江苏省扬州市扬州大学附属中学东部分校2024−2025学年高二下学期第一次模块学习效果调查数学试卷（含解析）

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这是一份江苏省扬州市扬州大学附属中学东部分校2024−2025学年高二下学期第一次模块学习效果调查数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知直线：，：，若，则（）
A．－1B．3C．D．
2．已知椭圆:，则椭圆的焦点坐标为（）
A．B．
C．D．
3．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（）
A．B．1C．2D．
4．已知函数的导函数为，且满足，则（）
A．B．-1C．D．
5．设数列是等比数列，且，，则（）
A．8B．16C．32D．64
6．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
7．函数，已知在处取得极值，则（）
A．3B．4C．5D．6
8．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（）
A．2B．3C．1D．1.5
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法错误的是（）
A．点到直线的距离为
B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
10．下列求导运算正确的是（）
A．B．C．D．
11．设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（）

A．函数有极大值B．函数有极小值
C．函数有极大值D．函数有极小值
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数在点处的切线方程是．
13．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为 cm3．
14．设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆：.
(1)过点作圆的切线，求切线的方程；
(2)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程.
16．已知函数.
(1)若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若，求函数在上的最大值和最小值.
17．在①；②，且成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.
记等差数列的公差为，前项和为，已知__________.
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
18．已知函数的导函数为．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若存在两个不同的零点，，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，证明：．
19．已知函数（其中）．
(1)当时，求的单调区间；
(2)对任意，都有成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为直线，且，
故，解得.
故选D.
2．【答案】B
【详解】因为椭圆方程是，所以，
所以，即，又因为椭圆焦点在轴上，所以焦点坐标为.
故选B.
3．【答案】C
【详解】函数在区间上的平均变化率为，
在时的瞬时变化率为，
所以．
故选C.
4．【答案】B
【详解】，令得，解得.
故选B.
5．【答案】A
【详解】设等比数列的公比，因为，，
则，解得，
所以.
故选A.
6．【答案】A
【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解.
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故.
故选A.
7．【答案】C
【详解】，
因为在处取得极值，所以.
经检验符合题意，
故选C.
8．【答案】A
【详解】若，则，且，
若，则，且，
又是、的公切线，
设切点分别为、，则，
，则，即.
故选A.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，点到直线的距离为，故A错误；
对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确；
对于C，直线，令得，令得，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C不正确；
对于D，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线，
当直线过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时直线的方程为，
当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时方程为，故D不正确；
故选ACD.
10．【答案】BC
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选BC.
11．【答案】AD
【详解】依题意，三次函数的导函数为是二次函数，观察图象知，是函数的两个零点，
当或时，，当时，，
所以函数有极小值，有极大值，AD正确，BC错误.
故选AD.
12．【答案】
【详解】时，，
，
当时，，
所以在点处的切线方程为，即.
13．【答案】144
【详解】设小正方形的边长为
则盒子的容积
当时，，当时，
时，取得极大值，也是最大值，
14．【答案】
【详解】设，则，
由于，故，
即，则在R上单调递减，
又，即为，
即，故，
则不等式的解集为.
15．【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）圆C:圆心，半径；
点在圆上，设切线斜率为，，
故切线方程为；
（2）当直线斜率不存在时，直线满足条件；
当直线斜率存在时，设，
则圆心到直线距离
所以，
综上，直线的方程为或.
16．【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【详解】（1）若，，
，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值；
（2）若，，
，
所以函数在上单调递增，
所以.
17．【答案】(1)选条件①：；选条件②：；选条件③：
(2)选条件①：；选条件②：；选条件③：
【详解】（1）解：若选条件①，（1）由题意得，解得，
得，所以数列的通项公式为.
若选条件②，依题意，由，得，解得，
又因为，所以，
所以数列的通项公式为.
若选条件③，当时，；
当时，.
因为满足上式，所以数列的通项公式为.
（2）解：选条件①②，
由（1）知，
则，
所以数列的前项和..
若选条件③，由（1）知，
则，
所以数列的前项和
18．【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析
【详解】（1）若，
，又，
曲线y=fx在点处的切线方程为.
（2），
设，则.
令，得，在上，，在上，，
在上单调递减，在上单调递增，
.
又当或时，，
要使有两个零点，只需，解得，
的取值范围为.
（3）由题意及（2）知，存在不同的，使得，
不妨设，则，.
设，则，
当时，，在上恒成立，
当时，单调递减，，即.
，
在上单调递增，，即.
19．【答案】(1)答案见解析；
(2).
【详解】（1）将代入函数中，，由，所以，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）任意都有成立，
即，即，
令，则，
令，，
在上恒成立，即在上单调递增．
又，，故在内有零点，设零点为，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
且，则，所以，
设，，，所以在单调递增，
所以，，，即，所以，
所以最小值，所以，即实数a的取值范围是．