黑龙江省大庆市2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份黑龙江省大庆市2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共18页。
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．6x3﹣5x2＝x
C．3a2b﹣4ba2＝﹣a2bD．3x2+2x3＝5x5
解：A、原式＝2a，所以A选项错误；
B、6x3和﹣5x2不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝﹣a2b，所以C选项正确；
D、3x2和2x2不能合并，所以D选项错误；
故选：C．
2．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1＝0B．x2+x+2＝0C．x2﹣1＝0D．x2﹣2x﹣1＝0
解：A、Δ＝22﹣4×1×1＝0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、Δ＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．等弧所对的弦必相等
解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；
B、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故原命题错误，不符合题意，
C、同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；
D、等弧所对的圆周角相等，正确，符合题意；
故选：D．
4．（3分）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x+4＝0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的外部B．⊙O的内部C．⊙O上D．无法判断
解：x2﹣4x+4＝0可化为（x﹣2）2＝0，
解得x＝2，
∴OP＝2，
∵2＜4，
∴点P在⊙O内．
故选：B．
5．（3分）三角形的外心是（ ）
A．三边上的高线的交点
B．三边中线的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三个内角平分线的交点
解：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，
故选：C．
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝CD＝8，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．4C．D．5
解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝CD＝8，
∴CE＝DE＝CD＝4，
设OC＝r，则OE＝8﹣r，
在Rt△OCE中，
OE2+CE2＝OC2，即（8﹣r）2+42＝r2，
解得r＝5．
故选：D．
7．（3分）如图，已知BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，若∠ACB＝32°，则∠ADC的大小为（ ）
A．68°B．62°C．58°D．52°
解：∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠ACB＝58°，
∴∠D＝∠B＝58°，
故选：C．
8．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3），
∴当y＝﹣3时，x＝1，
当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15，
解得x＝4或x＝﹣2，
∵当0≤x≤a时，y的最大值为15，
∴a＝4，
故选：D．
9．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，AB＝8，CD＝2，则⊙O的直径为（ ）
A．9B．C．D．12
解：作直径AF，连BF、CF．
∵AF是圆O的直径，
∴∠ACF＝∠ABF＝90°，
∴CF⊥AC，
又∵BD⊥AC，
∵CF∥BD，
∴∠DBC＝∠BCF，
∴＝，
∴BF＝CD＝2，
∴AF＝＝＝2，
∴⊙O的直径为2．
故选：C．
10．（3分）将抛物线y＝（x+1）2的图象位于直线y＝4以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y＝x+m与此图象只有四个交点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解：令y＝4，则4＝（x+1）2，
解得x＝﹣3或1，
∴A（1，4），
平移直线y＝x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于l1时，此时l1过点A（1，4），
∴4＝1+m，即m＝3．
②当直线位于l2时，此时l2与函数y＝（x+1）2 的图象有一个公共点，
∴方程x+m＝x2+2x+1，
即x2+x+1﹣m＝0有两个相等实根，
∴Δ＝1﹣4（1﹣m）＝0，
即m＝．
由①②知若直线y＝x+m与新图象只有四个交点，m的取值范围为＜m＜3；
故选：B．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝52°，则∠AOD的大小为 76° ．
解：∵＝，
∴∠COD＝∠BOC＝52°，
∴∠AOD＝180°﹣∠COD﹣∠BOC＝76°，
故答案为：76°．
12．（3分）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．则a的值为 3 ．
解：由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴为直线x＝2，
∴＝2．
解得a＝3，
故答案为：3．
13．（3分）已知点P（1，2）在反比例函数y＝的图象上，当x＜1时，y的取值范围是 y＞2或y＜0 ．
解：根据题意，反比例函数y＝的图象在第一象限，y随x的增大而减小；
∵其图象过点（1，2）；
∴当0＜x＜1时，y的取值范围时y＞2；当x＜0时，y＜0．
故答案为：y＞2或y＜0．
14．（3分）在△ABC中，|csA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的度数是 75° ．
解：∵|csA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，
∴csA﹣＝0，1﹣tanB＝0，
∴csA＝，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为：75°．
15．（3分）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，则m2﹣mn+2m的值为 0 ．
解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，
∴m2+2m﹣6＝0，mn＝﹣6，
∴m2+2m＝6，
∴m2﹣mn+2m
＝m2+2m﹣mn
＝﹣6﹣（﹣6）
＝﹣6+6
＝0，
故答案为：0．
16．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠C＝35°，则∠ABO的度数是 55 °．
解：连接OA，
∵∠C＝35°，
∴∠AOB＝70°．
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝＝55°．
故答案为：55．
17．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连结OC，BD，OC⊥BD，若∠A等于70°，则∠ADB的度数为 35° ．
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝70°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°，
∵OC⊥BD，
∴＝，
∴∠CDB＝∠CBD＝×（180°﹣110°）＝35°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝35°，
故答案为：35°．
18．（3分）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，AB＝10，则AE的长为 1或9 ．
解：如图1，连接OC，
∵直径AB⊥CD，
∴EC＝CD＝×6＝3，
∵AB＝10，
∴OC＝OA＝5，
∴OE＝＝4，
∴AE＝OA﹣OE＝1；
如图2，
AE＝OE+OA＝9；
故答案为：1或9．
19．（3分）已知二次函数y＝x2+2x+c的图象与坐标轴恰有两个交点，则c＝ 1 ．
解：由题意，∵二次函数y＝x2+2x+的图象与坐标轴恰有两个交点，
又当x＝0时，y＝c，即图象与y轴交于点（0，c），
∴二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴必有一个交点．
∴Δ＝22﹣4c＝0．
∴c＝1．
故答案为：1．
20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，tan∠BAC＝，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，B、F两点间的距离为 ．
解：由题意得：DF＝DB，
∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D，连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，tan∠BAC＝，
∴BC＝12，
∵点D是边BC的中点，
∴CD＝BD＝6，
在Rt△ACD中，
由勾股定理，得AD＝＝＝10，
而FD＝BD＝6，
∴FA＝10﹣6＝4，
即线段AF长的最小值是4，
连接BF，过F作FH⊥BC于H，
∵∠ACB＝90°，
∴FH∥AC，
∴△DFH∽△DAC，
∴＝＝，即＝＝
∴FH＝，DH＝，
∴BH＝BD+DH＝，
在Rt△BFH中，
由勾股定理，得BF＝＝＝，
故答案为：．
三．解答题（共60分）
21．（4分）先化简，再求值：，其中．
解：
＝
＝
＝x﹣1，
时，
原式＝．
22．（6分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝30°，过D作DE⊥AB，垂足为点E，DE的延长线交⊙O于点F，AB＝8，求∠DAB的度数和DF的长．
解：如图，连接BD，
∵∠ACD＝30°，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°；
∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴，
∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，
∴∠ADE＝30°，DE＝EF，
∴，，
∴．
23．（7分）某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝ 0 ．
（2）观察函数图象，画出该函数图象的另一部分并思考，当x＝ ﹣1 时，函数有最小值．
（3）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 3 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有 3 个实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有 2 个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是 ﹣1＜a＜0 ．
解：（1）由题意，将x＝﹣2代入解析式y＝x2﹣2|x|得，y＝m＝0．
故答案为：0．
（2）由题意得，作图如下．
如图可得，当x＝﹣1或x＝1时，y取最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
（3）①由题意，结合（2）的图象可得，函数图象与x轴有3个交点，
∴对应的方程x2﹣2|x|＝0有3个实数根．
故答案为：3，3．
②由题意，结合（2）图象可得，函数y＝x2﹣2|x|的图象与直线y＝2有两个交点，
∴方程x2﹣2|x|＝2有2个实数根．
故答案为：2．
③由题意，结合图象，
当﹣1＜a＜0时，直线y＝a与函数y＝x2﹣2|x|的图象有四个交点，
∴关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是﹣1＜a＜0．
故答案为：﹣1＜a＜0．
24．（8分）某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
（1）该企业4月份的生产数量为多少万支？
（2）该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？
解：（1）当1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝，
∵点（1，180）在该函数图象上，
∴180＝，得k＝180，
∴y＝，
当x＝4时，y＝＝45，
即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；
（2）设技术改造完成后对应的函数解析式为y＝ax+b，
∵点（4，45），（5，60）在该函数图象上，
∴，
解得，
∴技术改造完成后对应的函数解析式为y＝15x﹣15，
，
解得2≤x≤7
∵x为正整数，
∴x＝2，3，4，5，6，7，
答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．
25．（8分）某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，设增种果树x（x＞0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．
（1）每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少 kg；
（2）求y与x之间的函数关系式，不必写出自变量x的取值范围；
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大？最大产量是多少？
解：（1）根据题意可知：点P所表示的实际意义是增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg，
∴（75﹣66）÷（28﹣10）＝，
∴每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少kg，
故答案为：；
（2）设在10棵的基础上增种m棵，
根据题意可得m＝75﹣40，
解得m＝70，
∴A（80，40），
设y与x之间的函数关系式：y＝kx+b，
把P（28，66），A（80，40），
，
解得k＝﹣，b＝80，
∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣x+80；
（3）设增种果树x棵，
w＝（60+x）（﹣0.5x+80）
＝﹣0.5x2+50x+4800
＝﹣0.5（x﹣50）2+6050，
∵﹣0.5＜0，0＜x≤80，
∴当x＝50时，w有最大值，最大值为6050，
∴当增种果树50棵时，果园的总产量w（kg）最大，最大产量是6050kg．
26．（9分）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）求证：BC＝2EO；
（3）若BC＝6，DE＝4，求⊙O的半径．
（1）证明：∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BC∥OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠OBD，
∴BD平分∠ABC；
（2）证明：过点O作OF⊥BC，垂足为F，
∴∠OFB＝90°，BC＝2BF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO＝90°，
∴∠DEO＝∠OFB＝90°，
∵BC∥OD，
∴∠DOE＝∠FBO，
在△DEO和△OFB中，
，
∴△DEO≌△OFB（AAS），
∴EO＝FB，
∴BC＝2EO；
（3）解：由（2）知，BC＝2EO，
∵BC＝6，
∴EO＝3，
∵DE＝4，
∴OD＝＝＝5，
∴⊙O的半径为5．
28．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．
（1）抛物线对称轴是直线 x＝1 ；
（2）求点B的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PBC＝2S△ABC，求点P的坐标；
（4）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为m，请直接写出m的取值范围．
解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线对称轴是直线x＝1，
故答案为：x＝1；
（2）令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵CB∥x轴，抛物线对称轴是直线x＝1，
∴B（2，﹣3）；
（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴A（1，﹣4），
∵S△PBC＝2S△ABC，
∴P点到BC的距离为2，
∵B（2，﹣3），C（0，﹣3），
∴P点的纵坐标为﹣1，
把y＝﹣1代入y＝x2﹣2x﹣3得，﹣1＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝1±，
∴P（1﹣，﹣1）或（1+，﹣1）；
（4）设直线BA的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣5，
∵抛物线的顶点的横坐标为m，
∴y＝（x﹣m）2﹣m﹣3，
当x﹣5＝（x﹣m）2﹣m﹣3只有一个实数根时，直线BA与抛物线有一个交点，
Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣m+2）＝0，
解得m＝，
当抛物线经过B点时，（2﹣m）2﹣m﹣3＝﹣3，
解得m＝1或m＝4，
∴当1＜m≤4时，平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；
综上所述：m＝或1＜m≤4时，平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点．x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
m
﹣1
0
﹣1
0
3
…