2025年中考数学总复习课件(山东省专用)03 第一部分 第一章 第二节 代数式、整式及因式分解

这是一份2025年中考数学总复习课件(山东省专用)03 第一部分 第一章 第二节 代数式、整式及因式分解，共60页。PPT课件主要包含了数的字母，数字因数，指数和，次数最高，多项式，考点四幂的有关运算，am＋n，am－n，amn，anbn等内容，欢迎下载使用。
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考点一　代数式1．代数式：用运算符号(__________________________)把含有____或表示________连接而成的式子叫做代数式．2．代数式的值：用____代替代数式中的字母，计算后所得的____叫做代数式的值．
加、减、乘、除、乘方、开方
考点二　整式1．单项式：表示数与字母的____的代数式．单独的一个数或一个____也叫单项式．其中的________叫做单项式的系数，所有字母的______叫做单项式的次数．2．多项式：几个单项式的____．每个单项式叫做多项式的项，________的项的次数，叫做多项式的次数．3．整式：单项式和______统称为整式．4．同类项：所含字母相同，并且相同字母的____也相同的项叫做同类项．常数项都是同类项．
考点三　整式的加减运算1．合并同类项法则：同类项的____相加，所得的结果作为系数，字母和字母的____不变．2．去括号法则：括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．3．整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项．
考点五　整式的乘除运算1．单项式×单项式：(1)____和________分别相乘；(2)只有一个字母的照抄．2．单项式×多项式：m(a＋b)＝__________．3．多项式×多项式：(m＋n)(a＋b)＝______________________．4．单项式÷单项式：将____、________分别相除．
ma＋mb＋na＋nb
5．多项式÷单项式：(1)多项式的每一项除以单项式；(2)商相加．6．乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝_______．(2)完全平方公式：(a±b)2＝_____________．
考点六　因式分解的概念1．把一个多项式化成几个________的形式，这种变形叫做因式分解．2．分解因式与整式乘法的关系：因式分解与整式的乘法互为逆运算．考点七　因式分解的基本方法1．提公因式法：ma＋mb＋mc＝____________．2．公式法：(1)平方差公式：a2－b2＝______________．(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝________．
1．(鲁教版六上P81习题3.1T1改编)每件上衣的原价为a元，降价10%后的售价是(　　)A．10%aB．(1－10%)aC．(1＋10%)aD．(1＋90%)a
B　[原来的价格×(1－降低的百分率)＝降价后的价格，据此即可列出代数式．]
2．当x＝－1时，代数式－x2＋1的值是(　　)A．－1　　B．0　　C．1　　D．2
B　[把x＝－1代入－x2＋1＝－(－1)2＋1＝0，故选B．]
4．下列计算正确的是(　　)A．a6＋a6＝a12B．a5·a2＝a10C．(2a2)4＝2a8D．a12÷a5＝a7
D　[a6＋a6＝2a6，故A不符合题意；a5·a2＝a7，故B不符合题意；(2a2)4＝16a8，故C不符合题意；a12÷a5＝a7，故D符合题意，故选D．]
C　[a－4a3＝a(1－4a2)＝a(1＋2a)(1－2a)，因此选项A不符合题意；3x－6y＋3＝3(x－2y＋1)，因此选项B不符合题意；x2＋2x＋1＝(x＋1)2，因此选项C符合题意；x2－2x＋1＝(x－1)2，因此选项D不符合题意，故选C．]
5．(鲁教版八上P16复习题T1改编)下列分解因式正确的是(　　)A．a－4a3＝(1＋2a)(1－2a3)B．3x－6y＋3＝3(x－2y)　C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2　D．x2－2x－1＝(x－1)2
考点突破 对点演练
(2)若x满足x2＋3x－5＝0，则代数式2x2＋6x－3的值为(　　)A．5B．7C．10D．－13
归纳总结　求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简，再求值．一般地，题型有以下三种：(1)已知条件不化简，所给代数式化简；(2)已知条件化简，所给代数式不化简；(3)已知条件和所给代数式都要化简．
[对点演练]1．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为(　　)A．8x元B．10(100－x)元C．8(100－x)元D．(100－8x)元
C　[乙的单价×乙的本数＝乙的费用．]
A　[原式＝a2－2a＋1＋a2－4＝2a2－2a－3＝2(a2－a)－3，∵a2－a－2＝0，∴a2－a＝2，∴原式＝2×2－3＝1．故选A．]
2．如果a2－a－2＝0，那么代数式(a－1)2＋(a＋2)(a－2)的值为(　　)A．1B．2C．3D．4
B　[x2＋1是多项式；xy是二次单项式；x2y是三次单项式；22x是一次单项式，故选B．]
命题点2　整式的有关概念【典例2】　下列整式中，是二次单项式的是(　　)A．x2＋1B．xyC．x2yD．22x
[对点演练]1．(2024·泰安)单项式－3ab2的次数是________．
3　[∵单项式－3ab2中，a的指数是1，b的指数是2，∴此单项式的次数为1＋2＝3．]
2．若多项式xy|m－n|＋(n－2)x2y2＋1是关于x，y的三次多项式，则mn＝________．
0或8　[∵多项式xy|m－n|＋(n－2)x2y2＋1是关于x，y的三次多项式，∴n－2＝0，1＋|m－n|＝3，∴n＝2，|m－n|＝2，∴m－n＝2或n－m＝2，∴m＝4或m＝0，∴mn＝0或8．]
D　[2x2y与－3xy2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；4x8y2÷2x2y2＝2x6，故B不符合题意；(x－y)(－x－y)＝y2－x2，故C不符合题意；(x2y3)2＝x4y6，故D符合题意，故选D．]
命题点3　整式的运算【典例3】　(2024·泰安)下列运算正确的是(　　)A．2x2y－3xy2＝－x2y　B．4x8y2÷2x2y2＝2x4　C．(x－y)(－x－y)＝x2－y2D．(x2y3)2＝x4y6
归纳总结　解此类题目的关键是熟记幂运算公式及其成立的条件，确定出幂的底数和指数，注意公式的正向和逆向应用．
D　[A．式子中两项不是同类项，不能合并，故A不符合题意；B．(a－1)2＝a2－2a＋1，故B不符合题意；C．(a3b)2＝a6b2，故C不符合题意；D．a(2a＋1)＝2a2＋a，故D符合题意．故选D．]
[对点演练]1．(2024·山东)下列运算正确的是(　　)A．a4＋a3＝a7B．(a－1)2＝a2－1C．(a3b)2＝a3b2D．a(2a＋1)＝2a2＋a
2．计算：2a(a＋b)＋a3b4÷a3b2－(a2＋2ab)．
[解]　原式＝2a2＋2ab＋b2－a2－2ab＝a2＋b2．
C　[A选项，原式＝4x；B选项，原式＝a；D选项，原式＝x2－2xy＋y2．故选C．]
【教师备选资源】1．(2022·泰安)下列运算正确的是(　　)A．6x－2x＝4B．a－2·a3＝a－6C．x6÷x3＝x3D．(x－y)2＝x2－y2
D　[A选项，2x2与3x3不是同类项，不能合并；B选项，原式＝－8x3；C选项，原式＝x2＋2xy＋y2；D选项，原式＝22－(3x)2＝4－9x2．故选D．]
2．(2021·泰安)下列运算正确的是(　　)A．2x2＋3x3＝5x5B．(－2x)3＝－6x3C．(x＋y)2＝x2＋y2D．(3x＋2)(2－3x)＝4－9x2
D　[3xy－xy＝2xy；x3·x4＝x7；x－10÷x2＝x－12．故选D．]
3．(2020·泰安)下列运算正确的是(　　)A．3xy－xy＝2　　　　B．x3·x4＝x12C．x－10÷x2＝x－5D．(－x3)2＝x6
3a(x－y)2　[3ax2－6axy＋3ay2＝3a(x2－2xy＋y2)＝3a(x－y)2．]
命题点4　因式分解【典例4】　(2024·内蒙古通辽)因式分解：3ax2－6axy＋3ay2＝_____________．
温馨提示　一个多项式有公因式首先考虑提取公因式，然后考虑用公式法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
A　[原式＝a(a2－9)＝a(a－3)(a＋3)，故选A．]
[对点演练]1．(2024·云南)因式分解：a3－9a＝(　　)A．a(a－3)(a＋3)B．a(a2＋9)C．(a－3)(a＋3)D．a2(a－9)
xy(x＋2)　[直接提取公因式xy即可．]
2．(2024·山东)因式分解：x2y＋2xy＝________．
(a－1)2 　[(a＋1)2－4a＝a2＋2a＋1－4a＝a2－2a＋1＝(a－1)2．]
3．(2024·四川广元)因式分解：(a＋1)2－4a＝________．
3(x－3)2　[3x2－18x＋27＝3(x2－6x＋9)＝3(x－3)2．]
4．(2024·四川达州)因式分解：3x2－18x＋27＝________．
命题点5　数式规律探索【典例5】　(2022·泰安)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是 ____________．
(10，18)　[∵第n行的最后一个数是n2，第n行有(2n－1)个数，∴99＝102－1在第10行倒数第二个，第10行有：2×10－1＝19个数，∴表示99的有序数对是(10，18)．]
归纳总结　认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出一般公式．
[对点演练](2020·泰安)如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3……第n个数记为an，则a4＋a200＝________．
【教师备选资源】(2024·泰安)如图所示，是用图形“ ”和“ ”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第________个“小屋子”中图形“ ”个数是图形“ ”个数的3倍．
12　[由所给图形可知，第1个“小屋子”中图形“ ”的个数为：1＝1，“ ”的个数为：4＝1×2＋2；第2个“小屋子”中图形“ ”的个数为：3＝1＋2，“ ”的个数为：6＝2×2＋2；第3个“小屋子”中图形“ ”的个数为：6＝1＋2＋3，“ ”的个数为：8＝3×2＋2；第4个“小屋子”中图形“ ”的个数为：10＝1＋2＋3＋4，“ ”的个数为：10＝4×2＋2；…，
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共69分)
B　[“a与b的差的5倍”用代数式表示为：5(a－b)．故选B．]
课时分层评价卷(二)　代数式、整式及因式分解
2．(2024·四川内江)下列单项式中，ab3的同类项是(　　)A．3ab3B．2a2b3C．－a2b2D．a3b
A　[根据同类项的定义可知，ab3的同类项是3ab3．故选A．]
3．(2024·青海)计算12x－20x的结果是(　　)A．8xB．－8xC．－8D．x2
B　[原式＝(12－20)x＝－8x，故选B．]
5．(2024·四川眉山)下列运算中正确的是(　　)A．a2－a＝aB．a·a2＝a3C．(a2)3＝a5D．(2ab2)3＝6a3b6
B　[a2与a不是同类项，无法合并，则A不符合题意；a·a2＝a3，则B符合题意；(a2)3＝a6，则C不符合题意；(2ab2)3＝8a3b6，则D不符合题意．故选B．]
6．(2024·甘肃兰州)计算：2a(a－1)－2a2＝(　　)A．aB．－aC．2aD．－2a
D　[2a(a－1)－2a2＝2a2－2a－2a2＝－2a．故选D．]
7．[情境题]从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米(a＞6)的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会(　　)A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定
C　[∵矩形的面积为(a＋6)(a－6)＝a2－36，∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米，故选C．]
8．(2024·吉林长春)单项式－2a2b的次数是 ________．
3　[单项式－2a2b的次数是：2＋1＝3．]
9．计算：8x3y÷(2x)2＝________．
2xy　[原式＝8x3y÷4x2＝2xy．]
10．雪山彩虹谷门票的价格为成人票每张20元，儿童票每张10元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费 ____________元．
20m＋10n　[根据票价乘对应票的数量分别求出成人票和儿童票的费用，然后求和可得．]
11．(2024·北京)因式分解：x3－25x＝_________________．
x(x＋5)(x－5)　[x3－25x＝x(x2－25)＝x(x＋5)(x－5)．]
12．(2024·内蒙古)因式分解：a＋2ab＋ab2＝____________．
a(b＋1)2　[原式＝a(1＋2b＋b2)＝a(b＋1)2．]
13．(2024·四川德阳)若一个多项式加上y2＋3xy－4，结果是3xy＋2y2－5，则这个多项式为 ________．
y2－1　[3xy＋2y2－5－(y2＋3xy－4)＝3xy＋2y2－5－y2－3xy＋4＝y2－1．]
x(x＋5)(x－5)
a(a＋1)×100＋25
16．如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是(　　)A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2　C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2　D．(ab)2＝a2b2
A　[根据题意，大正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．故选A．]
17．(2024·广西)如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　　)A．0B．1C．4D．9
D　[∵a＋b＝3，ab＝1，∴a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2＝1×32＝9，故选D．]
18．[数学文化]古代名著《九章算术》是我国最早的一部数学专门著作，它的内容丰富，而且大多和实际生活密切联系，反映出中国古代先贤的智能，同时也显出古代中国数学的研究多以实用性为主．如图所给的程序框图的算法思路就是源于《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输出M的值为5，那么输入x的值为(　　)A．－2B．－8C．1D．8
B　[若x＞3，∵x2－x＋3＝x(x－1)＋3，x－1＞2，∴x(x－1)＞6，∴x2－x＋3＞9，∴输出的M值不可能为5．
19．(2024·河北)若a，b是正整数，且满足 ，则a与b的关系正确的是(　　)A．a＋3＝8bB．3a＝8b　C．a＋3＝b8D．3a＝8＋b
A　[根据已知得，8×2a＝28b，即2a+3＝28b，∴a＋3＝8b．故选A．]
21．[归纳猜想题](2024·宁夏)观察下列等式：第1个：1×2－2＝22×0；第2个：4×3－3＝32×1；第3个：9×4－4＝42×2；第4个：16×5－5＝52×3．……按照以上规律，第n个等式为 _______________________________．
n2×(n＋1)－(n＋1)＝(n＋1)2×(n－1)
22．[规律探究题](2024·四川成都)在综合实践活动中，数学兴趣小组对1～n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究．发现：当n＝2时，只有{1，2}一种取法，即k＝1；当n＝3时，有{1，3}和{2，3}两种取法，即k＝2；当n＝4时，可得k＝4；…．若n＝6，则k的值为________；若n＝24，则k的值为 ________．
9　144　[当n＝6时，从1，2，3，4，5，6中，取两个数的和大于6，这两个数分别是{6，1}，{6，2}，{6，3}，{6，4}，{6，5}，{5，2}，{5，3}，{5，4}，{4，3}，∴k＝5＋3＋1＝9；当n＝24时，从1，2，3，…，22，23，24中，取两个数的和大于24，这两个数分别是：{24，1}，{24，2}…{24，23}，{23，2}，{23，3}…{23，22}，{22，3}，{22，4}…{22，21}，…{14，11}，{14，12}，{14，13}，{13，12}，∴k＝23＋21＋19＋…＋3＋1＝144．故答案为9，144．]