江西省名校联盟2023-2024学年高一上学期1月期末试题数学试卷（含答案）

这是一份江西省名校联盟2023-2024学年高一上学期1月期末试题数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了本卷命题范围，设，则“是合数”是“”的，给出下列四种说法，1h），已知函数，如果，，那么下列不等式正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.本卷命题范围：北师大版必修第一册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
2.已知全集为，集合，，则（ ）
A.B.C.D.
3.某班有45名学生，其中男生25人，女生20人.现用分层抽样的方法，从该班学生中抽取9人参加禁毒知识测试，则应抽取的男生人数为（ ）
A.3B.4C.5D.6
4.设，则“是合数”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.给出下列四种说法：
①若事件A，B互斥，则与一定互斥；
②若A，B为两个事件，则；
③若事件A，B，C彼此互斥，则；
④若事件A，B满足，则A，B是对立事件.
其中错误的个数是（ ）
A.0B.1C.2D.3
6.一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危险.现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.
（附：，，答案四舍五入精确到0.1h）
A.2.3B.3.5C.5.6D.8.8
7.已知函数（且）的图象在上连续，则的解集为（ ）
A.B.C.D.
8.已知定义在上的两数，满足，且，则（ ）
A.1B.11C.12D.1024
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9.如果，，那么下列不等式正确的是（ ）
A.B.C.D.
10.给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的（ ）
A.极差为4B.标准差为
C.众数为2和3D.80%分位数为4.5
11.已知，是幂函数图象上的任意两点，则以下结论正确的是（ ）
A.B.
C.D.
12.对于任意两个正数，记曲线与直线，，轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现.关于，下列说法正确的是（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，甲站、乙站预报都准确的概率为____________.
14.若函数是偶函数，则正数的值为____________.
15.设二次函数的值域是，则的最小值是____________.
16.已知函数且时，，则的取值范围是____________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17.（本小题满分10分）
（1）计算：；
（2）已知，求及的值.
18.（本小题满分12分）
已知函数（，为常数）是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若在定义域上是增函数，解关于的不等式.
19.（本小题满分12分）
为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示.
（1）求图中的值；
（2）估计这种植物果实重量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）已知这种植物果实重量不低于37.5克的即为优质果实，现对该种植物果实的某批10000个果实进行检测.据此估算这批果实中的优质果实的个数.
20.（本小题满分12分）
将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”。
（1）写出该试验的基本事件空间，并求事件A发生的概率；
（2）求事件B发生的概率；
（3）事件A与事件C至少有一个发生的概率。
21.（本小题满分12分）
某地政府指导本地建设扶贫车间、搭建就业平台，帮助贫困群众实现精准脱贫，实现困难群众就地就近就业.已知扶贫车间生产某种产品的年固定成本为8万元，每生产万件，该产品需另投入流动成本万元，在年产量不足6万件时，；在年产量不小于6万件时，.每件产品的售价为6元.由于该扶贫车间利用了扶贫政策及企业产业链优势，因此该种产品能在当年全部售完.
（1）写出年利润P（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大?并求出最大年利润.
22.（本小题满分12分）
已知函数，其中为常数.
（1）若在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（2）已知，若函数在上有且仅有一个零点，求的取值范围.
2023～2024学年高一第一学期期末考试·数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
1.C全称量词命题的否定是存在量词命题，故命题“，”的否定是“，”.故选C.
2.D显然集合A不是集合B的子集，A错误；集合B不是集合A的子集，B错误；，C错误；由，则，，D正确.故选D.
3.C
4.A由是合数知，能得出，但由不一定能得出是合数，故“是合数”是“”的充分不必要条件.故选A.
5.D
6.A设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.则，，，，.故选A.
7.B由题知，，解得，∴易知单调递增，∴，即，令得，令得，∴，∴的解集为，故选B.
8.C根据题中的条件，令，则，所以，令，则，又，所以，则，故选C.
9.AC对于A，由函数在上单调递增知，故正确；对于B，取，，所以，故错误；对于C，因为在上单调递增且，所以，故正确；对于D，当，时，，故错误.故选AC.
10.ACD极差为5-1=4；平均数为；众数为2和3：标准差为；10×80%=8.将这组数据从小到大排列后第8个数和第9个数为4，5，故80%分位数为.故选ACD.
11.ACD ，由知，，故A正确；
.故B错误；
由在上单调递增知C正确；
，，
∵
，
∴，即，故D正确.
故选ACD.
12.AB由题意，所以.
当时，；
当时，；
当时，；
当或时，也成立.
综上所述，.
对于A，，，所以，故A正确；
对于B，，且，所以，故B正确；
对于C，如图，因为，
所以，
即，故C错误；
对于D，取，，则，故D错误.
故选AB.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
14.4函数的定义域为，因为函数是偶函数，所以，即，所以，所以，所以.
15.2根据题意知，，，即，所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值是2.
16.
结合图形可得，，，
∵，∴，，∴，
∴，∴.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17.解：（1）
.
（2）由于，所以，
.
18.解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，所以.
又，所以，
所以，
经检验，此时，所以函数为奇函数，满足题意，
所以的解析式为.
（2）由（1）知，函数是定义在上的奇函数，
又在定义域上是增函数，
所以由，可得，
所以，所以，
所以不等式的解集为.
19.解：（1）由题意，有，
解得.
（2）这种植物果实重量的平均数约为：
30×0.020×5+35×0.040×5+40×0.075×5+45×0.050×5+50×0.015×5=40，
∴这种植物果实重量的平均数的估计值约为40.
（3）样本中，这种植物果实重量不低于37.5克，即优质果实的频率为
0.075×5+0.050×5+0.015×5=0.7，
由此估计某批10000个果实中，重量不低于37.5克，即优质果实的概率为0.7，
∴这批果实中的优质果实的个数约为10000×0.7=7000个.
20.解：（1）
，
共有36个基本事件，
事件A：“两数之和为8”包含的基本事件有：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共5个基本事件，
∴事件A发生的概率为.
（2）事件B：“两数之和是3的倍数”包含的基本事件有12个，分别为：
（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6），
∴事件B发生的概率.
（3）事件A与事件C至少有一个发生包含的基本事件有11个，分别为：
（2，2），（2，4），（2，6），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，3），（6，2），（6，4），（6，6），
∴事件A与事件C至少有一个发生的概率为.
21.解：（1）每件产品的售价为6元，则万件产品的销售收入为6x万元.
依题意得，当时，.
当时，.
所以
（2）当时，，
故当时，P取得最大值4.5万元.
当时，，
当且仅当，即时，P取得最大值14万元.
所以当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元.
22.解：（1）∵是由函数和复合而成，而为减函数，
当时，为上的减函数，则为上的增函数，不符合题意；
当时，则在区间上单调递增，
∴，
综上，实数的取值范围是.
（2）函数在内有且只有一个零点
⇔方程，即在内有且只有一个根.
令，，
则条件等价于两个函数与的图象在区间内有唯一的交点.
①当时，在上单调递减，，在上单调递增，
且，，
∴与在内有唯一的交点；
②当时，图象开口向下，对称轴为，
∴在上单调递减，而在上单调递增，
则，
故；
③当时，图象开口向上，对称轴为.
∴在上单调递减，而在上单调递增，
则，
故.
综上，所求实数的取值范围是.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
C
A
D
A
B
C
题号
9
10
11
12
答案
AC
ACD
ACD
AB