北京市房山区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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第一部分（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 在平面直角坐标系xOy中，设点，，则线段AB的中点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用中点的坐标公式计算即可.
【详解】由题可知中点的坐标为.
故选：A
2. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用关于坐标轴、坐标平面对称点的特征求解即得.
【详解】依题意，点关于坐标平面的对称点为.
故选：C
3. 已知向量，，如果，则x的值为（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示，列式求解，即得答案.
【详解】由题意知向量，，，
则，故，
故选：B
4. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角.
【详解】，
设其倾斜角为，则，又，
则，即倾斜角为，
故选：D
5. 已知直线：与直线：平行，则a的值为（ ）
A. 1B. C. 或1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用两条直线平行的充要条件列式计算即得.
【详解】由直线：与直线：平行，
得，解得，
所以a的值为1.
故选：A
6. 如图，在平行六面体中，，，，AC与BD相交于点O.则（ ）

A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量基本定理及空间向量线性运算求解即得.
【详解】在平行六面体中，AC与BD相交于点O，则为的中点，
.
故选：D
7. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案.
【详解】若，则或，故充分性不成立，
若，则，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：D.
8. 已知圆C：和两点，（），若圆C上存在点P，使得，则m的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由直角三角形性质得，要求的最小值即求圆上点到原点的最小距离，从而得解.
【详解】显然，因为，所以，
所以要求的最小值即求圆上点到原点的最小距离，
因为，所以，即的最小值为.

故选：C
9. 已知直线l：，圆：，圆：，a，.则下列说法错误的是（ ）
A. 若圆心在圆内，则圆心在圆内
B. 若圆心在圆内，则直线l与圆相离
C. 若直线l与圆相切，则直线l与圆相切
D. 若直线l与圆相切，则圆心在直线l上
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆心的半径，结合点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系逐一判断即可.
【详解】圆：圆心，半径，圆：的圆心，半径，
对于A，圆心在圆内，则，，圆心在圆内，A正确；
对于B，圆心在圆内，则，点到直线的距离，直线l与圆相离，B正确；
对于CD，直线l与圆相切，则，点到直线的距离，
圆心在直线l上，直线l与圆相交，C错误，D正确.
故选：C
10. 在正方体中，，其中，.给出下列三个结论：
①所有满足条件的点M构成的图形为正方形（含内部）；
②当时，CM与所成角的最小值为；
③当时，存在点M，使得.
则所有正确结论序号为（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】对于①，由平面向量基本定理可得解；建立空间直角坐标系，对于②先判断在线段上，可设，用表示向量夹角余弦值，结合不等式的性质判断即可；对于③，当时，可得，求得的值，即可判断不可能垂直.
【详解】如图所示：

对于①，因为，，，
由平面向量基本定理可得点在正方形内，故①正确；
对于②，当时，，即，，
所以在线段上，
如图以分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则设，
则 ，
所以，
因为，则，
所以当时，即点与重合时，
CM与所成角的最小值为，故②正确；
对于③，由于，
则，
当时，，
所以，
则，不可能垂直，故不存在点M，使得，③错误.

故选：A
【点睛】方法点睛：利用空间向量法解决不定点问题.
第二部分（非选择题共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 已知点，，则直线AB的斜率______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用斜率的坐标公式计算即得.
【详解】由点，，得直线AB的斜率.
故答案为：
12. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则______；点A到直线BC的距离为______.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】求出向量的坐标，再利用向量模的坐标表示及空间点到直线的距离公式计算得解.
【详解】由点，，得，所以；
由，得，所以点A到直线BC的距离为
.
故答案为：；
13. 已知点，，，在同一个圆上，则这个圆的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法即可求得答案.
【详解】设圆的方程为,
将点，，代入得,
解得,满足，则，
将代入也适合，
故所求圆的方程为，
故答案为：
14. 过点且与原点的距离最大的直线l的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】设点为A，确定所求直线为过点且与直线OA垂直的直线，求出斜率，即可得答案.
【详解】设点为A，
则过点且与原点的距离最大的直线l为过点且与直线OA垂直的直线，
而OA斜率为1，故所求直线斜率为-1，
则所求直线方程为，即，
故答案为：
15. 已知正方体，，为钝角，则实数的一个可能的取值为______.
【答案】（答案不唯一，）
【解析】
【分析】设，，正方体的棱长为1，在中，利用余弦定理求出，在中，再利用余弦定理即可求解.
【详解】设，，正方体的棱长为1，则，
在中，，由余弦定理得，
由为钝角，得，则，显然与都不重合，即，
在中，，，由余弦定理得，
于是，即，解得，
而，则，所以实数的取值范围是，取.
故答案为：
16. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中.已知一条曲线C的方程为，给出下面四个结论：
①曲线C上两点间距离的最大值为；
②若点在曲线C内部（不含边界），则；
③若曲线C与直线有公共点，则；
④若曲线C与圆（）有公共点，则.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①②③
【解析】
【分析】作出的图象，结合图象分析任意两点距离的最大值判断①；根据直线与的交点坐标进行判断②；根据直线与相切时的取值进行判断③；分析临界情况：经过与坐标轴的交点、与在四个象限相切，由此求解出的范围判断④.
【详解】当时，，圆心；
当时，，圆心；
当时，，圆心；
当时，，圆心；
当时，；当时，
作出在平面直角坐标系下的图象如下：
对于①，上任意两点距离的最大值为，①正确；
对于②，点在直线上，由，解得或，
而点在曲线内部（不含边界），则有，②正确；
对于③，当直线与相切时，如图，
若与在第二象限相切时，则到的距离等于圆的半径，
则，而，解得，
若与在第四象限相切时，则到的距离等于圆的半径，
则，而，解得，
结合图象知，曲线与直线有公共点时有，③正确；
对于④，如图，
曲线与坐标轴的交点坐标为，
因此当刚好经过曲线与坐标轴的交点时，此时，
当刚好与在四个象限内部分都相切时，，
因此曲线与圆有公共点时，④错误.
故答案为：①②③
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的综合运用，难度较大.数形结合是处理本题的高效方法，通过在图象上对临界位置的分析，得到直线与相切以及圆与相切时参数的取值.
三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 已知的三个顶点，，.
（1）求过点且与直线平行的直线的方程；
（2）求边的高线所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得直线的斜率，利用点斜式即可求得直线方程；
（2）由两直线垂直关系可得所求直线的斜率，代入点斜式方程可得结果.
小问1详解】
由，可知，
故所求直线的方程为，
即.
【小问2详解】
易知，
则所求直线的斜率为，
故所求直线的方程为，
即.
18. 已知圆C与x轴相切于点，并且圆心在直线上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆C与直线l：交于A，B两点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求m的值.
条件①：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长比为2:1；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意求出圆心和半径，即得答案；
（2）根据所选条件，均可以求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式求出m的值即可.
【小问1详解】
由题意知圆C的圆心在直线上，与x轴相切于点1,0，
故设圆心为，则，则圆心为，半径为2，
故圆C的标准方程为
【小问2详解】
若选条件①：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长比为2:1；
则，而，故圆心C到直线l的距离为，
所以，解得或；
若选条件②：；
而，故圆心C到直线l的距离为，
所以，解得或；
若选条件③：，
而，是等腰直角三角形，,
故圆心C到直线l的距离为，所以，解得或.
19. 如图，棱长为1的正方体中，P是线段上的动点.
（1）当点P为的中点时，求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）是否存在点P，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）不存在
【解析】
【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明线面平行即可；
（2）求出平面的法向量，利用空间向量的距离公式计算即可；
（3）根据线面垂直的空间向量证法即可.
【小问1详解】
以为坐标原点，的方向分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
则，，，
设平面的法向量为m=x,y,z，则，即，
令，则，则，则，
则，且直线不在平面内，故平面.
【小问2详解】
由（2）知，，，
设平面的法向量n=a,b,c，，则，即，
令，则，则，而，
则点到平面的距离.
综上，点到平面的距离为.
【小问3详解】
假设存在这样的点，则设，其中，，则，
若平面，则，则，无实数解，
故不存在这样的点使得平面.
20. 如图，在三棱柱中，侧面是边长为3的正方形，侧面为矩形，，，M，D分别为，BC的中点，且.

（1）求证：平面；
（2）求平面ABC与平面夹角的余弦值；
（3）判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）相交（不垂直），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面以及平面ABC的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案；
（3）利用向量法可判断直线MN与平面的位置关系.
【小问1详解】
由题意知在三棱柱中，侧面是边长为3的正方形，侧面为矩形，
故，而平面，
故平面；
【小问2详解】
由于，，故，即，
则两两垂直，以A为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，
则，
设平面的法向量为m=x,y,z，则，
即，令，则，
平面的法向量可取，
则，
故平面ABC与平面夹角的余弦值为；
【小问3详解】
由（2）结合知，，
则，
即不垂直，又平面，故MN和平面不平行，
又不共线，即直线MN与平面不垂直；
故直线MN与平面的位置关系为相交（不垂直）.
21. 已知点和圆C：.
（1）求圆C的圆心坐标及半径的大小；
（2）求过点P且与圆C相切的直线方程；
（3）若直线：与圆C交于O，A两点，直线：与圆C交于O，两点,且，求证：直线AB恒过定点.
【答案】（1）圆心为，半径为
（2），
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将圆的一般式化为标准式即可；
（2）利用求圆切线的方式求解即可；
（3）设的直线方程为，Ax1,y1,Bx2,y2，然后联立方程组求解，根据找到参数的值或关系求定点即可.
【小问1详解】
由题可知，
所以圆的圆心为，半径为.
【小问2详解】
当过点直线斜率不存在时，为，显然此时与圆相切；
当过点直线斜率存在时，设为，若与圆相切，
则有
所以过点P且与圆C相切的直线方程为，.
【小问3详解】
由题可知，
显然可以竖直，但是不能水平，故设的直线方程为，Ax1,y1,Bx2,y2
联立 得
所以有
所以
由题可知，
所以有
所以此时
此时的直线方程为
故过定点.