北京市朝阳区2024-2025学年高二下学期期中考试数学检测试卷（含答案）

这是一份北京市朝阳区2024-2025学年高二下学期期中考试数学检测试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题只一个正确答案，每题4分，共计40分）
1．某女生有件不同颜色的衬衣，件不同花样的裙子，另有套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ）
A．种B．种C．种D．种
2．已知函数，则的导函数为（ ）
A． B． C． D．
3．4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，若每个项目都有人报名，每人限报1个项目，则不同的报名方式有（ ）种
A．81B．64C．36D．72
4．函数的单调递增区间是（ ）
A．B． C． D．和
5．设A，B为两个事件，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．已知随机变量X的分布规律为（），则（ ）
A．B．C．D．
7．二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．480B．240C．120D．15
8．已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．如图所示是的导函数的图象，下列4个结论：
①在区间上是增函数； ②是极小值点；
③在区间上是减函数；在区间上是增函数；
④当时，在区间上取得最大值.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题（每小题4分，共计20分）
11．已知随机变量的分布列如下表；且，则 ， .
12．若函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
13．如果，那么等于 ．
14．设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 ．
15．将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：
①； ②； ③当时，； ④.
其中，所有正确结论的序号是 .
三、解答题（每题10分，共计40分）
16．已知函数 的图象在点处的切线方程是
(1)求函数的解析式; (2)求函数的单调区间与极值.
17．抽样检查是日常检测中常用的方法．某商场进了一种商品20件，其中有4件次品，若从中抽取3件．
(1)抽出的商品中无次品的抽法有多少种？
(2)抽出的商品中全是次品的抽法有多少种？
(3)抽出的商品中至多有2件次品的抽法有多少种？
18．已知，.
(1)求的值； (2)求的值；
19．某工厂生产一种产品，产品等级分为一等品、二等品、普通品，为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示．
(1)若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为一等品的概率；
(2)从该流水线上随机抽取3件产品，记其中一等品的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列和数学期望；
(3)为拓宽市场，工厂决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了a元．设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，，比较，的大小．（请直接写出结论）
答案
1．B
【难度】0.85
【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用
【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果.
【详解】依题意可知，有两类衣服可选，
第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择；
第二类：选择连衣裙，共有种选择；
所以共有种选择.
故选：B.
2．B
【难度】0.85
【知识点】导数的乘除法
【分析】根据导数四则运算的乘法法则求导即可.
【详解】由可得，
即.
故选：B
3．C
【难度】0.85
【知识点】分组分配问题
【分析】利用分组分配方法求解即可.
【详解】将4名学生分成3个组有种方法，
再将3个组分配到3个兴趣小组有种方法，
故选：C
4．D
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解.
【详解】，解得：或，
所以函数的单调递增区间是和.
故选：D
5．D
【难度】0.94
【知识点】计算条件概率
【分析】根据条件公式直接代入运算即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
6．A
【难度】0.94
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题
【分析】利用分布列的性质求出，进而可得出答案.
【详解】因为随机变量X的分布规律为（），
所以，解得，
所以.
故选：A.
7．B
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式的第k项
【分析】直接利用通项公式可得常数项.
【详解】因为的通项公式为，
令得，所以常数项为.
故选：B
8．D
【难度】0.85
【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、独立事件的乘法公式
【分析】利用二项分布的概率即可得解．
【详解】由已知命中的概率为，不命中的概率为，射击4次，命中两次，
故概率.
故选：D.
9．B
【难度】0.65
【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、函数与导函数图象之间的关系
【分析】结合图象首先判断函数的单调区间，然后结合选项逐项分析即可得到答案.
【详解】由图象可知，时，，则单调递减；时，，则单调递增；时，，则单调递减；时，，则单调递增；故①错，③正确；
在处取得极小值，则是的极小值点，故②正确；
因为在上单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增，则在处取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值，但不确定的大小关系，所以不确定是否在处取得最大值,故④错误，
故选：B.
10．A
【难度】0.94
【知识点】正态曲线的性质
【分析】由正态分布密度函数图像的性质，观察图像可得结果.
【详解】解：由正态分布密度函数图像的性质可知：越大，图像对称轴越靠近右侧；越大，图像越“矮胖”，越小，图像越“瘦高”.所以由图像可知：，.
故选：A.
11． 4
【难度】0.85
【知识点】由随机变量的分布列求概率、离散型随机变量的方差与标准差、由离散型随机变量的均值求参数
根据，求得p, 再由，求得a，然后利用方差公式求解.
【详解】因为，
所以.
因为，
所以，
.
.
故.
故，4
12．
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数
【分析】利用导函数求得即为切线斜率，写出直线点斜式方程，整理得到结果.
【详解】由，得，
则点处的切线的斜率，
故曲线在点处的切线方程为，即．
故．
13．
【难度】0.85
【知识点】二项式的系数和
【分析】利用赋值法分别令，，化简求值即可.
【详解】令，则原式，
令，则原式，
所以.
故
14．/
【难度】0.65
【知识点】利用随机变量分布列的性质解题
【分析】根据随机变量的概率非负不大于，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于，列出方程和不等式，解方程组即可．
【详解】因为随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于，
所以，
解得或，
又因为随机变量的概率非负不大于，
所以，，
解得，
综上，
故##．
15．①③④
【难度】0.4
【知识点】利用全概率公式求概率、独立重复试验的概率问题
【分析】由的对立事件概率可得和，可判断①②，再由第n次分正反面，依次讨论前n-1的正反及前n-2次，从而得到概率的递推关系，可判断④，由及，可得，从而可判断③.
【详解】当时，，①正确；
当时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、反正正正，
所以，②错误；
要求，即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率，
分类进行讨论，
若第n次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；
若第n次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：
所以，④正确；
由上式可得
，
所以，
又，满足当时，，③正确.
故①③④.
关键点点睛：本题解题的关键是找到第n次和第n-1和第n-2次的关系，通过分类讨论及列表格的形式得到，属于难题.
16．(1)
(2)单调增区间为和，单调减区间为；极大值为 ，极小值°
【难度】0.85
【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值
【分析】（1）先求出函数的导函数，由切线方程可得，，进而可求函数解析式；
（2）求函数的导函数，令，，求得函数的单调区间，进而可求极值.
【详解】（1）由题意可知，
由，则，
已知函数图像在处的切线方程是， 即，
所以，
解得，
∴的解析式为：，
综上所述，的解析式为；
（2）由（1）可知，的解析式为
则 ，
令， 解得或，
令，解得 或，
则函数在和上单调递增
令，解得，则函数在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，；在处取得极小值，，
综上所述的单调增区间为和，的单调减区间为，
极大值为，极小值为.
17．(1)560种；
(2)4种；
(3)1136种.
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的组合计数问题
【分析】（1）（2）（3）根据已知并应用组合数求抽出的商品中无次品、全是次品、至多有2件次品的抽法数.
【详解】（1）由题意，共有16件非次品，则抽出的商品中无次品的抽法有种；
（2）由题意，抽出的商品中全是次品的抽法有种；
（3）由题意，抽出的商品中至多有2件次品的抽法有种.
18．(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和
【分析】（1）令，可得出的值；
（2）分别令、，两式相加可得出的值.
【详解】（1）因为，，
令得，.
（2）因为，，
令得，，
令得，，
上述两个等式相减得，故.
19．(1)0.4；
(2)随机变量分布列见解析，1.2；
(3).
【难度】0.65
【知识点】二项分布的均值、利用二项分布求分布列、计算古典概型问题的概率、各数据同时加减同一数对方差的影响
【分析】（1）求样本空间中随机抽取一件产品为一等品的频率作为概率即可；
（2）由题意得X～B ( 3, 0.4)，从而求分布列及数学期望；
（3）由方差的定义可判断.
【详解】（1）在样本空间中，随机抽取一件产品为一等品的频率为.
故从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为一等品的概率为.
（2）由题意知，
，，
，，
故的分布列为：
.
（3）每件产品的销售价格均降低了a元，产品的平均销售价格也降低了a元,
故由方差的定义知，降价前后这200件样本产品的利润的方差不变,
即0
2
产品等级
一等品
二等品
普通品
样本数量（件）
80
80
40
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
D
D
A
B
D
B
A
第n次
n-1次
n-2次
概率
反面
正面
反面
正面
正面
反面
0
1
2
3
0.216
0.432
0.288
0.064