，则
C. 一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60.
D. 随机变量X服从正态分布，且，则
【答案】BC
【解析】对选项A：数据共10个数，
从小到大排列为，由于，
故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，
所以第70百分位数是23.5，故A错误；
对选项B：.故B正确；
对选项C：由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为，故C正确；
对选项D：服从正态分布，
所以，故D错误.
故选：BC.
10. 除数函数的函数值等于的正因数的个数，例如.若则下列选项中正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则的最小值为1011
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】对选项A：由，即个2和个3的乘积，由分步计数原理可得.所以，所以A正确.
对选项B：同理，即个2的乘积，所以.所以B正确.
对选项C：又由，即个3的乘积，所以.若，则的最小值为1012，所以C不正确.
对选项D：又，所以D正确.
故选：ABD
11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的图象关于原点对称
B. 的值域为
C. 当时，恒成立
D. 若在区间上有2024个不同的实数根，则的取值范围是
【答案】AC
【解析】对选项A：因为
所以A正确；
对选项B：设，则可表为，
因为，
故为上的奇函数，而时，均为增函数，
故为上的增函数，而为上的增函数，
故为上的增函数，故为上的增函数，
因为增函数，所以，
所以的值域为，所以B不正确；
对选项C：设，
则（不恒为零），
所以hx在0,+∞上递减，所以即，所以C正确；
对选项D：因为，
所以关于对称，又的图象关于原点对称，
故是周期函数且周期，而，
所以在上递增，可作出草图，如下图
设，则，该方程两根满足，
显然均不为0且最多仅有一个属于，
不妨设,
若时，方程在区间[上有1013个实数根；
若时，方程在区间[上有2026个实数根；
若时，在区间上有2024个实数根；
若时，方程在区间上有1012个实数根；
所以方程在区间仅有一根，
所以，
所以，所以D不正确.
故选：AC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则__________.
【答案】
【解析】，，又，
.
故答案为：.
13. 如图，已知正方体的棱长为4，点是的侧面上的一个动点，当点到点的距离相等时，三棱锥的外接球的表面积为__________.
【答案】
【解析】点到点的距离相等，即点与点重合，
则正四面体外接球与正方体的外接球一样，
则，所以外接球表面积为.
故答案为：.
14. 在中，为钝角，，作交于.已知，则______.（其中表示不超过的最大整数）
【答案】4
【解析】由题意，且，
由余弦定理可得：
，所以，即.
故答案为：4
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 足球运动是一项古老的体育活动，源远流长，最早起源于我国古代的一种球类游戏蹴鞠，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球.某校为了了解学生爱好足球是否与性别有关，对本校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，其中女生有20人爱好足球，男生有40人爱好足球.
附：
（1）根据已知条件，填写下列列联表，并依据独立性检验表，判断是否有的把握认为该校学生爱好足球与性别有关？
（2）现从该样本爱好足球的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，设抽取的3人中男生的人数为，求的分布列和数学期望.
解：（1）填写列联表为：
零假设爱好足球与性别无关.
根据列联表中的数据得，
故依据的独立性检验，可以推断不成立，所以有的把握认为该校学生爱好足球与性别有关.
（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取6名学生，
其中男生人数为（人）；女生人数为（人）
由题意可得，随机变量所有可能取值为.
，
随机变量的分布列如下：
则.
16. 已知双曲线的焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点的直线与双曲线交于两点，的面积为，求直线的方程.
解：（1）抛物线的焦点坐标为0,2，
所以双曲线中，
双曲线的离心率为，即
双曲线方程为
（2）显然直线斜率不能为0，设直线的方程为，
所以原点到直线的距离，
联立，得，
所以且，
所以，且，
所以，
所以，
所以，
解得，所以，
所以直线的方程为或.
17. 如图1，在矩形中，，连接，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2，若点在线段上且.
（1）求证：平面；
（2）若点在线段上，且使得平面与平面夹角的余弦值为，求.
（1）证明：在中，，
在中，，
.
又平面平面，平面平面平面，
平面.
（2）解：如图，过点作，则两两互相垂直，
以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量，
平面与平面夹角的余弦值为，
，
解得，
.
18. 已知数列，设分别为与空间直角坐标系中轴，轴，轴正方向相同的单位向量，.
（1），求的值.
（2）定义：若，且，则，根据上述定义，若，设，求.
（3）若数列均为正项数列，且为常数，且，求证：.
（1）解：由题设知，
（2）解：
，
设，
则
则，
可得：，
同理可得：，
故.
（3）证明：（i）当时，，，
则，，
故成立；
（ii）当时，
令
因为，所以，
即，
所以
，
.
综上可得：.
19. 已知常数，定义在的函数.
（1）求函数的最小值：
（2）若函数且的最小值等于的取小值.
（i）求实数的值；
（ii）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
（1）解：由题意可知：，
由f'x>0得；由f'x